2022-2023學年蘇教版必修第一冊 3.3.2 第2課時　一元二次不等式的綜合問題 學案

第2課時一元二次不等式的綜合問題學習目標1.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程.了解?元二次不等式的現(xiàn)實意義.2.能夠構建一元二次函數(shù)模型，解決實際問題.一、簡單的分式不等式問題-7>0與(x—3)(x+2)X)等價嗎？—^0與(x—3)(x+2)20等價嗎？人丁乙XiZ提示泊>0與。-3)。+2)>0等價；&20與3-3)(x+2)20不等價，前者的解集中沒有-2,后者的解集中有一2.例I解下列不等式：1-X、Q際2；X—1仔罰「解(1)原不等式可化為。+1)(方-1)<0,故原不等式的解集為卜x-1(2)原不等式可化為三不五0,1人I(l1)(3x+5)WO,3x+5#0,(l1)(3x+5)WO,3x+5#0,即-故原不等式的解集為卜|一/aWlx—1(3)原不等式可化為F-l>0,人I4..X-]一(x+2).X-]一(x+2)x+2力,言0,.X-]一(x+2)x+2力,言0,故原不等式的解集為｛,很<一2).所以〃=-3。，c=2。且a>0.不等式:；.二<。等價于3+h)(cx+?)<0,即(l3)(2i+1)v0,所以一卜<3..在一個限速40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m,乙車的剎車距離略超過10m.又知甲、乙兩種車型的剎車距離sm與車速xkm/h之間分別有如下關系：s甲=0.1工+0.01r,s乙=0.051+0.005F.則這次事故的主要責任方為.答案乙車解析由題意列出不等式s甲=0.Lt+0.01f>12,s乙=0.053+0.005/>10.分別求解,得x甲V—40或x甲>30,%乙v一50或x乙>40.由于a>0,從而得x甲>30km/h,x乙>40km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速，應負主要責任.工拓廣探究.在R上定義運算4*6=3+1)仇若存在使不等式(加一x)*(〃?+x)v4成立，則實數(shù)〃?的取值范圍為.答案(-3,2)解析???存在xW[l,2],使不等式(加一])*(〃?+x)v4成立，???存在x￡[l,2],使不等式(m—x+l)X(〃?+x)v4成立，工存在[1,2],使不等式x2—x+4>〃產(chǎn)+〃?成立，VxG[l,2],函數(shù)y=f—x+4的最大值為22—2+4=6.:.6>m2+〃?，:.—3<m<2.16.汽車智能輔助駕駛已開始得到應用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離(并結合車速轉化為所需時間)，當此距離等于報瞥距離時就開啟報警提醒，等于危險距離時就自動剎車.某種算法(如圖所示)將報警時間劃分為4段，分別為準備時間小人的反應時間外、系統(tǒng)反應時間以制動時間外相應的距離分別為4),小,小，內(nèi),當車速為。(米/秒)，且0WvW33.3時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表(其中系數(shù)上隨地面濕滑程度等路面情況而變化，且0.54ZW0.9).報警距離報警距離報警距離:一-危險距離報警距離:一-危險距離T階段0推備I.人的反應2.系統(tǒng)反應3.制動時間to力=0.8秒/2=。.2秒h距離面=20米d\di必=捻米(I)請寫出報警距離d(米)與車速。(米/秒)之間的函數(shù)關系式；并求攵=0.9時，若汽車達到報警距離，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的最短時間；(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均小于80米，則汽車的行駛速度應限制在多少米/秒以下？合多少千米/時？解(1)根據(jù)題意，得d=do+di+d2+d3=20+0.8o+0.2r+詆=20+。+詆，所以所求函數(shù)關系式為1=20+。+為，0WoW33.3.ZAjK當*=0.9時,4=§+1+品旃=3+的+12部毛+1=*/秒)，當且僅當"=360,即。時等號成立，所以汽車撞上固定障礙物的最短時間是當叵秒.(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均小于80米，則路況最糟糕時也需滿足，即&=0.5時，J=20+p+,nvn,<80,ZU入U.J即l(h7—600<0,解得()W°<20.20米/秒=72千米/時，所以汽車的行駛速度應限制在20米/秒以下，合72千米/時.

反思感悟分式不等式的解法（1）對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元二次不等式組求解，但要注意等價變形，保證分母不為零.（2）對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分（不要去分母），使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解.跟蹤訓練1解下列不等式：x+I、5x4-1(舊2⑵干<3.解（解（1）不等式苧1力0可轉化成不等式組?XD(a+1)(a—3)>0,.#3.解這個不等式組，可得入W—1或Q3.即知原不等式的解集為{4iW—l或x>3}.▼A-A-1.5x+1.5x+1(2)不等式［7<3可改寫為i卜?—3<0,2d)

2d)

x+1<0.可將這個不等式轉化成2（尤一1）。+1）<0,解得一1<x<1.所以原不等式的解集為二、簡單的一元二次不等式恒成立問題例2對￡R,不等式1<0,求m的取值范圍.解若機=0,顯然一1<0恒成立；m<0t若〃?wo,若〃?wo,/="P+4〃?vO今解得一4v〃7<0.綜上，的取值范圍為{m|—4<m的0}.延伸探究在本例中，是否存在〃i￡R,使得不等式"優(yōu)一1>0,若存在，求〃7的取值范圍：若不存在，說明理由.解顯然/”=0時不等式不成立；由題意可得由題意可得由題意可得心0,由題意可得心0,/="戶+4用<0,解得機￡0,所以不存在使得V*￡R,不等式"小—〃?%—]>o反思感悟一元二次不等式恒成立問題的解法(1)轉化為對應的二次函數(shù)圖象與X軸的交點問題，考慮X2的系數(shù)和對應方程的判別式的符號這兩個方面.(2)轉化為二次函數(shù)的最值問題：分離參數(shù)后，求相應二次函數(shù)的最值，使參數(shù)大于(小于)這個最值.跟蹤訓練2若關于x的不等式(4—l)f+(&-l)x—1<0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是答案｛用一34W1｝k—1<0,解析當攵=1時，-1<0恒成立；當時，由題意得、八(it—l)2+4(Ar—1)<0,解得一3<A<1,因此實數(shù)k的取值范圍為｛M—3CW1).三、一元二次不等式的實際應用例3某農(nóng)貿(mào)公司按每擔200元的價格收購某農(nóng)產(chǎn)品，并每100元納稅10元(乂稱征稅率為10個百分點)，計劃可收購。萬擔.政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低M.r>0)個百分點，預測收購量可增加2v個百分點.(1)寫出降稅后稅收六萬元)與x的關系式；(2)要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計劃稅收的83.2%,試確定工的取值范圍.解(1)降低稅率后的稅率為(10—幻％,農(nóng)產(chǎn)品的收購量為。(1+21%)萬擔，收購總金額為200〃(1+2x%)萬元.依題意得y=200。(1+2a-%)(10-x)%=坊(100+2x)(10-x)((X.v<l0).(2)原計劃稅收為200ax10%=20〃(萬元).依題意得需4(100+2v)(10-x)>20。X83.2%,JU化簡得/+40X一84?0,解得一42WxW2.又因為04V10,所以(KiW2.即x的取值范圍為｛x[0<xW2｝.反思感悟利用不等式解決實際問題的一般步驟(1)選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)；(2)由題目中紿出的不等關系，列出關于未知數(shù)的不等式(組)：(3)求解所列出的不等式(組)；(4)結合題目的實際意義確定答案.

跟蹤訓練3某農(nóng)家院有客房20間，日常每間客房日租金為80元，每天都客滿.該農(nóng)家院欲提高檔次，并提高租金，經(jīng)市場調(diào)研，每間客房口租金每增加10元，客房出租數(shù)就會減少1間.每間客房日租金不得超過130元，要使每天客房的租金總收入不低于18007E,該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間有多大？解設每間客房日租金提高x個10元，即每間客房日租金梃高到(80+10#元，則客房出租數(shù)減少工間，此時客房的租金總收入為(80+1。。(20—工)元.因為每天客房的租金總收入不低于1800元，所以(80+10x)(20—x)》1800.化簡，得爐一l"+20W0.解得2Wx《10,所以20Wl(lrW100.又由題意可知80+10xW130,所以10xW50.因此，該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間是2()?50元.-課堂小結-.知識清單：(1)簡單的分式不等式的解法.(2)一元二次不等式的恒成立問題.(3)一元二次不等式在現(xiàn)實生活中的應用..方法歸納：等價變形轉化、恒等變形..常見誤區(qū)：(1)解分式不等式的等價變形.(2)利用一元二次不等式解決實際問題時，應注意實際意義.隨堂演練.不等式=20的解集為()1Xa.(-1,1]b.r-ij)C.[-1,1]D.(-M)答案B解析原不等式解析原不等式O解析原不等式O解析原不等式O(x+1)(x—l)W0,L1W0,1..不等式中25的解集是答案卜-解析原不等式合r4-14?—I,一一5200里」WOOx(4x—l)W0,解析原不等式合r4-14?—I,一一5200里」WOOx(4x—l)W0,ibo,解得F答案。>4或4<—4解析???爐+紈+4<0的解集不是空集，即不等式/+or+4Vo有解，???/=標一4義1義4>0,解得。>4或。<一4.4.某商品在最近30天內(nèi)的價格》與時間/(單位：天)的關系式是9=T+10((X/W30,f￡N)；銷售量”與時間/的關系式是”=一/+35(()<430,/￡N),則使這種商品日銷售金額z不小于500元的t的取值范圍為.答案｛/|10WrW15,r€N)解析z="+10)(一什35),依題意有0+10)(—，+35)2500,解得I0W/WI5,，￡N,所以解集為｛巾0W/W15,￡N).課時對點練n基礎鞏固.不等式FW0的解集是()人I1{小<一1或一14W2}{川一1〈kW2}{小〈一1或x22}{x\~\<x^2]答案D解析此不等式等價于解析此不等式等價于解析此不等式等價于(x-2)(.r+l)W0,x+lWO,解析此不等式等價于(x-2)(.r+l)W0,x+lWO,:.—lvW2..不等式分1》1的解集是()4人3-43-4A-l3-4A-l3-4XITOC\o"1-5"\h\z3-4A-l3-4XICax4>2時用D/x1玉答案B解析不等式”21,移項得"一120,2~x2~x

為化可O,w3-42為化可O,w3-42X-X即為化可O,w3-42X-為化可O,w3-42X-X即x—2W0,3.若關于大的不等式ar-^o的解集為｝,則關于工的不等式空用＞0的解集為（A.3.A.A.{x\x>\A.{x\x>\或A<—2}B.{x\\<x<2]B.C.[x[x>2或A<—1}D.{x|-l<v<2}C.答案C解析x=l為ax—b=0的根,6=0,即a=b,*.*ax—h>0的解集為{x[x>1},?>0,心+力X—2心+力X—2抬+1)

x~2>0,等價為。+1）。-2）＞0..'.x＞2或4v—1..關于x的不等式區(qū)2—6日+A+8W0的解集為空集，則實數(shù)A的取值范圍是（）A.OWkvlB.04W1C.心＞1或k〈0D.kWO答案A解析由題意得不等式丘2-6日+2+8W0的解集為空集，則當々=0時，8W0不成立，因此，2=0滿足題意.當2#當2#。時，必有，Q0,4=3622—軟優(yōu)+8)<0,B.-ID.2解得B.-ID.2綜上得OWkvl,所以實數(shù)攵的取值范圍是0WN1..（多選）若對任意a+2],不等式/一2x—3W0恒成立，則實數(shù)。的值可能為（）A.-2C2

答案BC解析不等式x2—2丫一3W0的解集是[-1,3].因為對任意工￡①，a+2],不等式f-2r-3W0恒成立,所以［a,。+2隹［-1,3］,所以心一1,a+2W3,解得所以心一1,a+2W3,所以實數(shù)。的值可能為一1,.(多選)為配制一種藥液，進行了兩次稀釋，先在體積為丫的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出10升后用水補滿，攪拌均勻，第二次倒出8升后用水補滿，若在第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%,則V的可能取值為()A.5B.20C.35D.50答案BCV-io解析第一次操作后，剩下的純藥液為V—10,第二次操作后，剩下的純藥液為V-10-—X8,因為第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%,所以V-10—^X8^VX60%,解得5WPW40,又V210,所以V的取值范圍為[10,4()]..不等式一彳》一】的解集是.X-I答案{小W0或Q1}解析—10't+1200/72。X—IX—1X-Ix(x—1)20,今x—1W0,，不等式的解集是{x|xW0或x>l}..某商家一月份至五月份累計銷售額達3860萬元，預測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增X%,八月份銷售額比七月份遞增x%,九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等.若一月份至十月份銷售總額至少達7000萬元，則x的最小值是.答案20解析由已知，3860+500+[500(1+.v%)+500(I+j%)2]X227000,化簡得Cv%)2+3?x%—0.6420,解得3％20.2,或—3.2(舍去),所以4220,即x的最小值為20.

.已知關于X的不等式x2—2x—l>a(a￡R).(1)若。=1,求不等式x2—2a—的解集：(2)若不等式爐一2x—的解集為R，求實數(shù)。的取值范圍.解(1)當4=1時，不等式X2-2%—1>〃，即X2—2x—1>1,可得。一1尸一3>0,即(工一1一小)(工一1+小)>0,解得工<1一小或A>1+小.即不等式的解集為(-8,1一小)u(i+，5,+°°).(2)因為不等式x2-2.x-\>a的解集為R,所以f—2r—1—〃>0恒成立，則函數(shù)丁=/-2x—1一〃的圖象恒在x軸上方，與x軸無交點，從而一元二次方程/—2%—1一。=0無實數(shù)根，???/=22—4X(-1—4<0,解得a<—2.即實數(shù)。的取值范圍為(一8,-2).10.某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<rvl),則出廠價相應地提高比例為0.75x,同時預計年銷售量增加的比例為0.6.r,已知年利潤=(出廠價一投入成本)X年銷售量.(|)寫出本年度預計的年利潤)，與投入成本增加的比例％的關系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內(nèi)？解(1)由題意得y=[12(1+0