《2相似三角形的判定》案例

《相似三角形的判定》教學(xué)案例（1）Ⅰ：教案【教學(xué)目標(biāo)】1、經(jīng)歷相似三角形判定定理2推導(dǎo)過程，體會轉(zhuǎn)化的思想方法。2、掌握相似三角形的判定定理2。3、會運用所學(xué)的定理判定三角形相似，進行相似三角形的有關(guān)計算。4、能夠運用三角形相似的判定解決有關(guān)問題，進一步提高邏輯推理能力。【教學(xué)重點及難點】了解判定定理2的證明方法與思路,應(yīng)用判定定理2?！窘虒W(xué)過程】一、復(fù)習(xí)1．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種相似三角形的判定定理？（1）相似三角形的預(yù)備定理：符號語言：∵DE‖BC，∴⊿ADE∽⊿ABC（2）相似三角形的判定定理1：符號語言：∵∠A=∠A1，∠B=∠B1，∴⊿ABC∽⊿A1B1C12．兩個相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角有什么關(guān)系？二、類比引入類似全等三角形的“邊角邊”判定，兩個三角形具備“邊角邊”條件，能判定兩個三角形相似嗎？我們來看問題2.問題2：如上圖，在和中，如果,那么和相似嗎？分析：由于，就使三角形的移動產(chǎn)生了可能，類似判定定理1的證明，構(gòu)造，則≌（SAS），再利用三角形一邊的平行線判定定理，得到DE三、學(xué)習(xí)新課相似三角形的判定定理2的推導(dǎo)（由學(xué)生完成）.相似三角形的判定定理2：如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似.符號語言：如圖∽例題1已知如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，OA=1，0B=,0C=3,OD=2.求證:與是相似三角形.分析：已知條件中給出線段的長度，判斷是否有成比例的線段,利用判定定理2證明相似三角形.證明：∵OA=1,OB=,OC=3,OD=2,∴,,∴在與中，，∴∽（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似）議一議:圖中還有其他相似三角形嗎?答：∽變式：如圖，若延長BA、CD交于點P，其它條件不變，圖中還有其它相似三角形嗎？圖中共有幾對相似三角形？答：由∽知，∠1=∠2，∠P為公共角，所以∽，所以，所以∽。所以圖中共有∽，∽，∽，∽四對相似三角形。例題2已知：如圖,點D是的邊AB上的一點,且.求證:∠ACD=∠B.分析:已知條件是一個乘積式,將它改寫成比例式,得到,觀察這個比例式中的四條線段，結(jié)合圖形,由“三點定位”可知，只須證∽，可以依據(jù)相似三角形的判定定理2推出結(jié)論.證明：∵∴，在與中，，∴∽（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似）∴∠ACD=∠B變式1（條件結(jié)論互換）：如例2圖,已知，點D是的邊AB上的一點,且∠ACD=∠B.求證:.分析：由判定1可證∽，進而通過證明比例式得證乘積式。說明：本題可歸納為公邊共角類型的相似三角形公邊共角的兩個相似三角形，公共邊是兩個相似三角形共線兩邊的比例中項。變式2：如例2圖,已知，點D是的邊AB上的一點,且∠ACD=∠B，已知AD=4，BD=2，求AC的長分析：由變式1，，AD=4，AB=6，代入得AC=變式3：如例2圖,已知，點D是的邊AB上的一點,且∠ACD=∠B，，求的值分析：由判定1，可證∽，所以，所以，所以，由和等高，它們的面積之比等于底邊之比，所以的值=四、練習(xí)鞏固練習(xí):書后練習(xí)(2)1、2拓展練習(xí)：已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，求證：△AEF∽△BAC分析：由題意可知∠B=∠D，∠AEB=∠AFD，所以△AEB∽△AFD，所以，由AD=BC得，因為∠EAF+∠FCE=180°，∠B+∠FCE=180°，所以∠EAF=∠B。由判定2得證變式：已知，在平行四邊形ABCD中，AB=AC，E、F分別在BC和CD上，且∠CAE=∠DAF，圖中有無相似比不為1的相似三角形？若有，請一一寫出；若沒有請加以說明答：有?！鰽EC∽△AFD，△AEF∽△ACD，△AEF∽△CAB五、課堂小結(jié)1、回顧體會三角形相似與全等的判定方法的類比及判定2與判定1的類比證明.2、強調(diào)已知邊的條件，可考慮應(yīng)用判定定理2證相似三角形，并強調(diào)相似三角形對應(yīng)邊成比例.六、分層作業(yè)1.必做題：練習(xí)冊（2）2.選做題：如圖，△ABC為銳角三角形，BD、CE為高.求證：△ADE∽△ABC（用兩種方法證明）.證明一：∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°∴∠ABD=∠ACE又∵∠A=∠A∴△ABD∽△ACE∴∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC證明二：如右圖∵∠BEO=∠CDO∠BOE=∠COD∴△BOE∽△COD∴即又∵∠BOC=∠EOD∴△BOC∽△EOD∴∠1=∠2∵∠1+∠BCD=90°，∠2+∠3=∠90°∴∠BCD=∠3又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC拓展思考:上圖中共有幾對相似三角形?（答：共8對相似三角形）Ⅱ：教案設(shè)計說明本節(jié)課的復(fù)習(xí)部分既復(fù)習(xí)了上節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，同時復(fù)習(xí)2又對引入起到了啟下的作用，而且為例題的解答做了知識準(zhǔn)備。例題的變式是培養(yǎng)學(xué)生多層次、多角度思維能力的一種較好形式。對例1的變式，是在原題已知線段長度所得的比例關(guān)系的基礎(chǔ)上，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，進而得到證明的相似三角形所需的邊的條件，得到相似三角形，也就是2次相似。對例2所求的結(jié)論作了小小的改變，一是增加題目的綜合度，二是為條件結(jié)論互換的變式1服務(wù)。雖然例2變式1、2和變式3不是定理2的應(yīng)用，但此處引出公邊共角型的重要的相似三角形順理成章。拓展練習(xí)和分層作業(yè)的選作題，綜合應(yīng)用定理1和定理2判定三角形相似，既有開放題，又有一題多解，可進一步提高學(xué)生分析問題的能力。小結(jié)部分，擬讓學(xué)生小結(jié)反思，這樣，有利于學(xué)生鞏固剛獲得的知識和技能，有利于學(xué)生提高歸納能力和語言表達能力，有利于學(xué)生逐步養(yǎng)成對已學(xué)知識的反思習(xí)慣，有利于學(xué)生逐步樹立敢于提出自己獨到見解的求真精神，有利于學(xué)生逐步形成正確的數(shù)學(xué)價值觀。當(dāng)然，教師也將根據(jù)學(xué)生小結(jié)的實際情況作適當(dāng)?shù)狞c評，以體現(xiàn)師生互動，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用。Ⅲ：教學(xué)反思相似三角形的判定定理2是本節(jié)