【高考數(shù)學】天津市西青區(qū)2022-2023學年專項突破模擬試卷（一模二模）含解析

【高考】模擬【高考數(shù)學】天津市西青區(qū)2022-2023學年專項突破模擬試卷（一模）第I卷（選一選）評卷人得分一、單選題1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．2．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的大致圖象為A． B．C． D．4．某校1000名學生參加數(shù)學競賽，隨機抽取了20名學生的考試成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說確的是（

）A．頻率分布直方圖中a的值為0.012B．估計這20名學生數(shù)學考試成績的第60百分位數(shù)為80C．估計這20名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)為80D．估計總體中成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為1105．設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．6．已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的母線長為3，側(cè)面展開圖的面積為，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線（）的準線分別相交于點A，B兩點，O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2，的面積為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．如圖，在海岸線一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的其中一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數(shù)（，，），的圖像，圖像的點為，曲線段上的入口D到海岸線的距離為千米，現(xiàn)準備從入口D修一條筆直的景觀路到O，則景觀路的長為（

）A．千米 B．千米 C．千米 D．3千米9．設，，若函數(shù)在內(nèi)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．第II卷（非選一選）評卷人得分二、填空題10．復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z的虛部為___________.11．在的展開式中，的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）12．已知直線與圓O：相交于A，B兩點（O為坐標原點），且為等腰直角三角形，則實數(shù)a的值為___________.13．已知，，且，則的最小值為__________.評卷人得分三、雙空題14．天津市某學校組織學生進行知識競賽，規(guī)則為：每位參賽學生都要回答3個問題，且這3個問題回答正確與否相互之間互不影響，若每答對1個問題，得1分；答錯，得0分，按照得分多少排出名次，并分設為一、二、三等獎給予獎勵.已知對給出的3個問題，學生甲答對的概率分別為，，，則學生甲恰好答對1個問題的概率為__________；在上述條件下，設隨機變量X表示學生甲答對題目的個數(shù)，則X的數(shù)學期望為__________.15．如圖，在菱形中，，，E，F(xiàn)分別為，上的點，，，若線段上存在一點M，使得，則__________，若點N為線段上一個動點，則的取值范圍為__________.評卷人得分四、解答題16．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為，，，．（1）求角的大小；（2）若，．求：（?。┻呴L；（ⅱ）的值．17．如圖，三棱柱中，平面，，，，以，為鄰邊作平行四邊形，連接和.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）線段上是否存在點，使平面與平面垂直？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.18．已知點，分別是橢圓的左頂點和上頂點，為其右焦點，，且該橢圓的離心率為；（1）求橢圓的標準方程；（2）設點為橢圓上的一動點，且不與橢圓頂點重合，點為直線與軸的交點，線段的中垂線與軸交于點，若直線斜率為，直線的斜率為，且（為坐標原點），求直線的方程.19．已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列滿足，．（1）求，的通項公式；（2）記為數(shù)列的前項和，試比較與的大??；（3）任意，，求數(shù)列的前項和．20．已知函數(shù)，（），其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，（?。┣笤邳c處的切線方程；（ⅱ）求的最小值；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)；(3)若存在，使得成立，求a的取值范圍【高考】模擬【高考】模擬答案：1．D先根據(jù)交集定義計算，再由并集定義求．【詳解】由題知，，∴．故選：D.本題考查集合交、并運算，掌握集合運算的定義是解題基礎．2．B【分析】先解不等式，得出兩個命題所表示的解的集合的關系，再分別判斷命題的充分性和必要性是否成立.【詳解】解不等式，得；解不等式，得.設集合，.充分性：因為集合不是集合的子集，故充分性不成立；必要性：因為成立，故必要性成立；綜上可得“”是“”的必要不充分條件.故選：B3．D根據(jù)函數(shù)奇偶性排除A、C.當時排除B【詳解】解：由可得所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除A、C.因為時，，排除B.故選：D.4．B【分析】根據(jù)所有矩形的面積和為1求出，然后逐一判斷即可.【詳解】由可得，故A錯誤前三個矩形的面積和為，所以這20名學生數(shù)學考試成績的第60百分位數(shù)為80，故B正確這20名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)為，故C錯誤這20名學生數(shù)學考試成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為，則總體中成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為，故D錯誤故選：B5．C【分析】對通過估計值可以直接比較；對于需要換底公式以及不等式的性質(zhì)進行比較.【詳解】，因為，所以；因為在R上單調(diào)遞增，且，所以，即，所以；所以又，，因為因為在R上單調(diào)遞增，且，所以，即，所以，又因為，所以，即，綜上.故選：C.6．A【分析】由圓錐側(cè)面面積求得圓錐的底面半徑，作出圓錐的軸截面，其外接圓是球的大圓，由圖形求得球半徑，從而可得球表面積．【詳解】設底面半徑為，圓錐母線為，所以，所以，如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，是圓錐底面的圓心，設球半徑為，則，，所以，如圖1，，即，解得，不符合題意，當為如圖2時，即，解得，所以球表面積為．故選：A．方法點睛：本題考查求球的表面積，解題關鍵是求得球的半徑．在球圓錐或圓柱、圓臺問題中可以作出圓柱（圓錐，圓臺）的軸截面，軸截面的外接圓為球的大圓，由此建立了球半徑與圓柱（圓錐圓臺）的量之間的關系．7．B【分析】由公式可得漸近線斜率，數(shù)形根據(jù)三角形面積列方程可得.【詳解】如圖，記拋物線的準線與x軸交于點D，由題知，，解得所以，因為，所以所以，解得故選：B8．C【分析】圖像中的數(shù)據(jù)求出函數(shù)的解析式，由此可求的坐標，再求的長.【詳解】由圖像可得函數(shù)的值為2，周期所以，，又函數(shù)的圖像點，所以，又，所以，所以，因為D到海岸線的距離為千米，可設的坐標為，所以，又，所以，所以景觀路的長為（千米），故選：C.9．D【分析】由于不是函數(shù)的零點，則，令，將零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)問題，圖象，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】很明顯不是函數(shù)的零點令函數(shù)，則則令則函數(shù)的圖象與在內(nèi)有個交點函數(shù)的圖象如圖所示：由圖可得.故選：D本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.10．##1.5【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡，再由虛部的定義求復數(shù)z的虛部.【詳解】因為，所以復數(shù)z的虛部為，故答案為.11．60【分析】根據(jù)二項式定理寫出展開項的通項公式，令x的指數(shù)為3即可求解.【詳解】由二項式定理可得：，令，r=4，∴的系數(shù)=；故60.12．##或【分析】分析圖中的幾何關系，即點到直線的距離為1，利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】如圖：因為是等于直角三角形，所以圓心（0,0）到直線的距離為，應用點到直線的距離公式得：；故.13．【分析】將目標式中4代換成，展開由基本不等式可得.【詳解】因為所以當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為.故14．

##0.25

【分析】根據(jù)互斥和的概率計算公式求學生甲恰好答對1個問題的概率；題意確定可能取的值分別為，求出對應的概率，即可計算期望.【詳解】設甲答對第個問題為，，由已知可得，，，學生甲恰好答對1個問題可以表示為，又互斥，且，，兩兩相互，所以，學生甲恰好答對1個問題的概率為，由題意，隨機變量的可能取值分別為：；所以，，，，因此，.故；.15．

【分析】以菱形的對角線為在不在建立平面直角坐標系，通過坐標運算先求M坐標然后可得，再用坐標表示出，由二次函數(shù)性質(zhì)可得所求范圍.【詳解】因為為菱形，所以，以BD、AC所在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標系，因為，，所以則，設因為，所以解得，所以又所以因為，所以當時，有最小值，當時，有值，所以的取值范圍為故，16．（1）；

（2）（?。唬╥i）．（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得的值，由此求得角的大小.（2）（?。┮阎獌蛇吅蛫A角，用余弦定理求得邊；（ⅱ）由兩角差的正弦公式求得的值.【詳解】解：（1）由已知及正弦定理得，，，（2）（?。┮驗椋?，由余弦定理得，（ⅱ）由，因為為銳角，所以，，本題考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，還考查同角三角函數(shù)的基本關系式，二倍角公式以及兩角差的正弦公式.17．（1）平面；（2）；（3）線段上不存在點，使平面與平面垂直.【詳解】試題解析：（1）連結(jié)，三棱柱中且，由平行四邊形得且且四邊形為平行四邊形，平，平面平面（2）由，四邊形為平行四邊形得，底面如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的法向量為，則即，令，則，直線與平面所成角的正弦值為.（3）設，，則設平面的法向量為，則，即令，則，，所以由（2）知：平面的法向量為假設平面與平面垂直，則，解得，線段上不存在點，使平面與平面垂直.考點：1.線面垂直；2.直線與平面所成的角；3.存在18．（1）（2）（1）依題意表示出，，根據(jù)，和離心率為，求出的值，即可求出橢圓方程.（2）設直線的斜率為，直線方程為，設，中點為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去即可用含的式子表示、的坐標，即可表示出中垂線方程，求出的坐標，根據(jù)求出參數(shù)即可得解.【詳解】解：（1）依題意知：，，，，，則，又，，橢圓的標準方程為.（2）由題意，設直線的斜率為，直線方程為所以，設，中點為，由消去得中垂線方程為：令得.，解得.直線的方程為，即本題考查求橢圓的標準方程，直線與橢圓綜合問題，屬于中檔題.19．（1），；（2）答案見解析；（3）【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，即可求的通項公式，利用等比數(shù)列的定義即可求的通項公式；（2）利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式求出與關于的表達式，作差后分類討論得到與的大小關系；（3）先求出，利用錯位相減法求得奇數(shù)項的和，利用裂項相消求和法求得偶數(shù)項的和，進而得到前項的和.【詳解】（1）由題意可得:，解得:，故因為數(shù)列滿足，，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，（2）由（1）知：，，所以所以，所以，所以當時，，當時，，當時，；（3）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，對于任意正整數(shù)，有①，②，①②得，所以，以及，因此，所以，數(shù)列的前項和為.方法點睛：數(shù)列求和的方法①倒序相加法：如果一個數(shù)列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可以用倒序相加法②錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可以用錯位相減法來求；③裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；④分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；⑤并項求和法：一個數(shù)列的前項和可以兩兩求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.20．(1)（?。?；（ⅱ）(2)答案見解析(3)【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義得出切線方程；由導數(shù)得出單調(diào)性進而得出最值；（2）構(gòu)造函數(shù)，由導數(shù)得出單調(diào)性并零點存在性定理進行求解；（3）由得出，令，構(gòu)造函數(shù)，由導數(shù)(1)當時，，.（ⅰ），，∴切線方程為.（ⅱ），令，得，∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴.(2)∵（），令得，，當時，，無零點，當時，令，則，令，得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，當，即時，，函數(shù)在上無零點，當，即時，，函數(shù)在上有零點，當，即時，，又，，∴函數(shù)在，上各有一個零點，綜上，當時，函數(shù)在上無零點，當時，函數(shù)在上有零點，當時，函數(shù)在上有兩個零點.(3)由得，，∴，即，令，則在上有解，令，當時，，不合題意；當時，則，令得，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，∴，∴，即，∴，即a的取值范圍為.關鍵點睛：對于不等式的能成立問題，關鍵在于將其轉(zhuǎn)化為最值問題，通過導數(shù)解出最值，進而解不等式得出參數(shù)的范圍.【高考數(shù)學】天津市西青區(qū)2022-2023學年專項突破模擬試卷（二模）第I卷（選一選）評卷人得分一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C．或 D．2．歐拉公式（其中i是虛數(shù)單位，e是自然對數(shù)的底數(shù)）是數(shù)學中的一個神奇公式．根據(jù)歐拉公式，復數(shù)在復平面上所對應的點在（

）A．象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A． B．C． D．4．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的值是（

）A． B．2 C．4 D．65．已知平面，，直線滿足，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A．10 B．11 C．12 D．137．函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．8．四面體中，，則二面角的平面角的余弦值為（

）A． B． C． D．9．橢圓的左右焦點為為橢圓上一點，直線分別交橢圓于M，N兩點，則當直線的斜率為時，（

）A．2 B．3 C．4 D．510．用表示不超過實數(shù)x的整數(shù)．數(shù)列滿足：，則的末兩位數(shù)是（

）A．93 B．53 C．33 D．13第II卷（非選一選）評卷人得分二、雙空題11．雙曲線的漸近線方程為___________，離心率為___________．12．已知函數(shù)則______；若，則______.13．若，則_______，_______．14．甲乙兩袋裝有大小相同的紅球和黑球，甲袋有2個紅球2個黑球，乙袋有2個紅球3個黑球，現(xiàn)從兩袋中各取2個球，則取到4個紅球的概率是________，取到紅球的個數(shù)的數(shù)學期望是_________．評卷人得分三、填空題15．函數(shù)，，，則______________．16．已知正數(shù)，則的值為_________．17．已知平面向量，，，，則的取值范圍是__________．評卷人得分四、解答題18．在中，D的邊的中點，．(1)求角C；(2)求面積的取值范圍．19．如圖，四棱錐的底面是梯形，，，E為線段中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．20．數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和為．(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)抽去數(shù)列中點第1項，第4項，第7項，…，第項，余下的項順序不變，組成一個新數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，求證：．21．已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點，橢圓的長軸長為．(1)記橢圓于拋物線的公共弦為，求；(2)P為拋物線上一點，為橢圓的左焦點，直線交橢圓于A，B兩點，直線與拋物線交于P，Q兩點，求的值．22．已知函數(shù)．(1)若，求實數(shù)m的取值范圍并證明：；(2)是否存在實數(shù)t，使得恒成立，且僅有解？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．答案：1．B【分析】根據(jù)集合交集的定義進行求解即可.【詳解】因為集合，所以，故選：B．2．A【分析】由復數(shù)的幾何意義判斷.【詳解】由歐拉公式，在復平面內(nèi)對應點在象限．故選：A．3．D【分析】判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)，從而計算出幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，幾何體是如下圖所示三棱錐，故體積為.故選：D4．D【分析】作出可行域，畫直線并平移，求出點坐標，代入可得的值.【詳解】可行域為如圖陰影部分區(qū)域，作直線并平移，當直線過時，取值，由，得，取到．故選：D．5．A【分析】根據(jù)原命題和逆命題的真假可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】設，若，則過內(nèi)一點作的垂線，垂足為，因為，，，故，因為，故，而，，故.故命題“若，則”為真命題.如圖，在正方體中，平面平面，平面平面，但與平面不垂直.故命題“若，則”為假命題.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.充分性與必要性的判斷，可以依據(jù)命題的真假來判斷，若“若則”是真命題，“若則”是假命題，則是的充分不必要條件；若“若則”是真命題，“若則”是真命題，則是的充分必要條件；若“若則”是假命題，“若則”是真命題，則是的必要不充分條件；若“若則”是假命題，“若則”是假命題，則是的既不充分也不必要條件.6．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項的性質(zhì)和前項和公式求解.【詳解】因為，又，所以，所以，故選：B．7．D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和零點，值法進行判斷即可.【詳解】設，顯然且因為，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，又因為，所以函數(shù)沒有零點，排除B、C，當時，，故選：D．8．C【分析】作出二面角的平面角，利用余弦定理解三角形即可求出二面角的余弦值.【詳解】過點A作交于點M，過點M作交于點N，如圖，則是二面角的平面角，設，則，在和中，由余弦定理，，所以，故選：C9．D【分析】寫出直線的方程，與橢圓聯(lián)立求出點的坐標，同理可得點坐標，通過計算直線的斜率即可得結(jié)果.【詳解】由已知得，所以直線的方程為：（其中），與橢圓方程聯(lián)立得，由韋達定理，所以，故；類似得，，所以，故選：D．10．A【分析】設，得出與的關系式，再令發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)周期性，進而可得結(jié)果.【詳解】記，則有，故可得均為整數(shù)，且，再令，則有，且，所以，故的末兩位數(shù)為93．故選：A．11．

【分析】求出、、的值，可求得該雙曲線的漸近線方程與離心率.【詳解】由可知，得，漸近線方程為，離心率為，故；.12．

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【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，先求出，再將該值代入對應的函數(shù)式，求得；因為當時，，則由函數(shù)值為可知，，故，則，再解方程得出的值.【詳解】由該分段函數(shù)的解析式可得：則；由函數(shù)解析式可知，當時，，則由知，且，所以，則，解得.故；.13．

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-62【分析】令，將原問題轉(zhuǎn)化為二項式的展開式的相關問題，二項式展開式和系數(shù)和的性質(zhì)求解.【詳解】令，則，原式可以轉(zhuǎn)化成，則為前面的系數(shù)，所以，所以，令，可得，令，可得，所以，故．14．

##1.8【分析】根據(jù)古典概型概率公式求取到4個紅球的概率，再求出隨機變量取到紅球的個數(shù)的分布列并由期望公式求其期望值.【詳解】甲袋有2個紅球2個黑球，乙袋有2個紅球3個黑球，共4個紅球，所以取到4個紅球的概率是，設取到紅球個數(shù)為，的可能取值為0，1，2，3，4，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，則取到紅球的個數(shù)的數(shù)學期望是，故．15．【分析】利用輔助角公式化簡可得，的范圍可得的范圍，進而確定的值，由，利用兩角和差余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】，，，又，，，，，.故答案為.16．【分析】將分母變?yōu)?，分別利用基本不等式即可求得值.【詳解】（當且僅當，時取等號），的值為.故答案為.17．【分析】把向量用建系的思想在坐標系中表示出來，然后利用向量的關系把變形整理得，分別通過三點共線和橢圓定義來確定范圍即可.【詳解】設，的夾角為，，，，.如圖，由題可設，，，其中O為原點，C在單位圓上，記，假設存在一點，使得則有，又，解得.所以存在點，使得.，且直線的方程為，即，圓心到直線的距離為1.所以與圓相切，所以當,,三點共線時，取得最小值為，如圖，在位置時，因為，，且，由橢圓定義可知，此時在以，為焦點的橢圓上，當在其他位置時，在橢圓內(nèi)部，所以的值為，即的值為..故．本題軌跡問題與橢圓的定義，用建系的思想解決向量的問題.18．(1)(2)【分析】(1)根據(jù)內(nèi)角和公式和二倍角余弦公式化簡求角C；(2)由余弦定理可得的關系，基本不等式求的值，根據(jù)三角形面積公式求面積的取值范圍．(1)因為，所以所以，故，又；所以.(2)在中，由余弦定理可得因為，，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以，又，當且僅當時等號成立，所以面積．19．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取中點F，連接交于點O，連接，利用線線垂直證明面即可；（2）解析1：幾何法，先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明面面，再作，證明B到面距離等于，進而求得線面夾角的正弦值；解析2：向量法，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，求面的法向量，進而求得線面角的正弦值即可(1)取中點F，連接交于點O，連接，由，且梯形，有且，故平行四邊形，又，故為菱形，所以為的中點，故.又因為，故，因為，面，故面，又面，故．(2)解析1：幾何法在中，，故，因為，故，由，即，即，故面，又，故面，面，故面面，作，面面，面，故面，在中，，因為，故B到面距離等于，設與平面所成角為，，故，故與平面所成角的正弦值為．解析2：向量法在中，，故，因為，故，由，即，即，故面，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，故，故，設面的法向量為，則，令，故，所以，故