2021年于新華中考數(shù)學16講第12講單線段的最值

第12講單線段的最值一、以“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”為手段例題講解TOC\o"1-5"\h\z.已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面上一點，點P在OM上.一只蝸牛從點P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到點P時所爬過的最短路線的痕跡如圖所示.若沿OM將圓錐側(cè)面剪開，所得側(cè)面展開圖是 (D)提示：將圓錐側(cè)面展開，運用“兩點之間線段最短”解決．.如圖，點A的坐標為(一1,0),點B在直線y=%上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為(C、 <2 。2、 1 1、 22 22、A.(0,0)B.(, ) C.(——,——)D.( , )2 2 2 2 2 2提示：法1：作AD±OB，運用“垂線段最短”解決.法2：設(shè)點B(m,m),可得AB2=(m+1)2+m2,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最小值求解．歸納利用這兩個基本事實,將其轉(zhuǎn)化為兩個定點之間距離問題或一個定點到定直線之間距離問題．【同型練】.如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過三個面爬到點B.如果它運動的路徑是最短的，2v10提示：將正方形側(cè)面展開,運用“兩點之間線段最短”解決．第1題圖提示：將正方形側(cè)面展開,運用“兩點之間線段最短”解決．第1題圖第2題圖第3題圖.如圖，已知直線y=3%—3與％軸，y軸分別交于點A,B,P是以C(0,1)為圓心，1為半徑的圓上一動點，TOC\o"1-5"\h\z連接PA,PB.則△PAB面積的最大值是 (C21 17A.8 B.12 C.— D.—22提示：運用“垂線段最短”解決.作CM±AB，利用△BOA-△BMC可求出CM=16，則。C上點到直線AB5最大距離是1+16=21.也可運用代數(shù)方法解決.55.如圖，在Rt△ABC中，NC=90°,AB=433,F是線段AC上一點，經(jīng)過點A的圓F交AB于點D,ED=EB,則EF的最小值為 (BA.3<3 B.2v3 C.v3 D.2提示：運用“兩點之間線段最短”解決.連接FD,作FG±AB,EH±AB，則GH=1AB=2<3，故FE三GH2=2<3..如圖，已知。O經(jīng)過點A(2,0),C(0,2),直線y=kx與。O交于B,D兩點，則四邊形ABCD面積的最大值為.4<2提示：運用“垂線段最短”解決.由于0為BD中點，則S四邊形ABCD=2S四邊形ABCO，連接AC,對于四邊形ABCO,△ACO的面積是定值.當"BC面積最大時，四邊形ABCO的面積最大，由于OA=OC,故點B在y=x上，于是可求得四邊形ABCD面積最大值為4v2.第4題圖 第5題圖 第6題圖 第7題圖.如圖，在Rt△ABC中，NC=90°,BC=3,AC=4,D,E分別是AC,BC邊上的點，且DE=3.若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M,N兩點，則MN的最大值為 (D)A.910B.A.910B.C.D.12"5提示：運用“垂線段最短”解決.取DE中點0,作OH±MN,連接ON,。0,作CG±MN,則OC+OH三CG12 1239 12=一，故OH的最小值為一一—=一，此時MN=2NH=一.5 5 210 5.如圖，在等邊"BC中，AB=4,P是BC邊上的動點，點P關(guān)于直線AB,AC的對稱點分別為M,N,則線段MN長的取值范圍是 .6WMNW433提示：運用“垂線段最短”解決.連接AM,AN,則AM=AN=AP,△AMN是頂角為120°的等腰三角形，故MN=<3AP.作AH±BC,則AH=2v3，有AP三AH，所以6WMN<4<3.

7.如圖，在△ABC中，/BAC=60°ZABC=45°,AB=2v27.如圖，在△ABC中，/BAC=60°分別交AB,AC于點E,F連接EF則線段EF長度的最小值是 .733 ..提示：運用“垂線段最短”解決.連接OE,OF,則ZFOE=120°,OE=OF,故EF=33OE=——AD.作AH2±BC,AH=2,有AD三AH，故EF的最小值為<3.二、以圓為手段1．“明圓”例題講解如圖，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,以AB邊的中點O為圓心，作半圓與AC邊相切，點P,Q分別是BC邊和半圓上的動點，連接PQ,則PQ長的最大值與最小值的和是 (C)A.6 B.2<13+1 C.9 D.6.5提示：作OD±BC,則OD=4,半徑為3,于是最大值為5+3=8,最小值為4—3=1,最大值與最小值的和為9.歸納所求線段最小,若已經(jīng)一定點和一動點(動點在圓上),則轉(zhuǎn)化為定點到圓上各點距離的最值問題．【同型練】.如圖，在Rt△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交AB于點D,P是CD上的一個動點，連接AP，則AP長的最小值為.君—1提示：取BC中點O,連接OP,OA，則OP=1,OA=<5,AP三OA—OP，故AP長的最小值為、；5—1..在平面直角坐標系中，已知點A(3,0),B是以點M(3,4)為圓心，1為半徑的圓周上的一個動點，連接BO,設(shè)BO的中點為C,則線段AC長的最小值為.2提示：在1軸正半軸上取點D，使得AO=AD,連接DB,DM，則AC=1DB,DB長的最小值DM—1=5—12=4,故AC長的最小值為2..“隱圓”例題講解.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E是射線CD上的一個動點，把△BCE沿BE折疊，點C的對應(yīng)點為F,則線段DF長的最小值為.2提示：點F的軌跡是以點B為圓心，BC為半徑的圓弧，連接BD，則BD=5,BF=BC=3,故DF三BD—BF,故DF長的最小值為2.例1圖 例2圖.如圖，在Rt△ABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是4ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足/PAB=ZPBC,則線段CP長的最小值為.2提示：點P的軌跡是以AB為直徑的圓弧，取AB中點0,連接OC,OP,CP，則OC=5,OP=3,有CP三OC—0P，故CP長的最小值為2.歸納找到“隱圓”是關(guān)鍵,而用“一中同長”或“定弦定角”找“隱圓”是最常見的手法.【同型練】.如圖，在菱形ABCD中，/ABC=60°,AB=2.P是這個菱形邊上或內(nèi)部一點，且以點P,B,C為頂點的三角形是等腰三角形，則P,D（P,D兩點不重合）兩點間的最短距離為.2也—2第1題圖提示：分類討論.①若BC為底，則點P在BC的垂直平分線上，運用“垂線段最短”得PD長的最小值為2；②若PC為底，則點P在以點B為圓心，BC為半徑的圓上，PD長的最小值為2v3—2；③若PB為底，則點P在以點C為圓心，BC為半徑的圓上，故此種情況不存在..如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1,0）,B（1-a,0）,C（1+a,0）（a>0），點P在以點D（4,4）為圓心，1以半徑的圓上運動，且始終滿足BPC=90°,則a的最大值是 .第2題圖【答案】6提示：NBPC=90°,PA=AB=AC=a，故點P在以點A為圓心，a為半徑的圓上運動，則AD=5,故AP的最大值為6,即a得最大值為6..如圖，在正方形ABCD中，AB=2,動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E,

F運動的速度相同.當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF,BE相交于點P，則線段CP的最小值為.第3題圖【答案】V2提示：點P的軌跡是以AB為直徑的圓弧(四分之一圓周)，該圓弧的一個端點在A，另一個端點是正方形的中心。，顯然，OC就是最小的CP，故CP的最小值為、：2..如圖，在平面直角坐標系中，點A(-2,0),B(0,2),。O上一動點，過點B作BP，直線AC,垂足為P,則點P縱坐標的最大值為—（ ）A.2<2 B.13±1 C.2D.32 2第4題圖【答案】B提示：NAPB=NAOB=90°,故點P的軌跡是以AB為直徑的圓弧，欲使得點P最高，則NPAO要最大.顯然，當PA與圓O相切時最大，切點就是C,故可求得點P的縱坐標的最大值為=+1.2.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx(k*0)經(jīng)過點(a,百aXa>0).線段BC的兩個端點分別在x軸與直線y=kx上(點B,C均與原點O不重合)滑動，且BC=2,分別作BP±x軸，CP，直線y=kx，交點為P，經(jīng)探究在整個滑動過程中，P,O兩點間的距離為定值 .第5題圖【答案】.”3提示：因點O,B,P,C在同一個圓上，故連接OP，則OP為直徑，△OBC外接圓的直徑就是3OP的值.因NCOB=60°,BC=2,故4OBC外接圓直徑為4^3，故OP=生3.33三、以路徑為手段1.直線型路徑背景下的最值【定距離判斷直線型路徑】例題講解如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點E在AD邊上，且AE:ED=1：3.動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止.過點E作EFPE交射線BC于點F,設(shè)M是線段EF的中點，則在點P運動的整個過程中，點M運動路線的【答案】9提示：由于M為EF的中點，易得點M的軌跡是平行于AD且距AD為3的一條線段（如圖），P在點A時得起點M1,P在點B時得終點M2，易得F1F2=18,故M1M2=9.歸納當某一動點到某條直線的距離不變時,該動點的路徑為直線,由此再利用“垂線段最短”可解.【同型練】.如圖，已知OABC的頂點A,C分別在直線x=1和l=4上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為

第1題圖【答案】5提示：在口。45。中，由％0+xB=xA+xC，得Xb=5,故點B的軌跡是x=5，于是OB長的最小值為5..如圖，在Rt△ABC中，/B=90°,AB=4,BC>AB,點D在BC邊上.在以AC為對角線的口ADCE中，DE長的最小值是 .第2題圖【答案】4提示：不妨建立以B為原點的坐標系，在口ADCE中，由xD+xE=xA+xC，得xE=4,故點E的軌跡是x=4，于是DE長的最小值為4..如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AB±BC，AD=1,BC=3,P為AB邊上一動點，連接PD并延長至點E，使得PD:PE=1:3.以PE,PC為邊作口PE/C,連接PF則PF長的最小值為第3第3題圖【答案】6提示：作EGAB,易得EG=3,不妨建立以B為原點的坐標系，在口PCFE中，由％P+xF=Xe+xC,得xF=6,故點P的軌跡是x=6，于是PF長的最小值為6..如圖，在等邊"BC中，BC=6，D,E是BC邊上的兩點，且BD=CE=1,P是一動點，過點P分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點M，N，連接MN，AP交于點G，則點P由點D移動到點E的過程中，線段BG掃過BG掃過的區(qū)域面積為.第4第4題圖【答案】【答案】w提示：①定軌跡，以B為原點建立坐標系，在口AMPN中，由一-2，G，得yG=3<3，故點G的軌跡是y=3J3；②找起點，當P在點D處時，運動是開始狀態(tài)，故起點為G1；③找終點，當P在點E處時，運動是結(jié)束狀態(tài)，故終點為G；在4ADE中，GG=2,故線段BG掃過的區(qū)域為△BGG，其面積為3口.2 12 12 2

【定角度判斷直線型路徑】例題講解如圖，△ABC和^ADE都是等腰直角三角形，/BAC=ZDAE=90°,AB=AC=2,O為AC的中點.若點D在直線BC上運動，連接OE上運動，連接OE，則在點D的運動過程中，線段OE長的最小值為【答案】立2提示：連接CE，則可證小血以△ACE，于是NECB=90°,故點E的軌跡是直線CE，于是OE長的2最小狀態(tài)為垂直于C最小狀態(tài)為垂直于C時故O的最小值為三歸納某一動點與定線段的一個端點連接后所成角度不變，則該動點路徑是直線，然后用垂線段最短解決問題.【同型練】.如圖，在邊長為2a的等邊△ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB,將線段BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接HN,則在點M的運動過程中，線段HN長的最小值是 .

N【答案】a提示：連接AM則可證△ANB/△CMB，于是NBAN=30°,故點N的軌跡是直線AN,于是HN2a的最小狀態(tài)為垂直于AN時，作HD±AN,故HN長的最小值HD=-.2.如圖，在AABC中，BAC=90°,AB=AC=2,線段BC上一動點P從點C開始運動，到點B停止，以AP為邊AC的右側(cè)作等邊△APQ，則點Q運動的路徑長為.【答案】2、2提示：將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得線段AD,連接DQ,則可證AACP/△ADQ，于是ND=45°,故點Q的軌跡是直線DQ,并且CP=DQ,于是點Q運動的路徑長就是點P運動的路徑長，故點Q運動的路徑長為2G.

3.如圖，在△ABC=90°,AC=BC=4,M為AB的中點Q是射線BC上的一個動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接ED，N為ED的中點，AN，MN.（1）如圖①，當BD=2時，AN=，NM與AB的位置關(guān)系是 ；（2）當4<BD<8時，①依題意補全圖②；②判斷（1）判斷（1）中NM與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論；（3）連接ME，在點D運動的過程中，求ME長的最小值.【答案】（1）V10,NM±AB.（2）①如圖；②不變，NM±AB.（3）ME長的最小值為2.提示：（1）在^ACD中，AD=2K，5.在"DE中，DE=2<10.因N是DE中點，則AN=.作點B關(guān)于AC的對稱點居連接AF,CF,BE,BN,可證^AF。/△ABE,則NABE=ZAFD=45°,于是EB±BC,故點E的軌跡是直線BE在BDE中，BN=-DECADE中，AN=1DE.于是NB=NA.因M是AB中點，故NM±AB.22

E(2)①圖形如圖所示；②連接AF,BE，類似于(1)中可證NM±AB.(3)類似于(1)的方法可證點E的軌跡是直線BE，于是當ME±BE時，ME最小，故ME的最小值為2.2.圓弧型路徑背景下的最值【用一中同長定圓】例題講解如圖，在Rt△ABC中，ACB=90°，AC=4，BC=3，D是平面內(nèi)的一個動點，且AD=2，M為BD的中點，在點D運動過程中，線段CM長的取值范圍是 .【答案】1.5WCM<3.5提示：因AD=2,故作出如圖所示的輔助圓.取AB中點E，連接EC，EM，則EC=2.5,EM=1,從而CM的取值范圍是1.5<CM<3.5.

【同型練】.如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2、3，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點.當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是 .【答案】n提示：取AB中點D，連接DP,DC.取CD中點￡，連接EM.顯然EM=1DP=1.故點M的軌跡是半2圓弧FDG，于是點M的路徑長為n..如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，長度為2的動線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)，連接EC，取EC的中點F，連接DF，則DF長的取值范圍為.

1一【答案】％5-1<DF<+5+1提示：倍長CD至點G,連接￡G,作如圖所示的輔助圓，則DF=-￡G,而EG乙長的最大值為2<5+2，最小值為2V5-2，故DF長的最大值為啟+1,最小值為<5-1..如圖，在△ABC中，AC=2，AB=3，當B最大時，BC的長為c第3題圖【答案】V提示：作如圖所示的輔助圓，則當BC是。A的切線時，/B最大，故此時BC長為<5.【用定弦對定角定圓】例題講解

O為^ACD的外接圓，O交直線BD于點如圖，在△ABC中,AC=3,BC=4V2,ZACB=O為^ACD的外接圓，O交直線BD于點P，交BC于點E,AE=CP，則AD長的最小值為（ ）A.1 B.2 C.<2D.<41-4v2歸納當某條邊與該邊所對的角是定值時,該角的頂點的路徑是圓弧.判斷出動點的運動路徑后,可利用點和圓的位置關(guān)系求出其最值.【答案】A提示：??,AE=CP，則ZPDC=ZACE=45,則ZBDC=135,則點D在以BC為弦，ZBDC=135的圓弧上運動,如圖,設(shè)圓心為G,連接GD,GA,在^ACG中,AG=5,GD=GB=4,所以AD的長的最小值為1.【同型練】.在正方形ABCD中,AD=2,點E從點D出發(fā)向終點C運動,點F從點C出發(fā)向終點B運動，且始終保持DE=CF.連接AE,DF交于點P,則點P運動的路徑長是 .

ADAD【答案】-2提示：如圖，顯然，/4P。=90，取AD中點Q，連接QP,則點P的軌跡是以AD為直徑的圓弧.根據(jù)點E的運動,圓弧的起點是D,終點是O,故點P運動的路徑長為-.2ADEB ADEB FC.如圖，以點G(0,1)為圓心，2為半徑的圓與％軸交于A,B兩點，與y軸交于C,D兩點,E為OG上一動點,CF±AE于點F.當點E從點B出發(fā)順時針運動至點D時，點F所經(jīng)過的路徑長為.【答案】T-3提示：連接AC,顯然/AFC=ZAOC=90，則點F的軌跡是以AC為直徑的圓弧，根據(jù)點E的運動，圓弧的起點是O,終點是A,故點F所經(jīng)過的路徑長為彳3-..如圖，已知以AB為直徑的半圓O,C為AB的中點，P為BC上任意一點,CD±CP，交AP于點D，連接BD.若AB=6,則BD長的最小值為.

【答案】3<5-3提示：連接CB,PB,則△CA。/△CBP,故CD=CP,又CD±CP,故NCDP=45，則NCDA=135，故點D的軌跡是

以AC為弦且NCDA=135的圓弧.在^AEB中,AE=3,AB=6,故BE=3<5，于是BD長的最小值為BE-ED,故BD長的最小值為3<5-3.AOAOB.如圖，O的半徑為1,弦AB=1,P為優(yōu)弧AB上一動點，AC±AP,交直跤PB于點C,則^ABC的最大面積是【答案】—4提示：己知AB=1,圓半徑為1,則NP=30，于是NACP=60，故點C在以AB為弦的圓弧上運動.當CA=CB時，點3C離開AB最遠，即圖中的點D,故^ABC面積的最大值為^DAB的面積，所以S4D<一.ABC4DD四、以代數(shù)轉(zhuǎn)化為手段例題講解如圖，在Rt△AOB中,OA=OB=3V2,O的半徑為1,P是AB邊上的動點，過點P作O的一條切線PQ(Q為切點),則PQ長的最小值為. ?歸納利用勾股定理得出PQ2=OP2-OQ2；利用代數(shù)恒等變形，當OP最小時,PQ才會最小.【答案】2<2提示：連接OP,在^OP。中，PQ=OPP2—OQ2,則當OP最小時,PQ才會最小.作OD±AB,則OP的最小值為OD=3,故PQ長的最小值為2V2.【同型練】.在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，A,B,C三點的坐標分別為A(<3,0),B(3<3,0),C(0,5),點D在第一象限，且NADB=60，則線段CD長的最小值為.【答案】2.7-2提示：因NADB=60，故點D在以AB為弦且NADB=60的圓孤上運動，此時圓的半徑為2.連接EC,作EG±OC,EG=2x3,CG=4,則CE=2<7.當點D運動到點F的位置時,CD最小，故CD長的最小值為2<7-2.xC(%,y)是平行四邊形的四個頂點，其中l(wèi),y滿足3%-4y+12=0,則C(%,y)是平行四邊形的四個頂點，其中l(wèi),y滿足3%-4y+12=0,則CDA.102<7「16—5A.102<7「16—5D.4【答案】C提示：①若口ABC