高三數(shù)學(xué)課件：第三章 第八節(jié) 應(yīng)用舉例

第八節(jié)應(yīng)用舉例1.實(shí)際問(wèn)題中有關(guān)概念(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①).(2)方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②).(3)方向角相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖③)①北偏東α°即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向.②北偏西α°即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向.③南偏西等其他方向角類似.(4)坡度(ⅰ)定義:坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(ⅱ)坡比:坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡比)(5)視角觀測(cè)點(diǎn)與觀測(cè)目標(biāo)兩端點(diǎn)的連線所成的夾角叫做視角(如圖).【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考:仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？提示:三者的參照不同．仰角與俯角是相對(duì)于水平線而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的.(2)思考:如何用方位角、方向角確定一點(diǎn)的位置？提示:利用方位角或方向角和目標(biāo)與觀測(cè)點(diǎn)的距離即可唯一確定一點(diǎn)的位置.(3)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的__________方向.【解析】由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴燈塔A位于燈塔B的北偏西10°.答案：北偏西10°2.解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)讀懂題意，理解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系.(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形模型.(3)選擇正弦定理或余弦定理求解.(4)將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的單位、近似計(jì)算要求.【即時(shí)應(yīng)用】(1)已知A、B兩地的距離為10km,B、C兩地的距離為20km,現(xiàn)測(cè)得∠ABC=120°，則A、C兩地的距離為______km.(2)如圖，在坡度為15°的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，且第一排和最后一排的距離為10米，則旗桿的高度為________米.【解析】(1)如圖所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700，∴AC=10(km).(2)設(shè)旗桿高為h米，最后一排為點(diǎn)A，第一排為點(diǎn)B，旗桿頂端為點(diǎn)C，則在△ABC中，AB＝10，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得，故h＝30米.答案：(1)10(2)30熱點(diǎn)考向1測(cè)量距離的問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】求距離問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.【例1】(1)如圖,設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()(A)(B)(C)(D)(2)(2013·福州模擬)已知兩座燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都等于akm，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20°，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40°，則燈塔A與B的距離為()(A)akm(B)(C)(D)2akm【解題指南】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理得∠ABC，再利用正弦定理可解.(2)先根據(jù)題意作出示意圖，確定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得AB的值.【規(guī)范解答】(1)選A.由∠ACB=45°，∠CAB=105°,得∠ABC=30°,由正弦定理得∴

(2)選B.如圖，∠ACB=120°,由余弦定理得cos∠ACB==則(km).【互動(dòng)探究】若將本例題(1)中A，B兩點(diǎn)放到河岸的同側(cè)，但不能到達(dá)，在對(duì)岸的岸邊選取相距的C，D兩點(diǎn)，同時(shí)，測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，則兩點(diǎn)A，B之間的距離又如何求解?【解析】如圖所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理可得在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，∴∴AB＝(km).即兩點(diǎn)A，B之間的距離為km.【變式備選】某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛.公路的走向是M站的北偏東40°.開始時(shí)，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米.問(wèn)汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？【解析】由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處.在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得則sin2C=所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=在△MAC中，由正弦定理得從而有MB=MC-BC=15(千米),所以汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站.熱點(diǎn)考向2測(cè)量高度問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】高度問(wèn)題的處理方法在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個(gè)關(guān)鍵．在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò).【提醒】高度問(wèn)題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問(wèn)題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合.【例2】要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°，并測(cè)得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度.【解題指南】設(shè)出塔高x，先放到Rt△ABC和Rt△ABD中把BC和BD用x表示；再在△BDC中用余弦定理求得x.【規(guī)范解答】如圖，設(shè)電視塔AB的高為xm，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴電視塔高為40米.【反思·感悟】解決高度的問(wèn)題主要是根據(jù)條件確定出所利用的三角形，準(zhǔn)確地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相對(duì)應(yīng)；分清已知和待求的關(guān)系，正確地選擇定理和公式，特別注意高度垂直地面構(gòu)成的是直角三角形.【變式訓(xùn)練】某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高.【解析】如圖：在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得∴過(guò)B作BE⊥CD于E，顯然當(dāng)人在E處時(shí)，測(cè)得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，∴BE＝DBsin15°＝

(米),∴在Rt△ABE中，所以塔高為米.熱點(diǎn)考向3測(cè)量角度的問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)解決測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解．同時(shí)注意把所求量放在有關(guān)三角形中，有時(shí)直接解此三角形解不出來(lái)，需要先在其他三角形中求解相關(guān)量.【例3】在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向、距離A處(-1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75°方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船.同時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時(shí)間？【解題指南】設(shè)出緝私船t小時(shí)后在D處追上走私船后，確定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出時(shí)間.【規(guī)范解答】設(shè)緝私船t小時(shí)后在D處追上走私船，則有CD=10t,BD=10t.在△ABC中，AB=-1,AC=2,∠BAC=120°.利用余弦定理可得BC=由正弦定理，得得∠ABC=45°，即BC與正北方向垂直.于是∠CBD=120°.在△BCD中，由正弦定理，得得∠BCD=30°,又

所以當(dāng)緝私船沿東偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花小時(shí).

【反思·感悟】利用正弦定理和余弦定理來(lái)解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化.另外要準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)娜切?，把?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化到三角形中時(shí)，正確地表示出所用的邊和角.【變式訓(xùn)練】(2012·上海高考)海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長(zhǎng)度)，則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處,如圖.現(xiàn)假設(shè)：①失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救援船出發(fā)t小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7t.(1)當(dāng)t=0.5時(shí)，寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo).若此時(shí)兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向；(2)問(wèn)救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】(1)t=0.5時(shí)，P的橫坐標(biāo)代入拋物線方程得P的縱坐標(biāo)yP=3.由得救援船速度的大小為海里/時(shí).由得故救援船速度的方向?yàn)楸逼珫|度.(2)設(shè)救援船的時(shí)速為v海里，經(jīng)過(guò)t小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為(7t,12t2).由vt=整理得因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立,所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.因此，救援船的時(shí)速至少是25海里才能追上失事船.【變式備選】如圖,某污水處理廠要在一個(gè)長(zhǎng)方體污水處理池的池底(ABCD)鋪設(shè)污水凈化管道(Rt△FHE,H是直角頂點(diǎn))來(lái)處理污水,管道越長(zhǎng),污水凈化效果越好.設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn),E，F(xiàn)分別落在線段BC,AD上.已知AB=20m,AD=10m,記∠BHE=θ.(1)試將污水凈化管道的長(zhǎng)度L表示成θ的函數(shù),并寫出定義域；(2)若sinθ+cosθ=,求此時(shí)管道的長(zhǎng)度L；(3)當(dāng)θ取何值時(shí),污水凈化效果最好?并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度.【解析】(1)在Rt△BHE中，EH=，在Rt△AFH中，F(xiàn)H=,在Rt△EFH中，所以管道總長(zhǎng)

(2)因?yàn)閟inθ+cosθ=，所以sinθcosθ=,代入(1)中結(jié)論得L=20(+1)(m)；(3)因?yàn)?設(shè)sinθ+cosθ=t=sin(θ+),sinθcosθ=,∴又θ∈［］,t∈［］,所以此時(shí)答:當(dāng)

時(shí),鋪設(shè)的管道最長(zhǎng),為20(+1)m.1.(2013·漳州模擬)如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC=a，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是β,α(α＜β)，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()【解析】選A.由已知得∠DAC=β-α,由正弦定理得，得而AB=AC·sinβ=2.(2013·龍巖模擬)如圖，一架直升飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔10千米，速度為180千米/小時(shí)，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過(guò)2分鐘后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開____千米.【解析】在△ABP中，∠BAP=30°