解析幾何-柱面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

觀察柱面的形成過程:定義4.1.1

平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.柱面母線準線柱面定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線.設(shè)柱面的準線為母線的方向數(shù)為X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)為準線上一點，則過點M1的母線方程為且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0(3)從（2）（3）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0這就是以（1）為準線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的柱面的方程。柱面舉例拋物柱面平面從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸

只含yx,而缺z的方程0),(=yxF，在空間直角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面，其準線為xoy面上曲線C.1.橢圓柱面xyzO2.雙曲柱面例1、柱面的準線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面的方程。例2、已知圓柱面的軸為點（1,-2,1)在此圓柱面上，求這個柱面的方程。（2）母線平行于坐標軸的柱面方程

?、F(x,y)=0準線C:xOy

平面上的曲線F(x,y)=0母線L與z軸平行；Ⅱ、G(x,z)=0準線C:xOz

平面上的曲線G(x,z)=0母線L與y軸平行；Ⅲ、H(y,z)=0準線C:yOz

平面上的曲線H(y,z)=0母線L與x軸平行.例如拋物柱面

y-x2=0C:xOy平面上的拋物線

y-x2=0L:平行于z軸圓柱面

x2+z2=1C:xOz平面上的圓

x2+z2=1L:平行于y軸oxyzoxyz空間曲線在坐標面上的投影

1、概念C：空間曲線投影柱面S：以C為準線，母線平行于坐標軸的柱面。投影C’：投影柱面與投影坐標面的交線。oxyzCS

2、求解步驟

空間曲線C的一般方程

(1)投影柱面方程(2)投影曲線方程例

已知兩球面的方程為

求它們的交線C在xOy面上的投影方程．解消去變量z，得投影柱面方程于是投影方程為

例

設(shè)一個立體由上半球面與錐面所圍成，求它在xOy面上的投影．解半球面與錐面的交線C:消去變量，得投影柱面方程投影曲線方程所求立體在xOy面上的投影就是該圓在xOy面上所圍成的區(qū)域

旋轉(zhuǎn)曲面一、.旋轉(zhuǎn)曲面1、定義:以一條平面曲線C繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.曲線C稱為放置曲面的母線oC緯線經(jīng)線二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標系中，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：旋轉(zhuǎn)直線為：其中P0(x0,y0,z0)為軸L上一定點，X，Y，Z為旋轉(zhuǎn)軸L的方向數(shù)。設(shè)M1(x1,y1,z1)為母線C上的任意點，則M1的緯圓總可以看成是過M1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸L的平面與以P0為中心，|P0M1|為半徑的球面的交線。所以過M1的緯圓的方程為：當(dāng)點M1跑遍整個母線C時，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。又由于M1在母線上，所以又有：從（3）（4）的四個等式中消去參數(shù)x1,y1,z1,得到一個三元方程：F(x,y,z)=0這就是以C為母線，L為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。例1、求直線繞直線x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：設(shè)M1(x1,y1,z1)是母線上的任意點，因為旋轉(zhuǎn)軸通過原點，所以過M1的緯圓方程是：又由于M1在母線上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。下面特殊的旋轉(zhuǎn)曲面曲線CCy

zo繞

z軸曲線

CxCy

zo繞z軸.曲線

C旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面

SCSMNzPy

zo繞

z軸.f(y1,z1)=0M(x,y,z).xS曲線C旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面SxCSMNzP.繞z軸..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.y

zoS三、母線在坐標面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面：

已知yoz面上一條曲線C,方程為f(y,z)=0,曲線C繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周就得一個旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)M1(0,y1`,z1)是C上任意一點,則有f(y1,z1)=0當(dāng)C繞z軸旋轉(zhuǎn)而M1隨之轉(zhuǎn)到M(x,y,z)時,有將z1=z,代入方程f(y1,z1)=0,

得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:即規(guī)律：

當(dāng)坐標平面上的曲線C繞此坐標平面的一個坐標旋轉(zhuǎn)時，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標，而以其它兩個坐標平方和的平方根來代替方程中的另一坐標。解

圓錐面方程例2:求直線z=ay繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程.zxyz=ay解:將y用代入直線方程,得平方得:z2=a2(x2+y2)該旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面,其頂點在原點.例3

將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面（單葉）（雙葉）旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面yzoxyzox

xyoz

xyoz旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面例4、將圓繞Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面。環(huán)面yxorR繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面5環(huán)面z繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面yxo.環(huán)面z繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面環(huán)面方程.生活中見過這個曲面嗎？yxo..救生圈.環(huán)面旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面（長形）（短形）旋轉(zhuǎn)橢球面xyzxyz旋轉(zhuǎn)拋物面xyzoxyzo第四節(jié)二次曲面二次曲面的定義：三元二次方程相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的平面截痕法：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．一、基本內(nèi)容所表示的曲面稱之為二次曲面．a(chǎn)x2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo第四節(jié)橢球面一、性質(zhì)

1.對稱性

中心

：

坐標原點（1個）;主軸：

x軸、y軸和z軸（3條）;

主平面：

xOy面、yOz面和zOx面（3個）.

2.截距和頂點x=0,y=0→

z有解,

則z軸上兩個頂點；

x=0,z=0→

則y軸上有兩個頂點:z=0,y=0→則x軸上有兩個頂點:

橢球面的方程橢球面與三個坐標面的交線：橢球面橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面的交線為橢圓同理與平面和的交線也是橢圓.zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當(dāng)|k|c

時,|k|越大,橢圓越小;當(dāng)|k|=c時,橢圓退縮成點.二.幾種常見二次曲面.（一）橢球面橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成．旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：方程可寫為與平面的交線為圓.球面截面上圓的方程方程可寫為3類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得橢圓:特別:當(dāng)a=b=c時,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原點o,半徑為a的球面.橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面的交線為橢圓同理與平面和的交線也是橢圓.（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標面與曲面相截截得中心在原點的橢圓.與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動時，這種橢圓的中心都在軸上.（2）用坐標面與曲面相截截得中心在原點的雙曲線.實軸與軸相合，虛軸與軸相合.雙曲線的中心都在軸上.與平面的交線為雙曲線.實軸與軸平行,虛軸與軸平行.實軸與軸平行,虛軸與軸平行.截痕為一對相交于點的直線.截痕為一對相交于點的直線.（3）用坐標面，與曲面相截均可得雙曲線.單葉雙曲面圖形

xyoz平面的截痕是兩對相交直線.一、概念在空間直角坐標系中，由方程所表示的曲面，叫做單葉雙曲面,此方程叫做單葉雙曲面的標準方程.方程與表示的曲面也是單葉雙曲面.二、性質(zhì)

1.對稱性

中心

：

坐標原點（1個）;主軸：

x軸、y軸和z軸（3條）;

主平面：

xOy面、yOz面和zOx面（3個）.

2.截距和頂點x=0,y=0→

z無解,

則z軸上沒有頂點；

x=0,z=0→

y=±b,

則y軸上有頂點:z=0,y=0→

x=±a,則x軸上有頂點:

（0，±b，0）（2個）；（±a，0，0）（2個）.3.主截線(1):雙曲線實軸為y軸,

虛軸為z軸;:雙曲線實軸為x軸,

虛軸為z軸;(2)(3):(腰橢圓）.4.平行截線無論h取何值，此方程組總表示在平面:上的橢圓，它的兩半軸為：與此時橢圓的兩軸端點（±，0，h）與（0，±，h）分別在兩條主截線（雙曲線）上，且所在平面與腰橢圓平行.結(jié)論：單葉雙曲面可以看成是由一個橢圓變動其大小和位置而產(chǎn)生的，在變動中這個橢圓始終保持：所在平面平行于xOy面，且兩軸的端點分別沿著yOz和zOx面上的主截線（雙曲線）滑動。三、圖形