歷年自主招生試題分類匯編平面幾何

歷年自主招生試題分類匯編——平面幾何4．（2013年北約）如圖，△ABC中，AD為BC邊上的中線，DM、DN分別為∠ADB、∠ADC的角平分線，試比較 BM＋CN與MN的大小關(guān)系，并說明理由．AMNCDC解析延長(zhǎng)ND至E，使ND＝ED，連結(jié)BE、ME，則△BED≌△CND，△MED≌△MND，ME＝MN，由BM＋BE＞EM，得BM＋CN＞MN．AMNCDCE題4（2012年北約）如果銳角ABC的外接圓圓心為O，求O到三角形三邊的距離之比。解：如圖，過O分別作BC,CA,AB的垂線，垂足為D,E,F,設(shè)ODd1,OEd2,OFd3，OAOBOCRABOC2A，∴BODA，d1RcosA由平幾知識(shí)得EF同理：d2RcosB，d3RcosCCO∴d1:d2:d3cosA:cosB:cosCDA即O到三角形三邊的距離之比為對(duì)應(yīng)邊所對(duì)角的余弦之比。評(píng)析：本題敘述簡(jiǎn)潔，結(jié)論優(yōu)美，入口較寬，解法多樣，既能反映學(xué)生的讀題能力和轉(zhuǎn)化能力，又考查了學(xué)生的平幾和三角等知識(shí)，是一道相當(dāng)精彩的好題，為自主招生備考指明了方向。題8（2012年北約）求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個(gè)角相等，則它為正五邊形。A AB E B EC D H C D G解： 如圖，五邊形 ABCDE為 O內(nèi)接五邊形，延長(zhǎng)AE,CD,DC,AB有兩交點(diǎn)G,H，連接AC，∵ AED EDC, ∴ GED GDE∴GE GD ∵A,C,D,E在 O上∴ CAG GDE, GCA GED∴ CAG GCA ∴GA GC ∴AE CD連結(jié)AD，同理可得 AB CD，從而AE AB CD，同樣，延長(zhǎng) BC,ED,BA,DE,可證得： BA BC DE ∴AB BC CD DE EA，從而可知五邊形 ABCDE為正五邊形。評(píng)析：本題是一道平面幾何題，圖形簡(jiǎn)單，背景公平，重點(diǎn)考查學(xué)生的推理論證和演繹能力，可貴的是有別于數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平幾題。1.（2011年北約）已知平行四邊形的其中兩條邊長(zhǎng)為3和5,一條對(duì)角線長(zhǎng)為6,求另一條對(duì)角線的長(zhǎng).【答案】x42【解】設(shè)另一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為x.由2(3252)x262,解得x42.2.求過拋物線y2x22x1和y5x22x3的交點(diǎn)的直線方程.【解】聯(lián)立兩方程,消去x2,得6x7y10.此方程即為所求.2．（2010年北約）AB為邊長(zhǎng)為1的正五邊形邊上的點(diǎn)．證明：AB最長(zhǎng)為51．（25分）2【解析】以正五邊形一條邊上的中點(diǎn)為原點(diǎn)，此邊所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．⑴當(dāng)A,B中有一點(diǎn)位于P點(diǎn)時(shí)，知另一點(diǎn)位于R1或者R2時(shí)有最P大值為PR1；當(dāng)有一點(diǎn)位于O點(diǎn)時(shí)，ABmaxOPPR1；⑵當(dāng)A,B均不在y軸上時(shí)，知A,B必在y軸的異側(cè)方可能取到最Q大值（否則取A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A，有ABAB）．R2OR1不妨設(shè)A位于線段OR2上（由正五邊形的中心對(duì)稱性，知這樣的假設(shè)是合理的），則使AB最大的B點(diǎn)必位于線段PQ上．PB且當(dāng)B從P向Q移動(dòng)時(shí)，AB先減小后增大，于是ABmaxAP或AQ；Q對(duì)于線段 PQ 上任意一點(diǎn) B ，都有 BR2≥BA ．于是R2AO R1ABmaxR2PR2Q由⑴，⑵知ABmaxR2P．不妨設(shè)為x．E1下面研究正五邊形對(duì)角線的長(zhǎng)．如右圖．做EFG的角平分線FH交EG于H．易知EFHHFGGFIIGFFGH．5

x-1FH1x1G 1 I于是四邊形 HGIF為平行四邊形．∴ HG 1．EFx1EH15由角平分線定理知1x1HG．解得x．FG25、（2011年華約）如圖，eO1和eO2外切于點(diǎn)C，eO1，eO2又都和eO內(nèi)切，切點(diǎn)分別為A,B.設(shè) AOB , ACB ，則（ ）A、cos sin 0 B、sin cos 02 2C、sin2 sin 0 D、sin2 sin 0BA O2CO1O[分析]題目中的條件是通過三個(gè)圓來給出的，有點(diǎn)眼花繚亂。我們來轉(zhuǎn)化一下，就可以去掉三個(gè)圓，已知條件變?yōu)椋篛O1O2邊O1O2上一點(diǎn)C，OO1、OO2延長(zhǎng)線上分別一點(diǎn)B，使得O1A=O1C，O2B=O2C。解法一：連接OO2，C在OO上，則OOO2OOO1121211OO1O2，O2BCO2CB1O1ACO1CAOO2O1，故21(OO1O22O1CAO2CBOO2O1)，22(O1CAO2CB)2，sincos。2解法二：對(duì)于選擇填空題，可以用特例法，即可以添加條件或取一些特殊值，在本題中假設(shè)

、，兩個(gè)小圓的半徑相等，則OO1O2OO2O12，1O1CAO2CBOO1O24，2(O1CAO2CB)，sincos。22、（2011年華約）如圖，已知ABC的面積為，D,E分別為邊AB，邊AC上的點(diǎn)，F(xiàn)92為線段DE上一點(diǎn)，設(shè)值為（ ）

ADx,AE,DF1，且BDF面積的最大ABACyz，且yzxDE8101416AA、27B、C、27D、2727解：SBDFDFSBDEzSBDE，DFDEESBDEBDSABE(1x)SABE，ABSABEAESABCySABC，BCAC)2(1)。將，變形為，暫于是(1SBDFxyzSABCxyzyzx1yzx1時(shí)將x看成常數(shù)，欲使yz取得最大值必須yzx12，于是1116。SBDF(1x)(x2x62，1解)這個(gè)一元函數(shù)的極值問題，3時(shí)取極大值272010年華約）如圖，ABC的兩條高線AD,BE交于H，其外接圓圓心為O，過O作．（OF垂直BC于F，OH與AF相交于G，則OFG與GAH面積之比為（A）（A）1:4（B）1:3（C）2:5（D）1:21、（2013年卓越聯(lián)盟文）如圖，AE是O的切線，A是切點(diǎn)，ADOE于點(diǎn)D，割線EC交O于B、C兩點(diǎn)，設(shè)ODC，DBC，則OEC（用、表示）．AODECB答案:．（8）（2012年卓越聯(lián)盟）如圖，AB是O的直徑，弦CD垂直AB于點(diǎn)M，E是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AB10，CD8，3ED4OM，EF是O的切線，F(xiàn)是切點(diǎn)，BF與CD相交于點(diǎn)G，（Ⅰ）求線段 EG的長(zhǎng)；（Ⅱ）連線DF，判斷DF是否平行于AB，并證明你的結(jié)論。（注：根據(jù)解題需要，須將圖形自行畫在大題卡上。）AFOCMGDEB解答：（Ⅰ）如圖，連接AF,CO，根據(jù)垂徑定理知，M為CD的中點(diǎn)，所以CM=DM=4，所以O(shè)M=3，于是知ED4OM4.根據(jù)切割線定理知EF2EDEC41248EF43,3而EFGBAFEGDEGF，所以EGEF43.（Ⅱ）若DF//AB，則DFCD,CF為圓O的直徑，從而CF=10.根據(jù)射影定理知，應(yīng)該有：CF2CDCE10281210096，矛盾，所以