（新課改地區(qū)）2021屆高考數學一輪復習課件：第二章函數及其應用2.9函數模型及其應用

第九節(jié)函數模型及其應用【教材·知識梳理】1.幾類函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)=ax+b(a,b為常數,a≠0)反比例函數模型f(x)=+b(k,b為常數且k≠0)二次函數模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)指數函數模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)對數函數模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)冪函數模型f(x)=axn+b(a,b為常數,a≠0)2.三種函數模型的性質函數性質y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調_____單調_____單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大,逐漸表現為與____平行隨x的增大,逐漸表現為與____平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0,當x>x0時,有l(wèi)ogax<xn<ax遞增遞增y軸x軸【常用結論】“對勾”函數：形如f(x)=x+(a>0)的函數模型稱為“對勾”函數模型：(1)該函數在(-∞，-]和[，+∞)上單調遞增，在[-，0)和(0，]上單調遞減.(2)當x>0時，x=時取最小值2，當x<0時，x=-時取最大值-2.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數y=2x的函數值比y=x2的函數值大. (

)(2)“指數爆炸”是指數型函數y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增長速度越來越快的形象比喻. (

)(3)冪函數增長比直線增長更快. (

)(4)不存在x0,使 (

)提示:(1)×.當x=-1時,2-1<(-1)2.(2)×.“指數爆炸”是針對b>1,a>0的指數型函數y=a·bx+c.(3)×.冪函數增長速度是逐漸加快的,當變量較小時,其增長很緩慢,題目說的太絕對,也沒有任何條件限制.(4)×.當a∈(0,1)時存在x0,使【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1忽略圖象的橫縱坐標的意義考點一、T12忽略圖象的變化趨勢考點一、T2、43忽略函數的表示方法(列表)考點二、T34忽略自變量的取值考點三、角度15忽略基本不等式成立的條件考點三、角度2【教材·基礎自測】1.(必修1P67例4改編)某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計圖如圖所示,則下列說法中錯誤的是(

)A.收入最高值與收入最低值的比是3∶1B.結余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D.前6個月的平均收入為40萬元【解析】選D.由題圖可知,收入最高值為90萬元,收入最低值為30萬元,其比是3∶1,故A正確;由題圖可知,7月份的結余最高,為80-20=60(萬元),故B正確;由題圖可知,1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同,故C正確;由題圖可知,前6個月的平均收入為×(40+60+30+30+50+60)=45(萬元),故D錯誤.2.(必修1P69習題2-3AT7改編)生產一定數量的商品的全部費用稱為生產成本,某企業(yè)一個月生產某種商品x萬件時的生產成本為C(x)=x2+2x+20(萬元).一萬件售價為20萬元,為獲取更大利潤,該企業(yè)一個月應生產該商品數量為______萬件.

【解析】利潤L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,當x=18時,L(x)有最大值.答案:183.(必修1P120鞏固與提高T9改編)某動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關系為y=alog3(x+1),設這種動物第2年有100只,則到第8年繁殖到________只.

【解析】依題設知alog33=100,a=100.當x=8時,y=100log39=200.答案:200【核心素養(yǎng)】數學建模——解決實際問題中的函數模型的應用

【素養(yǎng)詮釋】數學建模是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題.在應用函數解決實際問題時需注意以下四個步驟:(1)審題:弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系,初步選擇函數模型.(2)建模:將自然語言轉化為數學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用數學知識,建立相應的函數模型.(3)解模:求解函數模型,得出數學結論.(4)還原:將數學結論還原為實際意義的問題.【典例】牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為m只,為保證羊群的生長空間,實際蓄養(yǎng)量不能達到最大蓄養(yǎng)量,必須留出適當的空閑量.已知羊群的年增長量y只和實際蓄養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比,比例系數為k(k>0).(1)寫出y關于x的函數關系式,并指出這個函數的定義域.(2)求羊群年增長量的最大值.(3)當羊群的年增長量達到最大值時,求k的取值范圍.【解析】(1)根據題意,由于最大蓄養(yǎng)量為m只,實際蓄養(yǎng)量為x只,則蓄養(yǎng)率為故空閑率為由此可得(2)由(1)知即當時,y取