大學(xué)物理3-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述

P*O

:力臂剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點(diǎn)P,

且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的徑矢.對(duì)轉(zhuǎn)軸Z的力矩:

一力矩剛體上力的大小與力臂的乘積.作用在矢量表示大小方向:右手螺旋定則大小:多力作用下

的力矩

如果有幾個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上,而且這幾個(gè)力都在與轉(zhuǎn)軸相垂直的平面內(nèi),則這幾個(gè)的合力矩為O討論

1）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和其中對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消O量綱:單位:舉例內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩所以將剛體看成由許許多多質(zhì)量為的質(zhì)元所組成,把這些質(zhì)元當(dāng)作質(zhì)點(diǎn).由此我們假設(shè)剛體由n個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)組成,其中第個(gè)質(zhì)點(diǎn)和第個(gè)質(zhì)點(diǎn)間在與轉(zhuǎn)軸垂直平面內(nèi)的相互作用力分別為:和顯然兩力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩:由于整個(gè)剛體

解受力分析，如圖所示

例1如圖所示,有一半徑為、質(zhì)量為的均勻圓盤，可繞通過圓盤中心O

并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng).轉(zhuǎn)軸與圓盤之間的摩擦略去不計(jì).圓盤上繞有輕而細(xì)的繩索,繩的一端固定在圓盤上,另一端系一質(zhì)量為的物體.試求作用在圓盤上的力矩.O

*例2

有一大型水壩高110m、長(zhǎng)1000m，水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示.求作用在大壩上的力，以及這個(gè)力對(duì)通過大壩基點(diǎn)Q且與x軸平行的力矩.解設(shè)水深h，壩長(zhǎng)L，在壩面上取面積元作用在此面積元上的力yOhyxQyOx令大氣壓為，則代入數(shù)據(jù)，得yOhyx代入數(shù)據(jù)，得對(duì)通過點(diǎn)Q

的軸的力矩yQOhyO二轉(zhuǎn)動(dòng)定律2）剛體質(zhì)量元受外力，內(nèi)力

1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸剛性連接外力矩內(nèi)力矩O剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比.轉(zhuǎn)動(dòng)定律定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量O三轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)量元

對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度

對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度

對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度：質(zhì)量元質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

解按轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義可得對(duì)各轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（1）例3-1

在邊長(zhǎng)為的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上。分別固定有質(zhì)量均為m的四個(gè)質(zhì)點(diǎn)，如圖所示，試求此系統(tǒng)對(duì)下列轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1）轉(zhuǎn)軸過A點(diǎn)，且垂直于質(zhì)點(diǎn)所在的平面。（2）轉(zhuǎn)軸過O點(diǎn)，且垂直于質(zhì)點(diǎn)所在的平面。（3）轉(zhuǎn)軸過A、D兩點(diǎn)，且在質(zhì)點(diǎn)所在的平面內(nèi)。（2）（3）OO′O′O

解設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的質(zhì)量元

例3-2

一質(zhì)量為、長(zhǎng)為

的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求（1）通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并與棒垂直。

如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒

例5

一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓環(huán)，求通過圓環(huán)中心O

并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

解設(shè)圓環(huán)的線密度為，在環(huán)上取一長(zhǎng)為的質(zhì)量元，則質(zhì)量元其中質(zhì)元對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量整個(gè)圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中所以O(shè)RO

例6

一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤，求通過盤中心O

并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

解設(shè)圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為的圓環(huán)而圓環(huán)質(zhì)量所以圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四

平行軸定理P轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置.質(zhì)量為

的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則對(duì)任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CO注意圓盤對(duì)P軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量O竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？

解如圖所示，由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律得

例7

如圖所示,有一半徑為、質(zhì)量為的均勻圓盤，可繞通過圓盤中心O

并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng).轉(zhuǎn)軸與圓盤之間的摩擦略去不計(jì).圓盤上繞有輕而細(xì)的繩索,繩的一端固定在圓盤上,另一端系一質(zhì)量為的物體.試求物體下落時(shí)的加速度、繩中的張力和圓盤的角加速度。O解得例3-3

自學(xué)。

解作受力圖，如圖所示例3-4

質(zhì)量分別為和的兩個(gè)物體A、B分別懸掛在圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為和，兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和，輪與軸承間、繩索與輪間的摩擦力均略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩物體的加速度和繩的張力。由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律得其中解上述方程組，可得其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得棒的角加速度為由角加速度的定義，得例3-5

如圖所示，一個(gè)可繞固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均質(zhì)細(xì)棒，質(zhì)量為，長(zhǎng)度為，初始時(shí)刻處于水平位置。求其自由釋放至角時(shí)的角加速度和角速度。

解如圖所示，棒所受重力對(duì)軸的力矩為角速度由角加速度的定義，得

例10

有一半徑為R質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤,以角速度ω0繞通過圓心垂直圓盤平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng).若有一個(gè)與圓盤大小相同的粗糙平面(俗稱剎車片)擠壓此轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤,故而有正壓力N均勻地作用在盤面上,從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢.設(shè)正壓力N和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)均已被實(shí)驗(yàn)測(cè)出.試問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止轉(zhuǎn)動(dòng)?

解:在圓盤上取面積微元,面積元所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩大小r剎車片面積微元所受摩擦力矩圓環(huán)所受摩擦力矩圓盤所受摩擦力矩圓盤角加速度停止轉(zhuǎn)動(dòng)需時(shí)rR例11

有一半徑為、質(zhì)量為的均質(zhì)圓盤，以角速度為繞通過盤心O

并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng).若有一個(gè)與圓盤大小相同的粗糙平面（俗稱剎車片）擠壓此轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤，故而有正壓力均勻地作用在圓盤上，從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢。設(shè)正壓力和剎車片與圓盤間的摩擦因數(shù)均已被實(shí)驗(yàn)測(cè)出。試問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？

解由題意知,圓盤上所受的壓力是均勻的,轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤的面積為,所以圓盤上單位面積所受的壓力為在如圖所示的轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤上距軸O為處取一長(zhǎng)為、寬為的面積元，在剎車的作用下，該面積元所受的摩擦力為：這個(gè)摩擦力對(duì)軸O的摩擦力矩大小為方向與的方向相反剎車片對(duì)整個(gè)圓盤作用的摩擦力矩于是整個(gè)圓環(huán)對(duì)軸O的摩擦力矩為其中由所以圓盤是作勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度得

例12

一長(zhǎng)為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度.

解細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得再求線加速度及繩的張力.靜止落下距離

時(shí)，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為

例13

質(zhì)量為的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質(zhì)量為的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為的物體B

上.滑輪與繩索間沒有滑動(dòng)，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì).問：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？