第六章樣本及抽樣分布-第二節(jié)

第六章----第八章知識結(jié)構(gòu)圖數(shù)理統(tǒng)計抽樣分布

統(tǒng)計推斷常用的統(tǒng)計量四個重要分布參數(shù)估計假設(shè)檢驗正態(tài)總體的樣本均值與方差的分布(重要統(tǒng)計量的分布)矩估計法點估計

區(qū)間估計極大似然估計法均值的區(qū)間估計方差的區(qū)間估計均值的檢驗方差的檢驗單個總體兩個總體正態(tài)總體

在上節(jié)所介紹內(nèi)容中已經(jīng)知道：樣本是進行統(tǒng)計推斷的依據(jù)。

第二節(jié)抽樣分布

問題的提出

亦即用樣本去推斷總體情況，需要對樣本進行一定的“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的適當(dāng)函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來。這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量它是完全由樣本所決定的量但在實際應(yīng)用時，往往不是直接使用樣本本身，而是針對不同的問題構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù)，利用這些樣本的函數(shù)進行統(tǒng)計推斷。1.定義設(shè)是來自總體X的一個樣本，是的函數(shù)。若g是連續(xù)函數(shù)且g中不含任何未知參數(shù),則稱是一個統(tǒng)計量。一.統(tǒng)計量的定義

統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，它是一個隨機變量?！渲?是的樣本值

稱為的觀察值注

2.幾個常用的統(tǒng)計量樣本均值：樣本方差：它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息(1).(2).(3).樣本標(biāo)準(zhǔn)差：(4).樣本k階原點矩：(5).樣本k階中心矩：

k=1,2,…它反映了總體k階矩的信息它反映了總體k階中心矩的信息~(5)均是隨機變量，▲▲若總體X的k

階原點距存在，這個結(jié)論表明：▲關(guān)于與總體分布函數(shù)相應(yīng)的統(tǒng)計量

—---經(jīng)驗分布函數(shù)的概念與作法請見浙大教材P161--P162注實質(zhì)上它們是樣本函數(shù)的數(shù)字特征；它們的觀察值是具體的實數(shù)值，仍稱為樣本均值、樣本方差、樣本

k

階原點距與樣本

k

階中心距。則當(dāng)時有：證明見浙大教材P161樣本的

k階距依概率收斂到總體的

k階距。矩估計法的理論根據(jù)3.抽樣分布統(tǒng)計量作為隨機變量，因而就有一定的分布，這個分布就稱為統(tǒng)計量的“抽樣分布”。故有：統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布

二.幾個重要的分布設(shè)是來自正態(tài)分布N(0,1)的樣本，則稱統(tǒng)計量：定義.分布1.記為：為服從自由度為n

的分布.自由度n

是指中所包含獨立變量的個數(shù)分布的密度函數(shù)為：來定義。其中：伽瑪函數(shù)通過積分：其密度函數(shù)的圖形如下：▲▲注若，則n=2n=1n=4n=6n=11xf(x)0（參見教材P171圖6.1）▲相互獨立，則分布的上分位點：稱滿足：對于給定的的點為分布的上分位點。分布的可加性：若且其圖形如下：▲▲面積=xf(x)0對于不同的與，有表可查（見教材P265的附表4）

一般:當(dāng)時可直接查表當(dāng)時可用近似公式：例如：費歇R.AFisher證明是正態(tài)分布的上分位點或：記為T～t(n)為服從自由度為

n的

t分布.設(shè)X～N(0,1),Y～,且X與Y相互獨立，則稱隨機變量：t分布2.

定義.

t分布是英國統(tǒng)計學(xué)家哥塞特（G0sset）首先發(fā)現(xiàn)的，并以學(xué)生(student)的筆名在英國的《Bi0metrike》雜志上發(fā)表的一篇文章中提出了他的研究結(jié)果.▲注故t分布也稱為學(xué)生分布。t分布的概率密度函數(shù)為：它非常象正態(tài)分布圖形,關(guān)于y軸對稱▲xt(x)0n=2n=25n=（參見教材P173圖6.3）其圖形如下：T分布的上分位點:稱滿足條件:▲當(dāng)充分大時，即當(dāng)充分大時，t分布可以近似看作是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；但當(dāng)較小時，t分布與正態(tài)分布的差異是不能忽略的?！鬞～t(n)，則有：當(dāng)時當(dāng)時▲的點為t分布的上分位點。對于給定的0面積=對于不同的與，有表可查（見教材P264的附表3）

一般:當(dāng)時可直接查表當(dāng)時可用近似公式：(用正態(tài)分布近似)例如：由上分位點定義及h(t)對稱性得:▲F分布

設(shè)X與Y相互獨立，則稱統(tǒng)計量：為服從自由度n1及n2的F分布，記作：

F~F(n1,n2)

若F~F(n1,n2)，則F的概率密度為：3.定義.▲注x0其圖形如下：（參見教材P174圖6.5）▲若則▲若則：當(dāng)時，當(dāng)時，▲稱滿足條件:F分布的上分位點:的點為F分布的上分位點。對于給定的x0面積=對于不同的與，有表可查

（見教材P268的附表5）

例如:

正態(tài)分布▲分布的上分位的性質(zhì)：4.（請自己復(fù)習(xí)其圖形及性質(zhì)等）三.正態(tài)分布的樣本均值與樣本方差的分布

定理1

(樣本均值和樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本，是其樣本均值和樣本方差則和相互獨立只證（1），（2）與（3）的證明見教材P175—P176證明:(1)相當(dāng)于a=1/n,b=0代入到y(tǒng)=ax+b中因為若則有：由已知又則：即n取不同值時樣本均值的分布n取不同值時的分布推論.推論的實質(zhì)是把服從一般正態(tài)分布的隨機變量化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個方法。設(shè)是總體的一個樣本，則▲注正態(tài)分布。它類似于把一個隨機變量經(jīng)線性變換化為服從標(biāo)準(zhǔn)推論的證明，只需在定理1(1)式的證明中令：即可.對于一般的有：▲▲由推論定理2.設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體分別為樣本均值和樣本方差,則有：證明:由定理1的結(jié)論與推論并且兩者相互獨立由分布的定義得：的樣本,定理3.且X與是取自Y的樣本。Y相互獨立，是取自X的樣本，分別是這兩個樣本的樣本均值，和分別是這兩個樣本的樣本方差。和

則有：證明:而相當(dāng)于y=ax+b中a=-1,b=0其中：從而由定理1推論由分布的可加性則由

t分布定義得：例1.在總體中隨機抽取一容量