專題：基本不等式常見題型歸納學生版

專題：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等號.三個不等式關系：a,b￡R,a2+b2三2ab，當且僅當a=b時取等號.a，b￡R+,a+b三2%:ab，當且僅當a=b時取等號.a2+b2a+b ,一a,b￡R,一2一忘(一2一)2,當且僅當a=b時取等號.上述三個不等關系揭示了a2+b2,ab,a+b三者間的不等關系.a+b.一.. .其中，基本不等式及其變形：a,b￡R+,a+b三2"。匕(或abW(—彳)2),當且僅當a=b時取等號，所以當和為定值時，可求積的最值；當積為定值是，可求和的最值.【題型一】利用拼湊法構造不等關系【典例1】已知a>b>1且210gb+310ga=7，則1的最小值為.a b a+ b2-1x2+y2練習：1.若實數x,y滿足x>y>0，且logx+logy=1，則一二的最小值為 TOC\o"1-5"\h\z2 2 x-y1 … 1、 3 12.若實數x,y滿足xy+3x=3(0<x<)，則一+ 的最小值為 .2xy-33.已知a>0,b>0,c>2，且a+b=2，則丁+--——+X 的最小值為.bab2c—24x y【典例2】已知x，y為正實數，則--+士的最大值為 .4x+yx+y【典例3】若正數a、b滿足ab=a+b+3，則a+b的最小值為.變式：1.若a,beA卡,且滿足a2+b2=a+b，則a+b的最大值為..設x>0,y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值為.設x,yeR，4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為.已知正數a，b滿足1+9=aab—5，則ab的最小值為ab第1頁共6頁【題型二】含條件的最值求法【典例4【典例4】已知正數羽y滿足％+y=1,則不+k的最小值為11 . 4x 9y練習1.已知正數x,y滿足一+-=1,則--+一\的最小值為 (?L2la)xyx-1y-1(?L2la).已知正數x,y滿足x+2y=2，則3y的最小值為.xy.已知函數y=ax+b(b>0)的圖像經過點P(1,3)，如下圖所示，,4 1 ，則I ++—的最小值為 .a-1b.己知a,b為正數，且直線ax+by-6=0與直線2x+(b-3)y+5=0互相平行，則2a+3b的最小值為..常數a,b和正變量x,y滿足ab=16,a+2b=1.若x+2y的最小值為64,則ab=xy2 / 1 2 ,6.已知正實數a,b滿足(2@+b)b+(2b+@)@=1,則ab的最大值為.第2頁共6頁【題型三】代入消元法【典例5】(蘇州市2016屆高三調研測試?14)已知ab=1，a,bg(0,1)，則—+—的4 1一a1一b最小值為.練習1.設實數x,y滿足x2+2xy—1=0,則x2+y2的最小值是 ..已知正實數x,y滿足守斗"％F=4,則x+y的最小值為..已知正實數羽j滿足(x-1)(y+1)=16，則％+y的最小值為.1.一,、.若a>0,b>2，且a+b=3,則使得一+---取得最小值的實數a=。ab-2.設實數x、y滿足x2+2xy—1=0,則x+y的取值范圍是.已知x,y,zgR，且x+y+z=1,x2+y2+z2=3，求xyz的最大值為第3頁共6頁【題型四】換元法【典例6】已知函數f(x)=以2+x—b(a,b均為正數)，不等式f(x)>0的解集記為2集合Q _,11,,一，，，一TOC\o"1-5"\h\z={x|—2—t<x<—2+1}.若對于任意正數t,PnQ田，貝嶗—石的最大值是 .2.已知正數a,b,c滿足b+c>，則上+‘三的最小值為 .二a+b練習1.若實數x,y滿足2x2+xy—y2=1,則 %；2y 的最大值為 .5%2—2%y+2y2< %2y22.設%,y是正實數，且％+y=1，則--+^—的最小值是 .%+2y+1 3..若實數%,y滿足2%2+%y—y2=1,則??%—丁?的最大值為 .斗5%2—2%y十2y2 4五4.若實數“滿足/一4@+4「+41^=4,當走+23取得最大值時，〉的值為.第4頁共6頁【題型五】判別式法2 4 一...一...，一,【典例7】已知正實數x,y滿足％+-+3y+=10，則xy的取值范圍為% y練習1.若正實數”滿足(汐―以：?y+w①-2)，則或+2丁的最大值為2.設％,yGR，3%2+y2+%y=1，則2%+y的最大值為變式1.在平面直角坐標系%Oy中，設點A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d)，若不等式uua0 uunuunuunuuauuuuurCD2三(m-2)OC-OD+m(OC-OB)?(OD-OA)對任意實數a,b,c,d都成立，則實數m的最大值是 .【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判別式法、分離參數法、換主元法.判別式法：將所求問題可轉化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題。一般地，對于二次函數f(%)=a%2+b%+c(a*0,%gR)，有[a>0 「a<01)f(%)>0對%GR恒成立O《a八2)f(%)<0對%GR恒成立O<.[A<0 [A<0分離變量法：若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍。這種方法本質也還是求最值。一般地有：f(%)<g(a)(a為參數)恒成立og(a)>f(%)maxf(%)>g(a)(a為參數)恒成立og(a)<f(%)max確定主元法：如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數，則可簡化解題過程。2.設二次函數fQ)=a%2+b%+c(a,b,c為常數)的導函數為f1(%).對任意%gR,不等式fQ)>r1)恒成立，則~^~~的最大值為.a2+c2第5頁共6頁【題型六】分離參數法【典例8】已知x>0,y>0,若不等式x3+y3