專訓(xùn)3 構(gòu)造三角形中位線的方法

專訓(xùn)3構(gòu)造三角形中位線的方法名師點金：三角形的中位線具有兩方面的性質(zhì)：一是位置上的平行關(guān)系，二是數(shù)量上的倍分關(guān)系．因此，當題目中給出一個三角形兩邊的中點時，可以直接連接中點，構(gòu)造三角形的中位線；當題目中給出一邊的中點時，往往需要找另一邊的中點，構(gòu)造三角形的中位線．?MW連接兩點構(gòu)造三角形的中位線1如圖，已知點B為AC上一點，分別以AB,BC為邊在AC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，點P，M，N分別為AC，AD，CE的中點.求證：PM=PN；求ZMPN的度數(shù).利用角平分線和垂直構(gòu)造三角形的中位線2.如圖，在△ABCq中，點M為BC的中點，AD為厶ABC的外角平分線，且AD丄BD，若AB=12，AC=18，求DM的長.3.如圖，在△ABC中，AB=6，AC=10，AD平分ZBAC，BD丄AD于點D，點E為BC的中點，連接DE，求DE的長.

倍長法構(gòu)造三角形的中位線倍長法構(gòu)造三角形的中位線4.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,BA=BC,ABEF為等腰直角三角形，ZBEF=90°,M為AF的中點.求證：ME=fcF.已知一邊中點，取另一邊中點構(gòu)造三角形的中位線5.如圖，在四邊形ABCD中，M,N分別是AD,BC的中點.若AB=10,CD=8,求MN長度的取值范圍．

已知兩邊中點，取第三邊中點構(gòu)造三角形的中位線6.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD丄BC于點D,點P是AD的中點，延長BP交AC于點N.求證：AN=3aC.

色初中系列方律創(chuàng)新教輔領(lǐng)跑答案1.1.(1)證明：如圖，連接CD,AE.由三角形中位線定理可得PM纟1DC,PN竺2AE.TAABD和△BCE是等邊三角形，??.AB=DB,BE=BC,ZABD=ZEBC=60°.AZABE=ZDBC.???△ABEmDBC,??AE=DC.???PM=PN.(2)解：如圖，設(shè)PM交AE于F,PN交DC于G,AE交DC于H，由(1)知△ABE^ADBC,???ZBAE=ZBDC.???ZAHD=ZABD=60°.???ZFHG=120°.???PN〃AE,PM〃DC,A四邊形PFHG為平行四邊形.???ZMPN=120°.2.解：如圖，延長BD,CA交于N.AD為厶ABC的外角平分線，???ZNAD=ZBAD.又VAD丄BD,???ZADN=ZADB=90°.在ABD中，‘ZNAD=ZBAD,<AD=AD,、ZADN=ZADB=90°,???△ANDABD(ASA).???DN=DB,AN=AB.M為BC的中點，???DM是厶BCN的中位線.???DM=|nC=2(AN+AC)=2(AB+AC)=15.3.解：如圖，延長BD交AC于點F.AD平分ZBAC,AZBAD=ZFAD.BD丄AD,???ZADB=ZADF=90°.又?.?AD=AD,???△ADBADF(ASA).AF=AB=6,BD=FD.???AC=10,???CF=AC—AF=10—6=4.?E為BC的中點，BD=FD,???DE是厶BCF的中位線.?.DE=|cF=2X4=2.4.證明：如圖，延長FE至N,使EN=EF，連接BN,AN.易得ME=2AN.c（第c（第4題）EF=EN,ZBEF=90°,ABF=BN..\ZBNF=ZBFN.△BEF為等腰直角三角形，ZBEF=90°,???ZBFN=45°.???ZBNF=45°..\ZFBN=90°,即ZFBA+ZABN=90°.又VZFBA+ZCBF=90°,.\ZCBF=ZABN.在厶BCF和ABAN中，”BF=BN,vZCBF=ZABN,、BC=BA,???△BCF^ABAN.???CF=AN,??ME=2cF.5.解：如圖.連接BD,取BD的中點P,連接pm,PN.M是AD的中點，P是BD的中點，???PM是厶ABD的中位線.???PM=2aB=5.同理可得PN=|cd=4.在APMN中，VPM-PNvMNvPM+PN,?1<MN<9.6.證明：如圖，取NC的中點H,連接DH,過點H作HE〃AD,交BN的延長線于E.VAB=AC,AD丄BC,???D為BC的中點.又TH為NC的中點，???DH為厶BNC的中位線.???DH〃BN.THE#AD,???四邊形pdhe