大氣運(yùn)動(dòng)的基本方程組

大氣運(yùn)動(dòng)的基本方程組1第一頁，共五十七頁，2022年，8月28日

§1.1運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)一、標(biāo)量場(chǎng)的空間變化1、位置矢量：空間上的任一點(diǎn)M(x，y，z)的位置則可用一個(gè)位置矢量表示：

空間上位置的變化可用位置矢量的改變量（位移矢量）表示：

2第二頁，共五十七頁，2022年，8月28日2、標(biāo)量場(chǎng)的梯度

任一標(biāo)量場(chǎng)(以氣壓場(chǎng)p為例)可表為空間點(diǎn)和時(shí)間的函數(shù)：

考慮某一指定時(shí)刻(t=t0

)氣壓p在某一點(diǎn)的鄰域的空間變化，則p可視為只是空間變量的函數(shù)，其空間微分可表為：

定義：為氣壓梯度。

梯度算子（符）：3第三頁，共五十七頁，2022年，8月28日

氣壓p沿

（或

）方向的方向?qū)?shù)可表為：

此式清楚地表明了氣壓空間變化與氣壓梯度的關(guān)系：當(dāng)＝0時(shí)，即p的方向?qū)?shù)取得最大正值；當(dāng)＝/2時(shí)，4第四頁，共五十七頁，2022年，8月28日三、場(chǎng)變量的時(shí)間變化1、局地時(shí)間變化率

當(dāng)考察在空間某個(gè)固定點(diǎn)（位置矢為

）上一個(gè)場(chǎng)變量隨時(shí)間t的變化時(shí)，所測(cè)得(或觀測(cè)到)的變化稱為該場(chǎng)變量在該地點(diǎn)上的局地（時(shí)間）變化。

場(chǎng)變量F（

，t）在點(diǎn)

上的局地變化率(單位時(shí)間內(nèi)的變化量)可定量地表為：2、個(gè)別時(shí)間變化率

個(gè)別變化率是指跟隨某個(gè)“動(dòng)點(diǎn)”（如移動(dòng)的飛機(jī)、車、5第五頁，共五十七頁，2022年，8月28日

船、空氣質(zhì)點(diǎn)或天氣系統(tǒng)中的特性點(diǎn)等）在運(yùn)動(dòng)過程中所歷經(jīng)（或測(cè)得）某物理量F隨時(shí)間的變化率。

其數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫為：

與局地變化率不同，它是物理量在不同地點(diǎn)、不同時(shí)刻的變化率。3、平流變化率

改寫個(gè)別變化率的表達(dá)式：

＋局地時(shí)間變化率6第六頁，共五十七頁，2022年，8月28日右邊第二項(xiàng)的分子可表為：取(同時(shí)有)的極限：

平流變化率

其中：為動(dòng)點(diǎn)的位置矢的時(shí)間變化率，也稱為平流速度。F的個(gè)別變化率等于其局地變化率與平流變化率之和。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)就是空氣質(zhì)點(diǎn)時(shí)，氣象上通常用表示空氣運(yùn)動(dòng)的速度：

7第七頁，共五十七頁，2022年，8月28日其中：這樣有：上式可以看成是“個(gè)別微分算子”：作用于場(chǎng)變量F的結(jié)果。若令F=T,T為氣溫,則由上式有：這是局地溫度的預(yù)報(bào)方程。左邊代表局地的溫度變化率，右邊的項(xiàng)可視為影響局地溫度變化的強(qiáng)迫因子。

8第八頁，共五十七頁，2022年，8月28日上式右邊第二項(xiàng)（）稱為溫度平流。當(dāng)<0時(shí),稱為冷平流

，可造成降溫：當(dāng)>0時(shí),稱為暖平流

，可造成升溫：

T-T+T-T+

冷平流

暖平流例題20第九頁，共五十七頁，2022年，8月28日三、速度場(chǎng)的散度和渦度1、速度散度和連續(xù)方程1）速度散度考慮表面積為S、體積為τ的空氣塊（如圖），由于其表面上各點(diǎn)的速度分布不均勻而引起的體積變化率

高斯公式其中：速度散度第十頁，共五十七頁，2022年，8月28日考慮氣塊體積趨于零有：速度散度的物理意義：空氣微團(tuán)體積的相對(duì)變化率。當(dāng)垂直速度為零時(shí)，空氣運(yùn)動(dòng)為水平運(yùn)動(dòng)，空氣微團(tuán)的體積變化率退化為水平面積(A)的變化率：

輻散輻合第十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日2）連續(xù)方程3）氣壓傾向方程（P10）

第十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日2、速度場(chǎng)的渦度

1）渦度：是用來描述空氣微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)特性：x分量y分量z分量第十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日第十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日

對(duì)于大尺度運(yùn)動(dòng)，垂直方向的渦度分量是主要的，天氣學(xué)上常常主要考慮垂直渦度分量z，并且約定：在北半球：ζ>0，稱之為氣旋式渦度，

ζ<0，稱之為反氣旋式渦度在南半球，情況則相反：當(dāng)ζ>0(ζ<0)時(shí)，稱之為反氣旋式（氣旋式）渦度。2）速度環(huán)流沿閉合曲線L的速度環(huán)流定義為：第十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日速度環(huán)流的物理含義：圍線L上的一群空氣質(zhì)點(diǎn)沿L方向運(yùn)動(dòng)的總體（積分）趨勢(shì)的一種定量量度。在北半球，當(dāng)C>0(C<0)時(shí)，氣象上稱之為氣旋式（反氣旋式）環(huán)流。

3）速度環(huán)流與渦度的關(guān)系計(jì)算沿圍線ABCD的速度環(huán)流：AB:BC:CD:DA:第十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日沿圍線ABCD的總速度環(huán)流則為:

由此有

:ζ為矩形中心點(diǎn)處的鉛直渦度分量，為矩形ABCD的面積。當(dāng)矩形面積趨于零，取極限則有

可見，鉛直渦度分量ζ可解釋為水平圍線上的速度環(huán)流在面積趨于零時(shí)的極限，或者說是單位面積上的速度環(huán)流。第十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日§1.2旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的大氣運(yùn)動(dòng)方程1慣性坐標(biāo)系與非慣性坐標(biāo)系

牛頓第二定律只適用于某種特定的坐標(biāo)系（或參照系）。按牛頓第二定律是否成立，可將坐標(biāo)系分成：

絕對(duì)（靜止）坐標(biāo)系：能使牛頓第二定律成立的坐標(biāo)系。在這種坐標(biāo)系中，牛頓慣性定律亦成立，故又稱之為慣性坐標(biāo)系。相對(duì)于慣性坐標(biāo)系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系仍是慣性坐標(biāo)系。

相對(duì)坐標(biāo)系：相對(duì)于慣性坐標(biāo)系作加速運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，也稱非慣性坐標(biāo)系。

第十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日在氣象學(xué)上：1）通常將相對(duì)于恒星靜止、不隨地球自轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系稱為絕對(duì)坐標(biāo)系（慣性坐標(biāo)系或“靜止”坐標(biāo)系），在絕對(duì)坐標(biāo)系中觀測(cè)到的大氣運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)；并且，通常略去地球繞太陽公轉(zhuǎn)引起的加速度(≈6×10-3m/s2)；2）將固定于地球上、跟隨地球自轉(zhuǎn)一起轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系稱為相對(duì)坐標(biāo)系（旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系），它是一種非慣性坐標(biāo)系,在此坐標(biāo)系中觀測(cè)到的大氣運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

2慣性坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程

在慣性坐標(biāo)系中，按牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，單位質(zhì)量空氣徽?qǐng)F(tuán)的運(yùn)動(dòng)方程可表

第十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日

上式是在絕對(duì)坐標(biāo)系中，單位質(zhì)量空氣微團(tuán)所遵從的運(yùn)動(dòng)方程，有時(shí)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。但是，由于在地球坐標(biāo)系中（例如地球上的測(cè)站）無法直接觀測(cè)到絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度，只能觀測(cè)到相對(duì)速度和相對(duì)加速度。因此，上式并不能直接用于研究地球大氣運(yùn)動(dòng)。

找出絕對(duì)速度與相對(duì)速度以及絕對(duì)加速度與相對(duì)加速度的關(guān)系？3

兩種坐標(biāo)系中的速度和加速度的關(guān)系

第二十頁，共五十七頁，2022年，8月28日絕對(duì)位移相對(duì)位移第二十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日若將由于地球自轉(zhuǎn)引起p點(diǎn)的移動(dòng)速度（稱為牽連速度）記為，則p點(diǎn)的牽連位移為

空氣微團(tuán)的絕對(duì)位移等于其相對(duì)位移與牽連位移之向量和若用除上式兩端，并取趨于零的極限，則有

即

絕對(duì)速度與相對(duì)速度的關(guān)系第二十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日位于緯度處的空氣質(zhì)點(diǎn)的牽連速度就是該質(zhì)點(diǎn)隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)在緯圈平面上以角速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度：（推導(dǎo)）于是有：和從個(gè)別變化率的定義出發(fā)，可直接證明，對(duì)于任一標(biāo)量F,絕對(duì)坐標(biāo)系中的個(gè)別變化率等于相對(duì)坐標(biāo)系中的個(gè)別變化率：空氣質(zhì)點(diǎn)的牽連速度作業(yè)：習(xí)題21，29第二十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日證明：對(duì)任意矢量，成立。第二十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日令：有：（推導(dǎo)）即表述絕對(duì)加速度與相對(duì)加速度關(guān)系的定量關(guān)系式。絕對(duì)加速度等于相對(duì)加速度加上兩個(gè)由于坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)而引起的附加加速度：

1）科里奧利（Coriolis）加速度：

2）向心加速度：通過已經(jīng)確定了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的相對(duì)速度與絕對(duì)速度以及相對(duì)加速度與絕對(duì)加速度的定量關(guān)系，那么我們就完全可以通過地球上探測(cè)到的風(fēng)速（相對(duì)速度）來定量地表述絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度。因而，我們可以進(jìn)一步導(dǎo)出便于直接用于研究地球大氣運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)方程———旋坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程（相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程）。第二十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日4、相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

在等號(hào)的不同邊，或稱“慣性力”，或稱“加速度”第二十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日5、作用于空氣微團(tuán)上的作用力1）氣壓梯度力考慮右圖空氣塊所受壓力：于是，對(duì)單位質(zhì)量的空氣小體而言，在x方向上所受壓力的合力為：第二十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日Y方向的合力：Z方向的合力：綜合起來，單位質(zhì)量空氣小體所受總的壓力合力即氣壓梯度力為氣壓梯度力的性質(zhì)：1）氣壓梯度力的方向與氣壓梯度的方向相反，即與等壓面（線）垂直、指向氣壓降低的方向；2）氣壓梯度力的大小與氣壓梯度的大小成正比，與空氣密度成反比。

第二十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日2)科里奧利（Coriolis）力:

它的存在條件：0（旋轉(zhuǎn)）；0，即有相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)?？剖狭Γǖ剞D(zhuǎn)偏向力）的性質(zhì)：

i)－－即科氏力一定在緯圈平面上；

ii)－－科氏力只會(huì)改變運(yùn)動(dòng)的方向，不改變其大小，即對(duì)空氣微團(tuán)不做功。

iii)對(duì)于北半球的水平運(yùn)動(dòng)，科氏力總是指向運(yùn)動(dòng)前進(jìn)方向的右方（觀測(cè)者面向運(yùn)動(dòng)前進(jìn)方向），南半球的情形則相反，指向運(yùn)動(dòng)前進(jìn)方向的左方。

第二十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日例如，在北半球，向南（北）流的水流會(huì)受到指向西（東）的科氏力的作用，引起水流向南（北）流的河床的西（東）岸受到更為嚴(yán)重的沖刷。又如，在北半球運(yùn)行的遠(yuǎn)程火箭，當(dāng)它鉛直上升（下降）時(shí)，其軌道要向西（東）偏移；當(dāng)它在水平面方向向東（西）飛行時(shí)，其軌道要向南并向上（向北并向下）偏移。3重力：地心引力與慣性離心力的合力單位質(zhì)量空氣微團(tuán)所受地心引力可表為

第三十頁，共五十七頁，2022年，8月28日地心引力是指向地心的有勢(shì)力，設(shè)為地心引力勢(shì)，則地心引力可表為：

勢(shì)力的性質(zhì)：沿閉合路線積分為零，無旋。（證明）

若假定極地海平面（）上的地心引力勢(shì)為零（），則可以求得地心引力勢(shì)為：

物理圖像：地心引力的等勢(shì)面為以地心為球心的同心球面族。

第三十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日

慣性離心力：－－垂直于地軸、從地軸指向外，也是一種有勢(shì)力。設(shè)其勢(shì)函數(shù)為，則可將慣性離心力表為：（證明）若假設(shè)地軸上（）的慣性離心力勢(shì)為零（），則可求得

物理圖像：慣性離心力的等勢(shì)面為以地軸為軸的同軸圓柱面族。

這樣，重力加速度可表為

：重力位勢(shì)：

第三十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日由地心引力和慣性離心力的性質(zhì)可知，重力的大小隨所處的緯度和高度不同而不同。在同一海拔高度上，重力加速度隨緯度增大而增大，赤道上最小，極地最大；在同一緯度，重力加速度隨海拔高度增大而減小。計(jì)算重力的近似公式（1930年國際重力公式）可表為：這里為緯度，z為海拔高度（以米為單位）。由于重力加速度隨緯度和高度的變化很小，它與地心引力的夾角也很小，故氣象上一般將重力加速度視為常數(shù)，取g≈9.81

米/秒2；并近似地視地球?yàn)榘霃絘≈6371公里的球形，視等重力位勢(shì)面為同心球面族。

單位？第三十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日重力位勢(shì)則可近似估算為（假定）：（推導(dǎo)）4分子粘性力（內(nèi)摩擦力）

其中，為運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù)，為動(dòng)力粘性系數(shù)。大氣是一種低粘流體，除了貼近地面幾厘米厚度的薄層，因?yàn)榭諝膺\(yùn)動(dòng)速度垂直梯度很大，必須考慮分子粘性作用的影響外，一般都可忽略分子粘性力的作用。

第三十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日最后，矢量形式的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可改寫為

第三十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日§1.3運(yùn)動(dòng)方程的分量形式

1球坐標(biāo)系：原點(diǎn)O卻在地心

λ－經(jīng)度；

Ф－緯度

r－

距球心距離－為沿緯圈指向東－沿經(jīng)圈指向北－沿徑向指向天頂?shù)膯挝幌蛄俊?/p>

第三十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日沿各方向的坐標(biāo)線元分別為：在球坐標(biāo)中，若將空氣微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)速度矢表為則有：

，第三十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日2球坐標(biāo)系的個(gè)別微分算子對(duì)任意一個(gè)場(chǎng)變量，有：

兩邊除以dt，取極限，并利用球坐標(biāo)各速度分量的表達(dá)式有：

所以：球坐標(biāo)個(gè)別微分算子：第三十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日梯度算子：

要求得運(yùn)動(dòng)方程在球坐標(biāo)系中的分量方程，就得先將運(yùn)動(dòng)方程中向量形式的各項(xiàng)分別分解到球坐標(biāo)系的各個(gè)方向上，即求出各項(xiàng)的分量式。

3球坐標(biāo)系加速度的分量形式

(1)相對(duì)加速度可寫為：

問題歸結(jié)為求單位向量、和的個(gè)別變化率的分量表達(dá)式。

第三十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日

①

由于所以：考慮單位矢量隨經(jīng)度λ的變化：

第四十頁，共五十七頁，2022年，8月28日

大?。河谑牵旱姆较颍吹姆较颍┡c方向相反，指向地軸。

第四十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日于是，有②③（還有簡(jiǎn)便的推導(dǎo)）

第四十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日其中，包含因子1/r的項(xiàng)是由于地球的球面性引起的曲率項(xiàng)，稱為“曲率加速度”。4各作用力在球坐標(biāo)系中的分量(1)氣壓梯度力的分量形式

利用球坐標(biāo)系中的梯度算子，可得氣壓梯度力在球坐標(biāo)系中分解式為:(2)科氏力其中，地轉(zhuǎn)角速度可表為：

第四十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日各分量可分別表為：于是，在球坐標(biāo)系中，科氏力可表為其中稱為科氏參數(shù)。

第四十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日（3）重力和分子粘性力重力只在垂直方向有分量：分子粘性力可形式上表為：

5球坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)方程的分量形式，第四十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日等式右邊的含因子1/r的項(xiàng)源于球坐標(biāo)系中的“曲率加速度”，可稱為“曲率慣性力”，可以證明該力與速度垂直，即其對(duì)空氣微團(tuán)不做功。由于90%以上的大氣都集中在離地面20公里以下的薄層內(nèi)，有時(shí)采用郭曉嵐稱謂的“薄層近似”，即在上述方程中，當(dāng)r作為系數(shù)出現(xiàn)時(shí)，近似地取于是薄層近似下的運(yùn)動(dòng)方程可表為:

第四十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日6球坐標(biāo)系的速度散度和渦度球坐標(biāo)系中的單位向量的基本微分公式可表為：及

第四十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日利用上述微分關(guān)系，可得到球坐標(biāo)系中速度場(chǎng)的散度：類似地，速度場(chǎng)的渦度可表為球坐標(biāo)系中的拉普拉斯算子可表為

第四十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日6球坐標(biāo)系得連續(xù)方程

將球坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式代入上連續(xù)方程，可將球坐標(biāo)系中的質(zhì)量連續(xù)方程寫為：或：

另一種推導(dǎo)方法：

小體積得空氣質(zhì)量增加＝凈的質(zhì)量流入

第四十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日

§1.4局地直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程與連續(xù)方程

1局地直角坐標(biāo)系局地直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于海平面上指定地點(diǎn)，x軸沿緯線指向東，y軸沿經(jīng)線指向北，z軸指向天頂。三個(gè)坐標(biāo)軸向的單位向量分別為和，它們與球坐標(biāo)系中沿和方向的單位矢的指向完全相同，所不同的是，現(xiàn)在，在坐標(biāo)原點(diǎn)附近的“局部地區(qū)”（研究問題的區(qū)域），單位矢量將視為不隨地點(diǎn)的改變而改變的單位矢量。（當(dāng)范圍不大時(shí)，即局地看成一個(gè)平面，而不是球面）

第五十頁，共五十七頁，2022年，8月28日2局地直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程與連續(xù)方程

在球坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，假定：1）略去球面性所產(chǎn)生的曲率項(xiàng)。

2）形式上，令空氣運(yùn)動(dòng)的速度分量可表為：

，第五十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日局地直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程可表為：局地直角坐標(biāo)系中的連續(xù)方程為：或

第五十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日β-平面近似采用局地直角坐標(biāo)系，忽略地球的球面性，可以使方程形式變得簡(jiǎn)單，但是，以后將會(huì)看到，如果完全略去地球的球面性，取科氏參數(shù)為常數(shù)（即所謂的f-平面近似），除了精度降低外，還會(huì)帶來一個(gè)嚴(yán)重的動(dòng)力學(xué)缺陷，即消除了氣象學(xué)中非常重要的一種波動(dòng)———羅斯貝（Rossby）波的生存條件。為了彌補(bǔ)這種缺陷，可采用所謂的β-平面近似