北京科技大學材料力學課件第九章

第九章壓桿穩(wěn)定材料力學§9–1穩(wěn)定性失效的概念

細長桿件承受軸向壓縮載荷作用時，將會由于平衡的不穩(wěn)定性而發(fā)生失效，這種失效稱為穩(wěn)定性失效

(failurebyloststability),又稱為屈曲失效

(failurebybuckling)。1983年10月4日，高54.2m、長17.25m、總重565.4kN大型腳手架屈曲坍塌，5人死亡、7人受傷。橫桿之間的距離太大2.2m>規(guī)定值1.7m;地面未夯實，局部桿受力大；與墻體連接點太少；安全因數(shù)太低：1.11-1.75<規(guī)定值3.0。壓桿失穩(wěn)破壞的實例

2006年12月9日，北京市順義城區(qū)北側(cè)減河上一座懸索橋在進行承重測試時突然坍塌,約50米橋體連同橋上進行測試的10輛滿載煤渣的運輸車一起塌下,1名司機和2名檢測人員受傷。

柱腳與地面連接強度不足，局部桿受力大，導致另一柱腳被拔起Ａ型柱的連接桿焊點突然失效，導致Ａ型柱失穩(wěn)破壞桿件在失穩(wěn)后，有可能以彎曲曲線形式的平衡狀態(tài)的維持，也可能不再平衡。桿件失穩(wěn)≠不平衡1.穩(wěn)定平衡和臨界平衡

一個處于平衡狀態(tài)的受力系統(tǒng)，當受到一個輕微的擾動后，仍然能夠恢復原有形式的平衡狀態(tài)，則稱為穩(wěn)定平衡。反之，稱為非穩(wěn)定平衡。

結(jié)構(gòu)構(gòu)件或機器零件在壓縮載荷或其它特定載荷作用下發(fā)生變形，最終在某一位置保持平衡，這一位置稱為平衡位置，又稱為平衡構(gòu)形（equilibriumconfiguration）。

承受軸向壓縮載荷的細長壓桿，有可能存在兩種平衡構(gòu)形——直線的平衡構(gòu)形與彎曲的平衡構(gòu)形。

平衡構(gòu)形—壓桿的兩種平衡構(gòu)形FP<FPcr:

直線平衡構(gòu)形FPFP>FPcr:彎曲平衡構(gòu)形(在擾動作用下)FPFP

FP<FPcr

:在擾動作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除去后，能夠恢復到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的。FPFP判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學準則（staticalcriterionforelasticstability）

FP<FPcr,穩(wěn)定的直線平衡構(gòu)型FPFP>FPcr

:在擾動作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除去后，不能恢復到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。FPFP判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學準則（staticalcriterionforelasticstability）

FP>FPcr,不穩(wěn)定的直線平衡構(gòu)型(1)結(jié)構(gòu)必須是由細長或薄壁構(gòu)件（長桿、薄板或殼體）組成(2)構(gòu)件必須承受壓載荷作用(3)壓載荷必須達到或超過失穩(wěn)的臨界載荷，即：2結(jié)構(gòu)桿件發(fā)生失穩(wěn)的必要條件在外界干擾力作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除去后，不能恢復到直線平衡構(gòu)形，則稱：壓載荷為達到失穩(wěn)的臨界載荷Pcr。當壓載荷達到某數(shù)值時，即：3.壓桿的臨界載荷§9–２兩端鉸支細長壓桿的臨界力確定臨界載荷的平衡方法

當梁內(nèi)彎矩分段、材料不同、截面不同，梁的近似撓曲線微分方程必須分段表示。積分法一般步驟為：（近似撓曲線微分方程）臨界載荷作用下的彎矩方程:令lPPPcrPcrxyyPcrNMy（近似撓曲線微分方程）考慮桿的邊界條件:解的形式為:求解此常微分方程,可以得到含待定常數(shù)的通解:選擇一個半波:n=1,

歐拉公式lPPPcrPcrxyyn稱為半波數(shù)最小臨界載荷討論:(3)n=1,表示失穩(wěn)曲線僅有一個半波.(2)I應(yīng)當選取最小慣性矩bhxy例如:兩端鉸支壓桿,I=Imin=

IyPcr9Pcr4Pcrn=1n=2n=3n稱為半波數(shù)不同撓曲線近似微分方程

不同的約束不同邊界條件不同的Pcr§9–3其它支座條件下細長壓桿的臨界力PcrPcrPcrl/2l/4l/4l兩端固定端約束觀察失穩(wěn)曲線拐點處無彎矩確定兩個拐點(inflexion)—反映不同支承影響的系數(shù)，稱為長度系數(shù)（coefficientof1ength）——可由屈曲后的正弦半波長度與兩端鉸支壓桿屈曲時的正弦半波長度的比值確定。

l

—不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長度，稱為有效長度(effectivelength)；一端自由，一端固定一端鉸支，一端固定歐拉公式的一般形式PcrPcrPcrl/2l/4l/4lPcrl2lPcrl0.7lPcr—長度系數(shù)（coefficientof1ength）—歐拉公式(μl)22EIPcr=E—壓桿材料的彈性模量I—壓桿失穩(wěn)方向的慣性矩l—壓桿長度l—有效長度(effectivelength)—歐拉公式(μl)22EIPcr=注意：1、當約束與空間取向無關(guān)時（如：球鉸鏈），慣性矩

I

應(yīng)當取最小值Imin。2、當約束與空間取向有關(guān)時（如：夾板式鉸鏈），則按照兩個互相垂直方向的慣性矩I和相應(yīng)的約束(μ)。分別計算臨界壓力，取其最小值為桿的Pcr。壓力P與壓桿內(nèi)最大撓度Vmax的關(guān)系PmaxHFG實際材料失穩(wěn)PvmaxOA`近似解理想材料失穩(wěn)CED精確解APcr穩(wěn)定承載真實壓桿的缺陷：初曲率非均勻性偏心載荷實際支承處，約束類型的確定已經(jīng)討論過的桿端約束，均為典型的理想約束。然而，實際工程中桿端的約束情況是比較復雜的，有時很難將其歸結(jié)為某一種理想約束。在實踐中，可能將其表示為理想約束與彈簧的組合形式。因此，為了計算壓桿臨界載荷，在實際工程中桿端的約束形式及桿的等效長度，應(yīng)當視具體情況，查工程設(shè)計規(guī)范而決定。柔度又稱長細比，用

表示。柔度是綜合反映壓桿長度、約束條件、截面尺寸和截面形狀對壓桿臨界載荷影響的量，由右式確定：

其中，i為壓桿橫截面的慣性半徑：從上述二式可以看出，柔度反映了壓桿長度、支承條件以及壓桿橫截面幾何尺寸對壓桿承載能力的綜合影響?！?–4歐拉公式的適用范圍，經(jīng)驗公式對于彈性屈曲,必須有：p—比例極限臨界應(yīng)力—柔度—截面的慣性半徑歐拉公式的適用范圍：(μl)22EIPcr=設(shè)：cr＝

P時，=pPEp＝

故：三類不同壓桿的區(qū)分

大柔度桿—柔度大于或等于極限值p時的壓桿稱為大柔度桿或細長桿。

中柔度桿—柔度小于p，但大于或等于另一個極限值s時的壓桿稱為中柔度桿或中長桿。

小柔度桿—柔度小于極限值s時，壓桿不會發(fā)生屈曲，但將會發(fā)生屈服。這類壓桿稱為小柔度桿或粗短桿。

顯然，只有p時，即：對于大柔度桿，才可以用歐拉公式計算壓桿臨界力。應(yīng)當記憶：對于一般鋼材，P=200~300MPa。其p~100左右。三類不同的壓桿細長桿（大柔度桿）—發(fā)生彈性屈曲中長桿（中柔度桿）—發(fā)生彈塑性屈曲粗短桿（小柔度桿）—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服

對于細長桿，臨界應(yīng)力公式

對于中長桿，由于發(fā)生了塑性變形，理論計算比較復雜，工程中大多采用直線經(jīng)驗公式計算其臨界應(yīng)力，最常用是直線公式：其中，a和b為與材料有關(guān)的常數(shù)，單位為MPa。三類壓桿的臨界應(yīng)力公式

對于粗短桿，因為不發(fā)生屈曲，而只發(fā)生屈服(韌性材料)，故其臨界應(yīng)力即為材料的屈服應(yīng)力將上述各式乘以壓桿的橫截面面積，即得到三類壓桿的臨界載荷。臨界應(yīng)力總圖

根據(jù)三種壓桿的臨界應(yīng)力表達式，在σcr－λ坐標系中可以作出關(guān)系曲線，稱為臨界應(yīng)力總圖(figuresofcriticalstresses)。

細長桿中長桿

粗短桿臨界應(yīng)力總圖λpλSσsσpσcrλOσcr=σsσcr=a-bλ

根據(jù)臨界應(yīng)力總圖中所示之σcr－λ關(guān)系，可以確定區(qū)分不同材料三類壓桿的柔度極限值λs、λP。

令細長桿的臨界應(yīng)力等于材料的比例極限，得到

對于不同的材料，由于E、σ

P各不相同，λP的數(shù)值亦不相同。一旦給定E、σ

P，即可算得λP。若令中長桿的臨界應(yīng)力等于屈服強度，由細長桿(p)—發(fā)生彈性屈曲，用歐拉公式。中長桿(s<p)—發(fā)生彈塑性屈曲，用經(jīng)驗公式。短粗桿(<s)—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服。小結(jié)：例題

兩根直徑均為d的壓桿，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件各不相同。試；

2.已知：

d=160mm、E=206GPa,求：二桿的臨界載荷

1.分析:哪一根壓桿的臨界載荷比較大；

1.分析:

哪一根壓桿的臨界載荷比較大：

從臨界應(yīng)力總圖可以看出：材料相同的壓桿，柔度越大，臨界應(yīng)力越小。所以判斷哪一根壓桿的臨界載荷大，必須首先計算壓桿的柔度。

1.分析:

哪一根壓桿的臨界載荷比較大：

2.已知：

d=160mm，

Q235鋼，E

=206GPa,

求：二桿的臨界載荷.

首先計算柔度，判斷屬于哪一類壓桿：Q235鋼p=101二者都屬于細長桿，采用歐拉公式。2.已知：

d=160mm，

Q235鋼，E=206GPa,

求：二桿的臨界載荷.二者都屬于細長桿，采用歐拉公式。2.已知：

d=160mm，

Q235鋼，E=206GPa,

求：二桿的臨界載荷.§9–5壓桿的穩(wěn)定計算壓桿失效與穩(wěn)定性設(shè)計穩(wěn)定校核條件Pw–桿內(nèi)最大工作壓力

Pw

Pcrnst—其中：[nst]

–許用穩(wěn)定安全因數(shù)nst–實際穩(wěn)定安全因數(shù)Pcr–桿的臨界壓力

或PcrPwnst

=nst—例題已知：b=40mm,h=60mm,l=2300mm,Q235鋼E＝205GPa,FP＝150kN,[n]st=1.8校核:

穩(wěn)定性是否安全。正視圖俯視圖解：壓桿在正視圖平面內(nèi)，兩端約束為鉸支,屈曲時橫截面將繞z軸轉(zhuǎn)動：z=zl/iz,y=yl/iy,壓桿在俯視圖平面內(nèi)，兩端約束為固定端,屈曲時橫截面將繞y軸轉(zhuǎn)動：因此，壓桿將在正視圖平面內(nèi)屈曲。工作安全因數(shù)：z=132.6因此，壓桿將在正視圖平面內(nèi)屈曲。nw>[n]st=1.8壓桿的穩(wěn)定性是安全的工作安全因數(shù)：穩(wěn)定計算中需要注意的幾個重要問題正確地進行受力分析，準確地判斷結(jié)構(gòu)中哪些桿件承受壓縮載荷，對于這些桿件必須按穩(wěn)定性設(shè)計準則進行穩(wěn)定性計算或穩(wěn)定性設(shè)計。l

要注意綜合性問題，工程結(jié)構(gòu)中往往既有強度問題叉有穩(wěn)定問題；或者既有剛度問題，又有穩(wěn)定問題。有時穩(wěn)定問題又包含在超靜定問題之中。這一結(jié)構(gòu)中，哪一根桿會發(fā)生屈曲？其臨界載荷又如何確定？圖示結(jié)構(gòu),AB為18號工字鋼梁,[]=120MPa,CE和DF均為兩端鉸鏈約束的圓截面鋼桿，d=24mm,P=100,

S=61.4。求:結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)時的理論極限載荷Pmax=？ABPCDEF1m1m1.5m1m算例解題思路由于CE和DF桿與結(jié)構(gòu)是并聯(lián)關(guān)系，只有CE和DF桿都失穩(wěn)時，才導致結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)。ABPCDEF1m1m1.5m1m因此，應(yīng)當按照兩壓桿的臨界載荷Pcr求出結(jié)構(gòu)的理論極限載荷Pmax。圖示結(jié)構(gòu),AB為18號工字鋼梁,[]=120MPa,CD為兩端鉸鏈約束的圓截面鋼桿，d=24mm,P=100,

S=61.4，[n]st=2.8。要求:

ABPCD3m1.8m1m結(jié)構(gòu)的許用載荷Pmax=？算例3解題思路校核時，必須先按梁AB強度估算一個許用載荷。再按桿CD梁穩(wěn)定要求，估算第二個許用載荷。實際的許用載荷則為二者中最小值。即：Pmax=min：{，}ABPCD3m1.8m1m圖示結(jié)構(gòu),AC是圓截面鋼桿，d=80mm,C端與CB桿用球鉸鏈連接，A、B端均為固定端約束。BC為矩形截面桿，截面尺寸為b?h=70?90mm,桿長如圖所示,兩桿材料相同,材料的彈性模量E＝205GPa,P=100,

S=61.4，熱膨脹系數(shù)?=12.5?，[n]st=3。求：當材料內(nèi)溫度升高100度后，校核系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3m1.8mABCdbh算例解題思路由于CE和DF桿與結(jié)構(gòu)是串聯(lián)關(guān)系，只要兩桿中有一根桿失穩(wěn)，就導致結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)。3m1.8mABCdbh先求出AC桿和CB桿的臨界載荷Pcr，再按靜不定桿方法，求出桿AC和桿CB的軸力。最后就可校核系統(tǒng)的穩(wěn)定性。影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強度的因素

一般情形下，控制構(gòu)件強度的因素主要是個別危險截面上的內(nèi)力、危險面的幾何形狀和尺寸?！?–6提高壓桿穩(wěn)定性的措施影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強度的因素而壓桿喪失穩(wěn)定，由直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，這一過程不是某個截面或某幾個截面的行為，而是壓桿的一種整體行為。與梁的位移形成過程相似，壓桿的屈曲過程是壓桿所有橫截面彎曲變形的累加結(jié)果