山東省濟(jì)南市第十一中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山東省濟(jì)南市第十一中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.右圖給出的是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖，

其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是(

)A．i＞10

B．i<10

C．i＞20

D．i＞20參考答案：A3.已知集合，，則A∩B=（

）A．{3} B．{1,2}

C．{2,3} D．{1,2,3}參考答案：D由題意，集合，，所以，故選D.4.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，則=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，可設(shè)f（x）=2x﹣cosx+c，利用f（0）=﹣1，可得：f（x）=2x﹣cosx．由數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，可得an=a2+（n﹣2）×．由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，化簡(jiǎn)可得6a2﹣=．利用單調(diào)性可得a2，即可得出．【解答】解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，可設(shè)f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，∴an=a1+（n﹣1）×，∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π，∴6a2﹣=．令g（x）=6x﹣cos﹣，則g′（x）=6+sin在R上單調(diào)遞增，又=0．∴a2=．則==2015．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是A.若，，，，則

B.若，，，則C.若，，，則

D.若，，，則

參考答案：B6.函數(shù)的部分圖象大致是

（

）參考答案：C略7.設(shè)復(fù)數(shù)滿足是虛數(shù)單位），則（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B8.定義在R上的函數(shù)，在上是增函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，有（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，從而關(guān)于對(duì)稱。

又在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，

因?yàn)?，所以，故選擇A。9.在集合中任取一個(gè)偶數(shù)a和一個(gè)奇數(shù)b構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個(gè)數(shù)為n，其中面積等于2的平行四邊形的個(gè)數(shù)為m，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B∵以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量有、、、、、共6個(gè)，可作平行四邊形的個(gè)數(shù)個(gè)，結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算，其中由、、確定的平行四邊形面積為2，共有3個(gè)，則，選B．10.若復(fù)數(shù)滿足,則的值等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：，二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.集合A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，若B∪A=A，則實(shí)數(shù)a=

．參考答案：2【考點(diǎn)】18：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】根據(jù)并集的意義，由A∪B=A得到集合B中的元素都屬于集合A，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值．【解答】解：由A∪B=A，得到B?A，∵A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，∴a+1=1，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=1，或a+1=3，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=3，解得：a=2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了并集的意義，以及集合中元素的特點(diǎn)．集合中元素有三個(gè)特點(diǎn)，即確定性，互異性，無(wú)序性．學(xué)生做題時(shí)注意利用元素的特點(diǎn)判斷得到滿足題意的a的值．12.已知、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為7,則的最小值為

。參考答案：7知識(shí)點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用；簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．解析：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，

得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）

設(shè)，將直線：進(jìn)行平移，并觀察直線在x軸上的截距變化，可得當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值,即．

因此，，

∵，可得，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為7．故答案為：7思路點(diǎn)撥：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，利用直線平移法求出當(dāng)x=3且y=4時(shí)，取得最大值為7，即．再利用整體代換法，根據(jù)基本不等式加以計(jì)算，可得當(dāng)時(shí)的最小值為7．13.已知函數(shù)，若?x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，2）∪（3，5）【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合?x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意，或∴a＜2或3＜a＜5故答案為：（﹣∞，2）∪（3，5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y=2a與函數(shù)y=|x﹣a|﹣1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為

．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知直線y=2a與函數(shù)y=|x﹣a|﹣1的圖象特點(diǎn)分析一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)圖象的位置，確定a．【解答】解：由已知直線y=2a是平行于x軸的直線，函數(shù)y=|x﹣a|﹣1的圖象是折線，所以直線y=2a過(guò)折線頂點(diǎn)時(shí)滿足題意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象；考查利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)．15.函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，則+的最小值為

．參考答案：8【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2時(shí)，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=2+++2≥4+2?=8，當(dāng)且僅當(dāng)m=，n=時(shí)取等號(hào)．故答案為：816.已知變量x，y滿足條件，若z=y﹣x的最小值為﹣3，則z=y﹣x的最大值為

．參考答案：考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，先求出m的值，然后通過(guò)平移即可求z的最大值．解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=y﹣x得y=x+z，平移直線y=x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y=x+z的截距最小，此時(shí)z最小，為﹣3，即z=y﹣x=﹣3，由，解得，即C（2，﹣1），C也在直線x+y=m上，∴m=2﹣1=1，即直線方程為x+y=1，當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=x+z的截距最大，此時(shí)z最大，由，解得，即B（，），此時(shí)z=y﹣x=﹣=，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問(wèn)題中的基本方法．17.已知點(diǎn)A，B為圓C：x2+y2=4上的任意兩點(diǎn)，且|AB|＞2，若線段AB中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)镸，在圓C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域M內(nèi)的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】由題意，求出線段AB中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)镸為半徑為的同心圓，利用幾何概型的公式得到所求．【解答】解：由題意，線段AB中點(diǎn)組成的區(qū)域M為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，由幾何概型的公式得到；故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值．參考答案：（1）由題意得，，所以橢圓的方程為，又,所以離心率．．．．．．．．．．．5分（2）設(shè)，則，又，所以直線的方程為，令，得，從而，直線的方程為．令，得，從而，所以四邊形的面積：

從而四邊形的面積為定值．．．．．．．．．．．．12分19.（本小題滿分12分）已知橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其離心率，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PF1F2面積的最大值為．（I）求橢圓的方程；（II）若A、B、C、D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)F1，，求的取值范圍．參考答案：（I）由題意得，當(dāng)點(diǎn)P是橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值……1分此時(shí)……2分……3分所以橢圓方程為……4分（II）由（I）得，則的坐標(biāo)為……5分因?yàn)?所以①當(dāng)直線AC與BD中有一條直線斜率不存在時(shí)，易得

……6分②當(dāng)直線AC斜率時(shí)，其方程為，設(shè)則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)是方程組的解，…………7分

……8分此時(shí)直線BD的方程為…………………9分同理由可得……10分令，則…………11分，

綜上，的取值范圍是…………12分20.如圖所示，該幾何體是由一個(gè)直角三棱柱和一個(gè)正四棱錐組合而成，，.(1)證明：平面平面；(2)求正四棱錐的高，使得該四棱錐的體積是三棱錐體積的4倍.參考答案：.(1)證明：直三棱柱中，平面，所以：，又，所以：平面，平面，所以：平面平面.(2)到平面的距離.所以：，而：，所以.21.設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在區(qū)間（0，e2]內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）問(wèn)題可化為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e2]的最小值小于0，通過(guò)討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意得：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=，（x＞0），a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，解得：x＞，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故函數(shù)f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，故函數(shù)f（x）只有極小值，f（x）極小值=f（）=aln+a，無(wú)極大值；（Ⅱ）不等式f（x）＜0在區(qū)間（0，e2]內(nèi)有解，問(wèn)題可化為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e2]的最小值小于0，（i）a≤0時(shí)，f′（x）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e2]內(nèi)為減函數(shù)，故f（x）的最小值是f（e2）=2a+＜0，即a＜﹣；（ii）a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，①若e2≤，即0＜a≤，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e2]內(nèi)為減函數(shù)，由（i）知，f（x）的最小值f（e2）＜0時(shí)，a＜﹣與0＜a≤矛盾；②若e2＞，即a＞，則函數(shù)f（x）的最小值是f（）=aln+a，令f（）=aln+a＜0，得a＞e2，綜上，實(shí)數(shù)a的范圍是（﹣∞，﹣）∪（e2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．22.己知.函數(shù)的反函數(shù)是.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)都有成立，且?(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

,(II)記，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有；(III)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知正實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，恒成立,求的最小值參考答案：

（Ⅰ）根據(jù)題意得，，于是由an=得an=5Sn+1，…………1分，當(dāng)時(shí)，.又an+1=5sn+1+1數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是………2分，

………..3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=.............