利率的期限結構

第15章利率的期限結構主要內(nèi)容15.1收益曲線31215.2收益曲線和遠期利率31415.3利率的不確定性和遠期利率31715.4期限結構理論31815.5對期限結構的說明31915.6作為遠期合約的遠期利率3222什么是利率期限結構？利率期限結構是指具有相同風險及流動性的債券，其收益率隨到期日的時間長短而具有不同的關系。由于投資者關心的并不是債券的票面利率而是實際得到的收益率，因而，收益率期限結構才是本質上的利率期限結構。分析利率期限結構，可以分析資金在不同市場間的流動趨勢，對確定一組即期利率有重要幫助，而即期利率又是對固定收益證券估值的基礎；分析利率期限結構，還有助于對未來利率變動進行預期。315.1收益曲線4收益曲線不同期限的債券具有不同的利率,由此形成利率期限結構問題,其反映的是不同期限債券利率之間的關系。注意:

第一,收益曲線分析對象僅指同質債券,即債券風險、信用等級、稅收待遇及變現(xiàn)能力等基本相同,惟期限不同,即只分析其他條件相同而只有期限不同的債券利率之間的關系。第二,研究債券利率期限結構實質上是研究債券收益率期限結構,因為投資者關心的是實際收益率而不是票面利率。5正收益率曲線收益率%期限正收益率曲線表示在正常的情況下，短期債券的收益率低于長期債券，債券期限越長，收益率越高。債券的正收益率曲線是在整個經(jīng)濟運行正常、不存在通貨膨脹壓力和經(jīng)濟衰退危機的條件下出現(xiàn)的。6反收益率曲線反收益率曲線，又稱為下降收益率曲線。表示短期債券收益率較高，長期債券收益率較低。反收益率曲線通常發(fā)生在緊縮信貸、抽緊銀根的時候，由于短期資金偏緊、供不應求，造成短期收益率急劇上升，抽緊銀根又使人們對今后經(jīng)濟發(fā)展不很樂觀，對長期資金需求下降，造成長期收益率下降。收益率%期限7平收益曲線前兩種曲線互相替代過程中,還會出現(xiàn)長短期債券收益率接近的狀況。往往是正反收益曲線調(diào)整過程中的過渡,或者由市場自動調(diào)節(jié),或者由央行調(diào)控所致。收益率%期限8拱收益曲線收益率%期限表示在某一時期之前債券的利率期限結構為正收益曲線,在該期限之后又成反收益曲線.這種曲線的出現(xiàn)是在央行采取嚴厲緊縮政策時短期利率急劇上升所致.9債券定價3年息票可被認為是暗含三個零息債券的資產(chǎn)組合。零票債券收益是三個資產(chǎn)組合的收益組合。純收益曲線(pureyieldcurve)指剝離零息國庫券。新發(fā)行債券收益曲線(on-the-runyieldcurve)指的是以近期上市的以標準或近似標準價售出的息票債券到期期限作為自變量的曲線。1015.2收益曲線和遠期利率相關術語零息債券到期收益叫做即期利率(spotrate)。即期利率是指某個時點上零息債券的到期收益率。給定時間間隔的短期利率指對在不同時間點內(nèi)的間隔時間內(nèi)的利率。例子中，今年的短期利率是5％，下一年的短期利率將會是7.01％。持有期收益遠期利率11即期利率和短期利率12遠期利率遠期利率的計算已知一張3年期零息票債券的收益率是7.2%，第一年、第二年的遠期利率分別為6.1%和6.9%，那么第三年的遠期利率應為多少？1315.3利率的不確定性和遠期利率購買1年期債券：利率為4％，到期本息為1000元的零息票債券價格應該是多少？961.54元。確定的利率：持有債券到期期限為2年的債券，只持有1年，到時他的債券能給他帶來多高的收益？取決于他可以按什么樣的價格售出債券，而出售時的債券價格則取決于當時的市場利率水平。實際上是一個不確定條件下遠期利率的決定問題14練習：后期實際利率變動導致價格如何變化？2年期零息票債券的價格為961.54，假定第1年利率為4％，第2年利率為5％。問1年債券的價值為多少？到期時的面值為多少？1年后該債券的價值應為1000元[961.54×(1+0.04)]債券到期時的面值應為1050元[1000x(1+0.05)]。1年后利率升高，不是預期的5％，而是實際的7％，問1年后面值為1050的零息票債券的價格？981.31元[1050/(1+0.07)]。這就是說，投資者1年后出售債券時，只能得到本息981.31元，實際只得到了利息19.77元(981.31-961.54)，折合成年利率僅為2.06％(19.77/961.54)，而不是期望的4％。15什么時候愿意持有期限更長的債券？分析：當未來利率不確定時，投資者只愿意進行1年期的投資而不愿意選擇兩年期的債券(因為有未來利率不確定的風險)在什么情況下投資者才愿意投資于更長的債券呢?只有讓投資者獲得一個風險溢價，投資者才會愿意進行這種方式的投資。投資者在進行投資決策時會進行期望的未來短期利率與遠期利率的比較，遠期利率大于未來期望的短期利率的溢價也稱作流動溢價(Liquiditypremium)。16有風險補償情況下的收益率計算當如果投資者購買2年期債券的價格不是961．54元，而是943．40元，投資者愿意投資于這種2年期的零息票債券嗎？一年后到期價格為1000元，則收益率為6%。（風險溢價為2%）第二年的預期利率為E（r2）5%，f2為7%17利率不確定與遠期利率投資者偏好短期投資：E（r2）<f2投資者偏好長期投資：E（r2）>f2遠期利率是否等于未來期望的短期利率取決于投資者對利率風險的承受情況，也取決于他們對債券期限長短的偏好。1815.4期限結構理論未來的短期利率在當前時刻是不可知道的，所以以短期利率的期望值E(ri)作為未來短期利率的無偏估計（假設條件）。短期利率的期望值可以通過遠期利率基于三種不同的理論來估計。期望假說（市場期望理論）流動性偏好理論市場分割理論19當前零息債券的價格當前不同期限債券的到期收益率遠期利率未來短期利率的期望值三種不同的假定：（1）市場期望理論（2）流動性偏好理論（3）市場分割理論未來不同期限債券的到期收益率未來利率期限結構當前利率期限結構未來利率期限結構20市場期望理論（themarketexpectationstheory）未來短期利率期望值＝遠期利率流動性偏好理論（theliquidityperferencetheory)長期債券必須有流動性溢價（liquiditypremium）市場分割理論（themarketsegmentationtheory)長期債券和短期債券分別適應于不同的投資者21

預期理論假設條件：投資者風險中性僅僅考慮（到期）收益率而不管風險。所有市場參與者都有相同的預期，金融市場是完全競爭的；在投資人的資產(chǎn)組合中，期限不同的債券是完全替代的。22在上述的假定下，投資于兩年到期的債券的總報酬率，應等于首先投資于1年到期的債券，隨后再轉投資于另一個1年到期的債券所獲得的總報酬率，即第1年投資（已知）第2年投資（預期）23利率期望理論的結論若遠期利率（f2,f3,….,fn）上升，則長期債券的到期收益率yn上升，即上升式利率期限結構，反之則反。有沒有可能是水平式的結構？有沒有可能是駝峰式？長期投資與短期投資完全可替代：投資于長期債券的報酬率也可由重復轉投資（roll-over)于短期債券獲得。24nynnynnynnyn市場期望理論理論下的利率期限結構（曲線）25流動性偏好理論短期債券相對于長期債券的利率風險要小。對持有長期債券需要風險溢價。收益曲線一般表現(xiàn)為基于遠期利率的正向偏離。E（r2）<f226流動性報酬為由于投資者不愿意投資長期債券，因此為了吸引投資者，投資兩年期債券的收益，應高于先投資1年期債券后，再在下1年再投資1年期債券的收益，即27例子：比較兩個理論注意：不變的流動性溢價使收益率上升的更上升。由期望理論得到28由上面的例子推廣流動性溢價使得市場期望理論下的利率期限結構（1）上升的更上升（2）下垂的可能上升可能下降29

1.不變的流動性溢價（l1=l2=,…ln)，預期短期利率不變（上升）：上升式YieldsMaturity遠期利率收益率曲線預期的短期利率30YieldsMaturity遠期利率收益率曲線預期的短期利率

2.不變的流動性溢價（l1=l2=,…ln)，預期短期利率下降：駝峰式313.上升的流動性溢價（l1<l2<,…<ln)，預期短期利率下降：上升式YieldsMaturity遠期利率收益率曲線預期的短期利率324.上升的流動性溢價（l1<l2<,…<ln)，預期短期利率上升：急劇上升YieldsMaturity遠期利率收益率曲線預期的短期利率33小結：流動性偏好的收益率曲線若收益率曲線是上升的，并不一定是預期短期利率曲線上升引起的。若收益率曲線下降或者駝峰式，則預期短期利率一定下降。思考：短期投資者有沒有可能投資長期債券？長期投資者有沒有可能投資短期債券？34市場分割理論

前兩個理論都暗含著一個假定：不同到期債券之間相互可以替代的。長短期利率由同一個市場共同決定。市場分割理論認為長短期債券基本上是再分割的市場上，各自有自己獨立的均衡價格（利率）投資者對不同期限的債券有不同的偏好，因此只關心他所偏好的那種期限的債券的預期收益水平。35按照市場分離假說的解釋，收益率曲線形式之所以不同，是由于對不同期限債券的供給和需求不同。數(shù)量利率短期債券市場數(shù)量利率長期債券市場36對市場分割理論的評述與事實不符合，不符合無套利原則，只有市場無效率，長短期投資者互不知道對方信息，從而一方未能抓住另一方的獲利機會類比：投資者與投機者角色轉換資金的流動受到阻礙所以，不同到期日的債券是相互競爭的，即所謂的“優(yōu)先置產(chǎn)理論”（preferredhabittheory)。市場分割理論已基本上被拋棄！3715.5對期限結構的說明

與的關系遠期利率與預期即期利率的關系38第16章債券資產(chǎn)組合的管理主要內(nèi)容16.1利率風險16.2凸性16.3消極債券管理16.4積極債券管理16.5金融工程與利率衍生小結40背景知識：債券屬性與價值分析

到期時間若其他條件不變，則債券的到期時間越長，債券價格的波動幅度越大。息票率的影響若息票率大于市場利率，債券溢價發(fā)行，反之折價發(fā)行，最終債券的價格收斂到面值。平價發(fā)行，則：到期收益率＝當期收益率＝票面利率折價發(fā)行，則：到期收益率>當期收益率>票面利率溢價發(fā)行，則：到期收益率<當期收益率<票面利率413.可贖回條款：該條款的存在，降低了該類債券的內(nèi)在價值。當贖回價格低于應付利息的現(xiàn)值時（利率降低時），發(fā)行人將贖回債券，從而與不可贖回債券擴大價差。市場利率高時，贖回風險可忽略不計，兩種債券的價差可以忽略。42稅收待遇：享受免稅待遇的債券的內(nèi)在價值一般略高于沒有免稅待遇的債券,故其價格較高流動性:債券的流動性與債券的內(nèi)在價值呈正比例關系。債券的流動性越大，價格越高違約風險越高，投資收益率也越高違約風險高，則信用等級低，價格低

4316.1利率風險16.1.1利率敏感性我們已經(jīng)知道：債券價格與市場收益率之間呈反向關系

市場利率是債券投資的機會成本當債券的到期收益率為5％，而市場利率是6％的時候，人們不會用面值購買這種債券，此時，這種債券的價格一定會下跌，直到該債券的到期收益率上升到具有競爭力的6％的水平為止；相反的過程也具有一樣的機制。我們還需要了解-債券價格對市場利率變化的敏感性44馬兒凱爾（Malkeil）定理由公式可見，債券的持有期限、利息、本金以及市場利率（或者收益率）決定了債券的內(nèi)在價值，若市場是有效的（無套利條件），則內(nèi)在價值＝價格。在市場有效的前提下，Malkeil的5個定理總結了債券價格（現(xiàn)值）與這些因素的關系。45

債券價格與到期收益率

46債券-定價關系（法則）

BurtonG.Malkiel（1962)，Homerliebowitz(1972)1)債券價格與收益率的變動呈反向關系：當收益率增加時，債券價格下降；當收益率下降時，債券價格上升。A\B\C\D2)債券到期收益率上升導致價格下降的幅度低于與收益率的等程度下降導致價格上升的幅度。A\B\C\D3)長期債券價格比短期債券價格對利率更敏感，換句話說，長期債券價格有更大的利率風險。A\B47債券-定價關系（法則）

BurtonG.Malkiel（1962)，Homerliebowitz(1972)4)隨著期限的增加，債券價格對收益率的敏感性以一個下降的速率增加。B\A（雖然到期時間延長，債券價格波動幅度增加，但增加的速度遞減。）5)利率風險與債券的息票率呈反向關系，高息票率的債券價格與低息票率的債券價格相比，前者對利率變化的敏感性較低。B\C6)債券價格對收益率的敏感性與出售時的初始到期收益率呈反向關系。C\D

了解債券價格與息票利率、到期收益率、到期期限之間的關系十分重要。4849定理1：債券價格與市場利率具有反向相關關系。定理3：若利率不變，則債券的到期時間與債券價格的波動幅度之間成正相關關系。

原因：長期債券由于期限長，利率對其價格的作用大。5051定理2：對于既定期限的債券，由利率下降導致的債券價格上升的幅度，大于同等幅度的利率上升導致的債券價格下降的幅度。證明：任取t時刻現(xiàn)金流Ct的折現(xiàn)值，只要證明每個時刻的現(xiàn)金流都具有上述性質，則價格也具有這個性質。52定理4：雖然到期時間延長，債券價格波動幅度增加，但增加的速度遞減。n＋2年與n+1年的差異小于n＋1年與n年之間的差異證明：分別觀察n年期、n+1年期和n＋2年期債券投資者最后1年、2年和3年現(xiàn)金流的現(xiàn)值53由于則有原因：本金是最大數(shù)量的現(xiàn)金流，它受市場利率的影響最大。當期限增加時，本金不斷后移，其現(xiàn)值占總現(xiàn)值的比重變小，重要性程度下降。所以，債券價格受利率影響雖然加大，但增速遞減。54定理5：除折現(xiàn)債券和永久債券外，息票率越低的債券受市場利率的影響越大。息票率越低，付本金前所有利息收入的現(xiàn)值在整個債券價格構成中占比重越低，本金現(xiàn)值的比重越大。本金是現(xiàn)金流最主要的組成部分，其現(xiàn)值（絕對數(shù)）受利率的影響最大。由1、2即有定理5。5556表16-1,2息票率為8%和零息債券價格57Table16.2PricesofZero-CouponBond(CouponsPaidSemiannually)到期日越短，則價格變化越小。息票率越大，則價格變化越小。提前支付的利息具有更短的到期日。我們要尋找一個債券的平均到期日，以評價其價格敏感性。58久期是1938年由弗雷德里克?麥考里（F.R.Macaulay）提出的，用來衡量債券現(xiàn)金流支付的平均到期時間，可以對債券的有效期限進行正確的概括。

其中:t為第t次現(xiàn)金流，Wt為t次現(xiàn)金流占整個現(xiàn)金流的比重，CFt為第t次現(xiàn)金流,y為債券的到期收益率，P債券的價格。

16.1.2久期（Duration）久期：現(xiàn)金流現(xiàn)值翹翹板的支點時間現(xiàn)值久期：以現(xiàn)金流占總現(xiàn)值的比例為權重，對每次現(xiàn)金流發(fā)生時間加權平均的結果！5960例子

例如，某債券當前的市場價格為950.25美元，收益率為10%，息票率為8%，面值1000美元，三年后到期，一次性償還本金。練習：計算久期找出6％息票債券的久期，每年支付息票，離到期還有3年，且到期收益為6％。如果到期收益為10％，久期是多少?61(1)(2)(3)(4)(5)償還年限現(xiàn)金流現(xiàn)金流現(xiàn)值

(6%)權重(1)(4)1 $60.00 $56.600.05660.05662 $60.00 $53.400.05340.10683$1,060.00 $890.000.89002.6700ColumnSums$1,000.001.00002.8334(1)(2)(3)(4)(5)償還年限現(xiàn)金流現(xiàn)金流現(xiàn)值

(=10%)權重(1)(4)1 $60.00 $54.550.06060.06062 $60.00 $49.590.05510.11023$1,060.00 $796.390.88442.6532ColumnSums $900.531.00002.824062在上題中，如果每半年支付息票，找出債券的久期。(1)(2)(3)(4)(5)TimeuntilPayment(years)CashFlowPVofCF(Discountrate=3%)WeightColumn(1)Column(4)1 $3.00 $2.9130.029130.029132 $3.00 $2.8280.028280.056563 $3.00 $2.7450.027450.082364 $3.00 $2.6650.026650.106625 $3.00 $2.5880.025880.129396 $103.00 $86.2610.862615.17565ColumnSums $100.0001.000005.5797163久期的意義久期是固定收益證券組合管理的一個重要概念，原因在于:-是資產(chǎn)組合有效平均期限的一個簡單測度指標。-可以測度債券組合的利率敏感性。-是資產(chǎn)組合管理中利率免疫（immunization)策略的一個重要工具。64久期是資產(chǎn)組合利率敏感性的一種測度具體地說，當利率變化時，債券價格變化的比率與到期收益率的變化相關債券價格變化的百分比等于修正久期與債券到期收益率的變化之積。修正久期可以用來測度債券在利率變化時的風險暴露程度。65666768債券久期:期限、息票利率、到期收益率

16.2.1什么決定久期69-附息債券久期小于其到期時間；-零息票債券的久期等于本身的期限；-票面利率越低，久期就越長；-債券期限越長，久期也越長；-到期收益率越高，久期越短；-每年付息次數(shù)越多，久期越短；

久期（Duration）特點久期法則：久期法則1：零息票債券的久期等于它的到期時間。久期法則2：到期日不變時，債券的久期隨著息票利率的降低而延長。久期法則3：當息票利率不變時，債券的久期通常隨著債券到期時間的增長而增長。久期法則4：在其他因素都不變的情況下，債券的到期收益率較低時，息票債券的久期較長。久期法則5：無限期限債券的久期為(1+y)／y70如果在價格與收益率之間存在著線性關系，那么，可以預期，兩年期債券價格的百分比變化應該正好是1年期債券價格變化的兩倍。但事實并非如此。同樣地，3年期債券價格變化的百分比也并不是1年期債券的3倍，而是4．97％。711年期債券的價格變化是1.82％，2年期債券的價格變化了3.47％16.2凸性凸性、債券價格變化與收益率變化7272

到期收益率的變動(%)債券價格變動幅度(%)020-20-5-4-3-2-10123456604080100-40-60-80-100久期近似值實際價格波動息票利率為8%的30年期債券的價格變化與收益率變化之間的關系

近似久期（直線）總是低于債券的價值。當收益率下降時，它低估債券價格的增長程度；當收益率上升時，它高估債券價格的下跌程度。由此可以得出三個結論：利率上升會導致債券價格下跌；到期期限越長，債券的價值變化就越大；較長期債券的價值增加比例會越來越小，也就是說，存在著定價曲率或稱凸性現(xiàn)象。73練習：假設一債券的面值為1000美元，每年支付5％的固定利息，正好4年到期，當前同類債券的收益率是每年5％。如果預期利率上漲200個基點，請分別用久期和債券定價模型估計債券價格。74基于久期，價格為1000-70.92=929.08美元?？梢姡闷诟吖懒藗瘍r格的下跌幅度，由此可得出結論：·如果利率上升，存續(xù)期會高估價格變化·如果利率下跌，存續(xù)期則會低估價格變化。7516.2凸性凸性、債券價格變化與收益率變化考慮到凸性，債券價格可以修正為：

?P/P=-D*?y+(1/2)*凸性*(?y)2

76提前償還債券的久期和凸性7716.3消極債券管理16.3.2免疫用不同到期日的債券組合的方法，可以使債券組合在未來的某一確定時間的總價值不隨市場利率的變化而變化，這就是債券的利率免疫。構造這樣一種投資組合，以至于任何由利率變化引起的資本損失(或利得)都能被再投資的回報(或損失)所彌補。原理在于一只給定久期的附息債券可以精確地近似于一只久期相同的零息債券。7879Question：

如果投資人用來投資的資金是借來的，則他應該如何進行固定收益證券組合投資以使他從投資中他所收到的現(xiàn)金流必須能夠償還各個期限上的債務？使他投資形成的資產(chǎn)的久期等于負債的久期。這就是所謂的免疫策略。目標期免疫8081免疫練習題假設某債券資產(chǎn)管理人收到的債券投資額為8820262元，承諾給債券投資人的年利率為12．5％，期限為5．5年。這意味著5．5年后，該資產(chǎn)管理人必須向債券投資人一次性支付本息17183033元。如果這位管理人在市場上購買了一種5．5年到期、息票利率為12.5％、按面值出售的面額為8820262元的債券，并持有到期，那么，5.5年后，該管理人能實現(xiàn)17183033元的目標價值嗎?82免疫練習題假設該管理人按8820262元的票面價值購買期限為15年、票面利率為12．5％、到期收益率也為12．5％的債券，他能否實現(xiàn)目標價值呢?再假設管理人投資于一種到期收益為12．5％、1年到期、息票利率為12．5％、以面值出售的面額為8820262元的債券。這時，債券到期的本息立刻再投資債券，到5．5年時可再獲得一份利息收入。假設該管理人投資于一種期限為8年、到期收益率為12．5％、息票利率為10．1