小波分析及應(yīng)用

內(nèi)容簡介

小波分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

小波分析的發(fā)展歷程

小波變換

小波分析應(yīng)用

主要參考文獻(xiàn)1.小波分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)集合論上定義的三大空間：

距離空間、賦范線性空間、Hilbert空間。相關(guān)概念及理論：空間可看成是實(shí)際物理空間或歐幾里德三維空間的推廣和抽象化?？臻g由有確定元素的集合構(gòu)成，并在這些元素間引入某種關(guān)系。

距離空間：定義元素之間距離的集合叫距離空間或度量空間；定義元素之間代數(shù)運(yùn)算（向量加法及數(shù)與向量乘法）的集合稱為線性空間；賦范線性空間：定義了元素范數(shù)（向量長度的推廣）的線性空間稱為賦范線性空間；定義了元素與元素內(nèi)積（積分運(yùn)算）的線性空間稱為內(nèi)積空間；如果再引入極限概念，研究其收斂性，這些空間就是完備的；

Hilbert空間：完備的內(nèi)積空間就是Hilbert空間。1.1距離空間的定義設(shè)R表示一個(gè)非空集合，若任意兩元素,都按一定的規(guī)則與一個(gè)實(shí)數(shù)相對(duì)應(yīng)，且滿足以下三公理：（1），當(dāng)且僅當(dāng)：時(shí)等號(hào)成立；（非負(fù)性）（2）；（對(duì)稱性）（3）對(duì)R中任意三元素，有：（三角不等式）則稱為和的距離，稱R為距離空間。1.2賦范線性空間定義設(shè)為實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）線性空間，若任意的，都有一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，且滿足：（1）；（2）(齊性);（3）（三角不等式）。則稱為的范數(shù)，稱為線性賦范線性空間。1.3Hilbert空間定義內(nèi)積空間定義：設(shè)是數(shù)域（實(shí)或復(fù)），是上的線性空間。若對(duì)任意的，都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，且滿足：（1）（2）（3）（4）且則稱為的內(nèi)積，稱為內(nèi)積空間。其中（1），（2）是對(duì)第一變?cè)€性性；（3）為共扼對(duì)稱性；（4）為正定性。Hibert空間定義：若內(nèi)積空間按范數(shù)完備，則稱為Hibert空間。1.4小波分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

首先，小波變換以空間理論為基礎(chǔ)的；小波分析是以研究正交、緊支集小波開始的，小波構(gòu)造及運(yùn)算規(guī)則都與Hilbert空間理論密不可分；小波分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程如下：泛函分析、矩陣分析、數(shù)值分析、數(shù)理統(tǒng)計(jì)。2.小波分析的發(fā)展歷程Fourier變換：1807年由Fourier提出，時(shí)域到頻域的域變換；1909年A.Haar提出Haar函數(shù)系，正交、對(duì)稱、緊支撐，但不光滑；1936年Littlewood-Paley提出對(duì)頻率按進(jìn)行劃分；1946年，Gaber提出窗口Fourier變換；1948年Shannon建立信息論，后來發(fā)現(xiàn)可用小波基不失真?zhèn)鬏斁幋a的存在；1974年，GuidoWeiss和R.Coifman研究函數(shù)空間原子分解及重構(gòu)；1981年Morlet首先提出小波分析的概念；1984年J.Morlet和物理學(xué)家A.Grossman第一次提出“Wavelet”一詞；1985年Meyer證明了一維小波基的存在，1986年國際上掀起小波研究的熱潮；1987年Meyer和Mallat合作提出多分辨分析的框架；1988年Debauchies構(gòu)造出緊支集有限光滑小波函數(shù)（Ｄb），發(fā)表著名長文；1990年崔錦泰和王建忠構(gòu)造了單正交樣條小波基；1992年經(jīng)典小波的基本理論已成熟，國內(nèi)1991年發(fā)表第一篇小波論文。2.1Heisenberg不確定原理Heisenberg不確定原理限制了時(shí)頻能量的同時(shí)集中！Heisenberg不確定理：如果，時(shí)間的根方差為，頻率的根方差為則：即:時(shí)—頻局域化只能在均方意義下獲得：這種局域化可表示為HeisenbergBox:2.2傅立葉分析

Fourier變換把信號(hào)從時(shí)間域變到頻率域，在時(shí)間域內(nèi)難以觀察的現(xiàn)象和規(guī)律，在頻率域內(nèi)往往能十分清楚地顯示出來。連續(xù)Fourier變換定義如下：FT時(shí)—頻相平面圖

timeAmplitude

Fourier變換的缺陷：在時(shí)域表示中不能直接利用信號(hào)的頻域信息；在頻域表示中，也不能直接利用信號(hào)的時(shí)域信息,傅立葉分析沒有時(shí)—頻局域化能力。2.3窗口傅立葉分析

窗口Fourier變換在τ點(diǎn)附近局部地測(cè)量了頻率為ω的正弦分量，使Foureier在時(shí)域與頻域內(nèi)均有局域化功能。連續(xù)窗口Fourier變換如下：積分核：

窗口Fourier變換的缺陷：一旦選定特定大小的時(shí)間窗口，它對(duì)整個(gè)信號(hào)的所有頻率是固定不變的，這就不適于處理頻率成分隨時(shí)間變化的瞬變信號(hào)。2.4小波分析的時(shí)頻特性

在空間中小波函數(shù)是一經(jīng)伸縮和平移得到的一族雙窗口函數(shù)：滿足下述條件：（1）具有k階消失矩：（2）容許條件：（3）穩(wěn)定性條件：

在信號(hào)頻率降低時(shí)，尺度參數(shù)a增大，小波的時(shí)窗變寬，同時(shí)頻窗變窄；在信號(hào)頻率增高時(shí)，尺度參數(shù)a減小，小波的時(shí)窗變窄，同時(shí)頻窗變寬。Fourier變換的重要性質(zhì)之一是其伸縮性。對(duì)于小波有：在某一尺度a下小波的雙窗口寬度如下：

小波基函數(shù)的窗口面積不隨參數(shù)而變，改變對(duì)和的伸展或收縮作用剛好相反，因此小波分析的時(shí)—頻窗口大小可以自適應(yīng)變化！

2.5小波時(shí)—頻窗的自適應(yīng)變化2.6小波分析的優(yōu)越性

Fourier變換：時(shí)間到頻率的域變換，沒有時(shí)頻局化功能，可離散正交化，有快速算法FFT。窗口Fourier變換：時(shí)窗固定的Fourier變換，有時(shí)頻局域化功能，但性能不好；不能離散正交化。小波變換：時(shí)窗-頻窗可自適應(yīng)變化的雙窗口變換，時(shí)頻局域化能力強(qiáng)；有離散正交化（或雙正交）有快速算法FWT。

變窗口、平移和正交性是分析信號(hào)的重要條件！2.7三種分析方法的一個(gè)比喻

我們可以把要分析的全體信號(hào)看成為一個(gè)信息大廈，而把三種分析方法所用核函數(shù)看作為建造這些大廈的用磚，則有如下的一個(gè)比喻：傅立葉分析：核函數(shù)是正弦波，這是一塊很長很長的預(yù)制塊（理論上無限長），品種、規(guī)格均單一，只能用來建造類似長城這樣的簡單建筑，即不具備局域化能力，只能分析平穩(wěn)信號(hào)。窗口傅立葉分析：核函數(shù)是高斯窗包絡(luò)下縮短了的正弦波，它把傅立葉變換中的長大形預(yù)制塊截短成長方形的磚頭，品種仍然單一，規(guī)格增加了，但在使用時(shí)只能用一個(gè)規(guī)格，可以建造不同大小的方形大廈。即初步具備局域化能力，可以分析變化不太劇烈的非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。小波分析：核函數(shù)是小波基，它能靈活伸縮變化，這是形狀各一、大小不同，可按需求定制的形形色色的磚頭，可謂種類、規(guī)格繁多，能建筑各種風(fēng)格的大廈。即具有極其靈活的局域化能力，可以分析各種平穩(wěn)信號(hào)及非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。

小波變換3.1幾點(diǎn)解釋（2）支撐區(qū)：

支撐區(qū)是函數(shù)或信號(hào)自變量的定義域，它是一個(gè)閉集，在這個(gè)集上信號(hào)或過程是非零的，在支撐區(qū)之外信號(hào)或過程迅速下降為零。（1）小波的涵義：從物理意義上，小波函數(shù)是指一類迅速衰減、均值為零的波；從數(shù)學(xué)意義上又稱為子波，因?yàn)樾〔ㄗ迨且粋€(gè)稱為母小波函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移而產(chǎn)生的，它們具有自相似的特征。（3）幾個(gè)約定：小波分析所涉及的函數(shù)空間是；小波函數(shù)在時(shí)域記為：，在頻域記為：；尺度函數(shù)在時(shí)域記為：，在頻域記為：。3.2連續(xù)小波變換對(duì)于任意函數(shù)或信號(hào)，其小波變換為：其逆變換為：3.3二進(jìn)小波如果小波函數(shù)滿足穩(wěn)定性條件：則對(duì)于任意j，稱為二進(jìn)小波：A/B愈接近于1，穩(wěn)定性越強(qiáng)，當(dāng)A=B時(shí)最穩(wěn)定。與連續(xù)小波比不會(huì)損失基本信息，由于其正交性消除空間冗余信息，變換結(jié)果更能反映信號(hào)本身的性質(zhì)。3.4二進(jìn)小波變換（DyadicWaveletTransform）

為了簡化數(shù)值計(jì)算，尺度沿著二進(jìn)序列被采樣，這樣就有了下面的二進(jìn)小波變換。對(duì)于任意的函數(shù)，其二進(jìn)小波變換為：其逆變換為：當(dāng)A=B時(shí)：當(dāng)AB時(shí)：3.5多分辨分析（MultiresolutionAnalysis）

上的一列閉線性子空間和函數(shù)共同稱為多分辨分析，如果它們滿足如下要求：（1）單調(diào)性：（4）伸縮性：（5）構(gòu)造性：（3）稠密性：（2）唯一性：生成的標(biāo)準(zhǔn)正交基。其中函數(shù)稱為尺度函數(shù)(ScaleFunction)。3.6小波的Mallat統(tǒng)一構(gòu)造方法3.6.1尺度方程：

如果和函數(shù)是一個(gè)多分辨分析，那么，必然存在一列系數(shù)，使得:

上式稱之為尺度方程。系數(shù)列叫低通濾波系數(shù)。3.6.2小波構(gòu)造：（Y.MeyerandS.Mallat,1988）則有:

令（為高通濾波器系數(shù)），則可構(gòu)造小波函數(shù)如下：3.7尺度函數(shù)的低通濾波器特點(diǎn)Battle—Lemarie三次樣條尺度函數(shù)及傅立葉變換

尺度函數(shù)可看作為低通濾波器，其傅立葉變換的能量主要集中在上。3.8小波函數(shù)的帶通濾波器特點(diǎn)Battle—Lemarie三次樣條小波及其傅立葉變換的模

小波函數(shù)可看作為帶通濾波器，其傅立葉變換的能量主要集中在上。3.9正交小波的快速算法—Mallat算法小波分解：小波重構(gòu)：二進(jìn)正交小波可以看成尺度函數(shù)和小波函數(shù)基組成雙通道正交濾波器組！3.10小波分析應(yīng)用的特性要求

在各種不同的實(shí)際應(yīng)用時(shí)，人們通常希望小波具有以下三條性質(zhì)：(1)對(duì)稱性:

對(duì)稱性即線性相位，對(duì)稱性保證小波的濾波特性有線性相移，不會(huì)造成信號(hào)的失真。從視覺的角度而言，人們對(duì)不對(duì)稱的誤差比對(duì)對(duì)稱性的誤差更為敏感。(2)正交性:

正交性能更好地去除信號(hào)的相關(guān)性，在提高圖像的壓縮比和復(fù)原圖像方面應(yīng)用比較多。(3)緊支撐:緊支集保證有優(yōu)良的空間局部性質(zhì)。在實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)橛?jì)算上的需要，也希望獲得有限長濾波器，這就要求小波是緊支撐的。

除Haar小波外，同時(shí)滿足上述三條的二進(jìn)小波是不存在的，二進(jìn)小波的正交性和對(duì)稱性是不相容的。

3.11正交小波的兩個(gè)特例(1)光滑連續(xù)型小波

(Littlewood—PaleyWavelet)

性質(zhì)：沒有消失矩，但它是任意連續(xù)的，且具有任意階導(dǎo)數(shù)；在時(shí)域中正交、非緊支，時(shí)域分辨率差；在頻域中是緊支的，頻率局部化特性較好。Littlewood—Paley小波的時(shí)域與頻域波形（2）突變離散型—HaarWavelet

性質(zhì)：Haar小波是唯一具有緊支撐、對(duì)稱性的正交小波。但它是不連續(xù)的，且其導(dǎo)數(shù)也不連續(xù)，具有很好的時(shí)間分辨率，但頻率分辨率差。Haar小波的時(shí)域與頻域波形3.12兩種基本類型的二進(jìn)小波

由于小波的正交性與對(duì)稱性是矛盾的，所以在構(gòu)造小波基時(shí)，必須在二者之間做出取舍。

(1)緊支撐正交小波:

舍棄對(duì)稱性就形成了緊支撐正交小波，其典型代表是小波(DebauchiesWavelet)；

(2)雙正交小波:

放松正交性的要求，就得到雙正交小波，主要有雙正交樣條小波（BiorthogonalWavelet)。3.13常用小波及主要性能DB2小波Daubechies致力于尋求緊支撐且具有某種光滑性的小波，她基于離散時(shí)間濾波器組,間接構(gòu)造出小波基,Daubechies小波看起來是Haar小波的光滑版。

性質(zhì)：沒有顯式表達(dá)式，具有緊支性、規(guī)范正交性等特點(diǎn)；除DB1（即Haar基）外其它函數(shù)均不對(duì)稱，也即沒有線性相位，光滑性較差。（1）Daubechies小波（2）Biorthogonal小波

構(gòu)造兩組小波（小波自身并不要求正交）形成雙正交，進(jìn)行信號(hào)的分解與重構(gòu)。在犧牲正交的條件下，獲取了精確的緊支性和對(duì)稱性，有利于圖象處理；分解和重構(gòu)采用不同長度的小波濾波器，使得分解小波系數(shù)少，有較高的消失矩，對(duì)數(shù)據(jù)有較高的壓縮能量；而重構(gòu)對(duì)偶小波系數(shù)多，有較好的正則性，對(duì)數(shù)據(jù)重構(gòu)的精確度較高。Biorthogonal小波性質(zhì)：

緊支撐、雙正交（非正交）樣條小波是對(duì)稱的，可以由有限長濾波器（FIR）精確重構(gòu)。在正交情況下，除Haar小波外，這是不可能實(shí)現(xiàn)的。（3）MexicoHat小波（亦稱Bubble小波）它是Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，即：MexicoHat小波性質(zhì)：連續(xù)、對(duì)稱、具有指數(shù)衰減和一階、零階消失矩；非正交（非雙正交）、非緊支；可用于圖象邊緣提取、視覺分析和基音檢測(cè)等。（4）幾種小波的性能對(duì)比3.14M帶小波算法

二進(jìn)小波變換不適于分析窄帶寬的高頻信號(hào)，并且二進(jìn)正交小波的正交性和線性相位特征是不相容的（HAAR小波除外），而這一點(diǎn)對(duì)于圖像處理來說卻是十分重要的。所以有必要把二進(jìn)小波變換推廣到M通道小波變換。在多通道(M>2)濾波器設(shè)計(jì)中，可同時(shí)實(shí)現(xiàn)正交性和線性相位。M帶小波是由1個(gè)尺度函數(shù)和（M-1）個(gè)小波組成的M通道濾波器組，它相對(duì)于二進(jìn)小波有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

能量更集中；對(duì)高頻有更細(xì)的頻帶劃分；

M帶正交小波的緊支性和線性相位是相容的。4.小波分析應(yīng)用小波變換在時(shí)頻平面上，同時(shí)具有很好的時(shí)間和頻率分辨能力，能夠分辨多尺度特征信號(hào)的細(xì)節(jié)部分。小波降噪：信號(hào)和噪聲由于具有不同的奇異性，它們的小波變換系數(shù)的傳播特性是不同的，據(jù)此可以消除噪聲，具體有硬閾值和軟閾值法；邊緣檢測(cè)：利用二維小波的模極大（雙正交樣條小波）和零交叉（Bubble小波）可以提取圖象的邊緣特征信息，小波函數(shù)的對(duì)稱性（線性相位）和緊支撐是這類研究所必須的；數(shù)據(jù)壓縮：利用小波變換的正交性可有效去除圖像中的冗余信息，可以進(jìn)行圖像數(shù)據(jù)的壓縮。下面以將介紹我們近幾年在小波應(yīng)用方面所做的一些工作：焊接電弧小波分析儀簡介

MAG焊焊縫跟蹤研究4.1小波分析應(yīng)用入門

閱讀幾本經(jīng)典的書籍及著名的論文，見所附的參考文獻(xiàn)，對(duì)小波分析的基本理論脈絡(luò)有較清晰的認(rèn)識(shí)；小波基已由國際上著名的數(shù)學(xué)家構(gòu)造出來，常用小波及尺度函數(shù)的濾波器系數(shù)可由MATLAB的小波工具箱獲得；小波在降噪、邊緣檢測(cè)及數(shù)據(jù)壓縮等方面的算法也可通過MATLAB小波工具箱給出仿真結(jié)果；小波分解與重構(gòu)等基本算法的C語言程序可從公開出版的書籍及網(wǎng)上共享資源中獲得。4.2小波降噪—焊接電弧小波分析儀參見“焊接電弧動(dòng)態(tài)小波分析儀”部分4.3小波圖象處理—MAG焊焊縫跟蹤研究參見“基于小波變換的MAG焊圖像處理及焊縫跟蹤研究”部分5.主要參考文獻(xiàn)1.楊福生.小波變換的工程分析與應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，1999.2.I.Daubechies,TenLecturesonWavelets,SIAM,1992.3.S.Mallat,AwaveletTourofSignalprocessing,AcadenicPressLimited,19974.崔錦泰著，程正興譯，小波分析導(dǎo)論，西安交通大學(xué)出版，1995。5.G.Strang,T.Q.Naguyen,