數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖基礎(chǔ)梳理1.多面體(1)有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.(2)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.(3)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面截棱錐,底面和截面之間的這部分多面體叫做棱臺(tái)..2

旋轉(zhuǎn)(1)以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.(2)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體體叫做圓錐.(3)以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡(jiǎn)稱(chēng)球.3.三視圖和直觀圖(1)三視圖是從一個(gè)幾何體的正前方、正左方、正上方三個(gè)不同的方向看這個(gè)幾何體,描繪出的圖形,分別稱(chēng)為正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.(2)三視圖的排列順序:先畫(huà)正視圖,俯視圖放在正視圖的下方,側(cè)視圖放在正視圖的右方.(3)三視圖的三大原則:長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等.(4)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法：①在已知圖形中,取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,畫(huà)直觀圖時(shí),把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸,兩軸相交于O′,且使∠x(chóng)′O′y′=45°(或135°),用它們確定的平面表示水平面.②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中,分別畫(huà)成平行于x′軸或y′軸的線段.③已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段,在直觀圖中長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.典例分析題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】根據(jù)下列對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述,說(shuō)出幾何體的名稱(chēng).(1)由八個(gè)面圍成,其中兩個(gè)面是互相平行且全等的正六邊形,其他各面都是矩形;(2)一個(gè)等腰梯形繞著兩底邊中點(diǎn)的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180°形成的封閉曲面所圍成的圖形;(3)一個(gè)直角梯形繞較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體.分析要判斷幾何體的類(lèi)型,從各類(lèi)幾何體的結(jié)構(gòu)特征入手，以柱、錐、臺(tái)的定義為依據(jù)，把復(fù)雜的幾何體分割成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體.解

(1)如圖1所示,該幾何體滿足有兩個(gè)面平行,其余六個(gè)面都是矩形,可使每相鄰兩個(gè)面的公共邊都互相平行,故該幾何體是正六棱柱.(2)如圖2所示,等腰梯形兩底邊中點(diǎn)的連線將梯形平分為兩個(gè)直角梯形,每個(gè)直角梯形旋轉(zhuǎn)180°形成半個(gè)圓臺(tái),故該幾何體為圓臺(tái).(3)如圖3所示,由梯形ABCD的頂點(diǎn)A引AO⊥CD于O點(diǎn),將直角梯形分為一個(gè)直角三角形AOD和矩形AOCB,繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)組合體,該組合體由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成.圖1圖2圖3學(xué)后反思對(duì)于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問(wèn)題,要對(duì)原平面圖形作適當(dāng)?shù)姆指?再根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.舉一反三.1

觀察如圖幾何體,分析它們是由哪些基本幾何體組成的,并說(shuō)出主要結(jié)構(gòu)特征.解析

(1)是一個(gè)四棱柱和一個(gè)四棱錐組成的,它有9個(gè)面,9個(gè)頂點(diǎn),16條棱.(2)是由一個(gè)四棱臺(tái)、一個(gè)四棱柱和一個(gè)球組成的,其主要結(jié)構(gòu)特征就是相應(yīng)四棱臺(tái)、四棱柱和球的結(jié)構(gòu)特征.題型二柱、錐、臺(tái)中的計(jì)算問(wèn)題【例2】正四棱臺(tái)的高是17cm,兩底面邊長(zhǎng)分別是4cm和16cm,求棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.分析求棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高的關(guān)鍵是找到相關(guān)的直角梯形,然后構(gòu)造直角三角形,解決問(wèn)題.解如圖所示,設(shè)棱臺(tái)的兩底面的中心分別是、O,和BC的中點(diǎn)分別是和E,連接、、、OB、、OE,則四邊形和都是直角梯形.∵=4cm,AB=16cm,∴=2cm,OE=8cm,=2cm,OB=8cm,∴=19cm,∴棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm,斜高為cm.學(xué)后反思（1）把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解是解決立體幾何問(wèn)題的常用方法.（2）找出相關(guān)的直角梯形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，正棱臺(tái)中許多元素都可以在直角梯形中求出.舉一反三2.（2009·上海）若等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積是_____.解析如圖，等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐.V=S·h=π·h=π××2=.答案

題型三三視圖與直觀圖【例3】螺栓是由棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體,如下圖,畫(huà)出它的三視圖.分析螺栓是棱柱、圓柱組合而成的，按照畫(huà)三視圖的三大原則“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”畫(huà)出.解該物體是由一個(gè)正六棱柱和一個(gè)圓柱組合而成的,正視圖反映正六棱柱的三個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面,側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面,俯視圖反映該物體投影后是一個(gè)正六邊形和一個(gè)圓(中心重合).它的三視圖如下圖:學(xué)后反思在繪制三視圖時(shí),若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出.例如上圖中,表示上面圓柱與下面棱柱的分界線是正視圖中的線段AB、側(cè)視圖中的線段CD以及俯視圖中的圓.舉一反三3.(2008·廣東)將正三棱柱截去三個(gè)角(如圖1所示,A、B、C分別是△GHI三邊的中點(diǎn))得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖為()解析由正三棱柱的性質(zhì)得,側(cè)面AED⊥底面EFD,則側(cè)視圖必為直角梯形,且線段BE在梯形內(nèi)部.答案

A題型四幾何體的直觀圖【例4】(12分)用斜二測(cè)法畫(huà)出水平放置的等腰梯形的直觀圖.分析畫(huà)水平放置的直觀圖應(yīng)遵循以下原則:(1)坐標(biāo)系中∠x(chóng)′O′y′=45°;(2)橫線相等,即A′B′=AB,C′D′=CD;(3)豎線是原來(lái)的,即O′E′=OE.畫(huà)法

(1)如圖1,取AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,…………..3′畫(huà)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′,使∠x(chóng)′O′y′=45°……….5′(2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′=AB,在y′軸上取O′E′=OE,以E′為中點(diǎn)畫(huà)C′D′∥x′軸,并使C′D′=CD……………10′(3)連接B′C′、D′A′,所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖,如圖2……………..12′

圖1圖2學(xué)后反思在原圖形中要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，一般取圖形中的某一橫線為x軸，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，或取兩垂直的直線為坐標(biāo)軸，原點(diǎn)可建在圖形的某一頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)中心、中點(diǎn)等.坐標(biāo)系建得不同，但畫(huà)法規(guī)則不變，關(guān)鍵是畫(huà)出平面圖形中相對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn).舉一反三4.如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′=6cm，O′C′=2cm，則原圖形是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四邊形解析∵在直觀圖中，平行于x軸的邊的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的邊的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的，∴原圖中，OA=6cm,OD=4cm，∴OC=6cm,BC=AB=6cm，∴原圖形為菱形.答案

C易錯(cuò)警示【例】畫(huà)出如圖1所示零件的三視圖.錯(cuò)解圖1的零件可看做是一個(gè)半圓柱、一個(gè)柱體、一個(gè)圓柱的組合,其三視圖如圖2.

圖1圖2錯(cuò)解分析錯(cuò)誤原因是圖中各視圖都沒(méi)有畫(huà)出中間的柱體和圓柱的交線，畫(huà)圖時(shí)應(yīng)畫(huà)出其交線.正解考點(diǎn)演練10.（2010·濰坊模擬）如圖，已知正四棱臺(tái)ABCD-的上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，高為1，則線段的長(zhǎng)是_____.解析連接上底面對(duì)角線的中點(diǎn)和下底面BD的中點(diǎn)O，得棱臺(tái)的高，過(guò)點(diǎn)作的平行線交BD于點(diǎn)E，連接CE.在△BCE中，由BC=2，BE=,∠CBE=45°，利用余弦定理可得CE=，故在Rt△中易得答案

11.圓臺(tái)的兩底面半徑分別為5cm和10cm,高為8cm,有一個(gè)過(guò)圓臺(tái)兩母線的截面,且上、下底面中心到截面與兩底面交線的距離分別為3cm和6cm,求截面面積.解析如圖所示截面ABCD,取AB中點(diǎn)F,CD中點(diǎn)E,連接OF,，EF,,OA,則為直角梯形,ABCD為等腰梯形,EF為梯形ABCD的高,在直角梯形中,

（cm），在Rt△中，∴（cm）,同理,（cm）,12.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍,軸截面的面積等于392,母線與軸的夾角是45°,求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)和兩底面半徑.解析圓臺(tái)的軸截面如圖所示,設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為xcm,3xcm.延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于S,在Rt△SOA中,∠ASO=45°,則∠SAO=45°,∴SO=AO=3x,=x，∴=2x,又,∴x=7.故圓臺(tái)的高=14cm,母線長(zhǎng)==14cm,兩底面半徑分別為7cm,21cm.第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)梳理1.柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和；表面積是各個(gè)面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和.2.把柱體、錐體、臺(tái)體的面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形,稱(chēng)為它的展開(kāi)圖,它的表面積就是展開(kāi)圖的面積.3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積及表面積4.柱、錐、臺(tái)體的體積這是柱體、錐體、臺(tái)體統(tǒng)一計(jì)算公式,特別地，圓柱、圓錐、圓臺(tái)還可以分別寫(xiě)成:

5.球的體積及球的表面積設(shè)球的半徑為R,典例分析題型一幾何體的表面積問(wèn)題【例1】已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為30cm和20cm,且其側(cè)面積等于兩底面面積之和,求棱臺(tái)的高.分析要求正棱臺(tái)的高，首先要畫(huà)出正棱臺(tái)的高，使其包含在某一個(gè)特征直角梯形中，轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，由已知條件列出方程，求解所需的幾何元素.解如圖所示,正三棱臺(tái)ABC-中,O、分別為兩底面中心,D、分別為BC和中點(diǎn),則為棱臺(tái)的斜高.設(shè)=20,AB=30,則OD=5,=,由,得∴在直角梯形中,∴棱臺(tái)的高為4cm.學(xué)后反思

(1)求解有關(guān)多面體表面積的問(wèn)題,關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形,解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開(kāi)圖.（2）借助于平面幾何知識(shí),利用已知條件求得所需幾何要素.舉一反三1.圓臺(tái)側(cè)面的母線長(zhǎng)為2a,母線與軸的夾角為30°,一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍.求兩底面的半徑與兩底面面積之和.解析如圖,設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,∠ASO=30°,在Rt△SO′A′中,=sin30°,∴SA′=2r.在Rt△SOA中,=sin30°,∴SA=4r.∴SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a,r=a.∴∴圓臺(tái)上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為.題型二幾何體的體積問(wèn)題【例2】已知四棱臺(tái)兩底面均為正方形，邊長(zhǎng)分別為4cm，8cm，側(cè)棱長(zhǎng)為8cm，求它的側(cè)面積和體積.分析由題意知,需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺(tái)的高,然后利用平面圖形面積公式和臺(tái)體體積公式求得結(jié)論.解如圖,設(shè)四棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于點(diǎn)P,則△PBC為等腰三角形,取BC中點(diǎn)E,連接PE交于點(diǎn),則PE⊥BC,E為側(cè)面等腰梯形的高,作PO⊥底面ABCD交上底面于點(diǎn),連接、OE.在△P和△PBC中,∴,為PB的中點(diǎn),為PE的中點(diǎn).在Rt△PEB中,在Rt△POE中,學(xué)后反思（1）求棱臺(tái)的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺(tái)中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它們是架起“求積”關(guān)系式中的未知量與滿足題設(shè)條件中幾何圖形元素間關(guān)系的“橋梁”.（2）平行于棱臺(tái)底面的截面分棱臺(tái)的側(cè)面積與體積比的問(wèn)題，通常是“還臺(tái)為錐”，而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解.“還臺(tái)為錐”借助于軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，求出相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行計(jì)算.“還臺(tái)為錐”是解決棱臺(tái)問(wèn)題的重要方法和手段.舉一反三2.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且△ADE、△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為

.解析如圖,分別過(guò)A、B作EF的垂線,垂足分別為G、H,連接DG、CH,易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,答案

題型三組合體的體積和表面積問(wèn)題【例3】(12分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點(diǎn),將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱錐的外接球的體積.分析易知折疊成的幾何體為棱長(zhǎng)為1的正四面體,欲求外接球的體積，求其外接球半徑即可.解由已知條件知,在平面圖形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1……………….1′所以折疊后得到一個(gè)正四面體.方法一:如圖，作AF⊥面DEC,垂足為F,F即為△DEC的中心…………3′取EC中點(diǎn)G,連接DG、AG,過(guò)外接球球心O作OH⊥面AEC,則垂足H為△AEC的中心…….5′∴外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.∵AG=,∴AH=AG=，∴AF=,…………7′在△AFG和△AHO中,根據(jù)三角形相似可知,

…………...10′∴外接球體積為…………….12′方法二:如圖,把正四面體放在正方體中.顯然,正四面體的外接球就是正方體的外接球…………..4′∵正四面體棱長(zhǎng)為1,∴正方體棱長(zhǎng)為,………….6′∴外接球直徑2R=,…10′∴R=,∴體積為………………12′學(xué)后反思

(1)折疊問(wèn)題是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容之一,解決這類(lèi)問(wèn)題要注意對(duì)翻折前后線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較.一般來(lái)說(shuō)，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素其相對(duì)位置的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個(gè)半平面內(nèi)的元素其相對(duì)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系則發(fā)生變化;不變量可結(jié)合原圖形求證，變化量應(yīng)在折后立體圖形中求證.對(duì)某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計(jì)算，即將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.（2）由方法二可知，有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的組合體，經(jīng)常是把正方體、長(zhǎng)方體、球作為載體，去求某些量.解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要把這些載體圖形的形狀、特點(diǎn)及性質(zhì)掌握熟練，把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使運(yùn)算和推理變得更簡(jiǎn)單，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中一個(gè)非常重要的思想方法.舉一反三3.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為a.求它的外接球的體積.解析設(shè)外接球的半徑為R,球心為O,則OA=OC=OS,所以O(shè)為△SAC的外心,即△SAC的外接圓半徑就是外接球的半徑,∵AB=BC=a,∴AC=a,∵SA=SC=AC=a,∴△SAC為正三角形.由正弦定理,得易錯(cuò)警示涉及組合體問(wèn)題，關(guān)鍵是正確地作出截面圖形，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題進(jìn)行解決，解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往因不能正確地作出截面圖形而導(dǎo)致錯(cuò)誤.【例】已知球的內(nèi)接正方體的體積為V，求球的表面積.錯(cuò)解分析過(guò)球內(nèi)接正方體的一個(gè)對(duì)角面作球的大圓截面，得到一個(gè)矩形，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為x，不是x.錯(cuò)解如圖所示，作圓的內(nèi)接正方形表示正方體的截面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，球半徑為R，則有

=V,x=2R，解得正解如圖所示，過(guò)正方體的對(duì)角面作球的大圓截面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，球半徑為R,則有

=V,x=2R，解得考點(diǎn)演練10.（2009·遼寧）設(shè)某幾何體的三視圖如下（長(zhǎng)度單位為m）：求該幾何體的體積.解析三視圖所對(duì)應(yīng)的立體圖形如圖所示.由題意可得平面PAC⊥平面ABC，V=×4×3×2=4().11.如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱=8.若側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好過(guò)AC、BC、、的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為多少？解析當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，底面ABFE為梯形，設(shè)△ABC的面積為S，則

當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，則有=Sh，∴6S=Sh,∴h=6.故當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為6.12.（2009·廣東改編）某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖1所示.墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH,下半部分是長(zhǎng)方體ABCD-EFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識(shí)墩的正視圖和俯視圖.（1）請(qǐng)畫(huà)出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)視圖；（2）求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積.

圖1圖2圖3解析（1）側(cè)視圖同正視圖，如圖2所示.（2）該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)梳理1.平面的基本性質(zhì)名稱(chēng)

圖形

文字語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言公理1如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

公理2經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面

A、B、C不共線A、B、C∈平面α且α是唯一的公理3如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線

若P∈α,P∈β,則α∩β=a,且P∈a公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行若a∥b,b∥c,則a∥c公理2的推論推論1經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面若點(diǎn)A直線a,則A和a確定一個(gè)平面α推論2兩條相交直線確定一個(gè)平面a∩b=P有且只有一個(gè)平面α,使aα,bα推論3兩條平行直線確定一個(gè)平面a∥b有且只有一個(gè)平面α,使aα,bα2.空間直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系相交共面①共面與否平行異面一個(gè)公共點(diǎn):相交②公共點(diǎn)個(gè)數(shù)平行無(wú)公共點(diǎn)異面(2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行.(3)定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).（4）異面直線的夾角①定義：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b，我們把兩相交直線a′、b′所成的角叫做異面直線a、b所成的角（或夾角）.②范圍：θ∈（0,].特別地，如果兩異面直線所成的角是，我們就稱(chēng)這兩條直線垂直，記作a⊥b.3.空間中的直線與平面的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線在平面外直線與平面平行——無(wú)公共點(diǎn)4.平面與平面的位置關(guān)系平行——無(wú)公共點(diǎn)相交——有且只有一條公共直線典例分析題型一點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【例1】下列命題:①空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面;②有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合;③空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面;④三角形是平面圖形;⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形;⑥垂直于同一直線的兩直線平行;⑦一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交;⑧兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.其中正確的命題是_______.分析根據(jù)公理及推論作判斷.解由公理2知,不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面,所以命題①、②均錯(cuò),②中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當(dāng)這三個(gè)公共點(diǎn)共線時(shí));③空間兩兩相交的三條直線有三個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn),若為三個(gè)交點(diǎn),則這三線共面,若只有一個(gè)交點(diǎn),則可能確定一個(gè)平面或三個(gè)平面;④正確;⑤中平行四邊形及梯形由公理2的推論及公理1可得必為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊形;如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,直線BB′⊥AB,BB′⊥BC,但AB與BC不平行,所以⑥錯(cuò);AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′與CD不相交,所以⑦錯(cuò);四邊形AD′B′C中,AD′=D′B′=B′C=CA,但它不是平行四邊形,所以⑧也錯(cuò).學(xué)后反思平面性質(zhì)的三個(gè)公理及其推論是論證線面關(guān)系的依據(jù),在判斷過(guò)程中要注意反例和圖形的應(yīng)用.舉一反三1.給出下列命題：①如果平面α與平面β相交,那么它們只有有限個(gè)公共點(diǎn);②經(jīng)過(guò)空間任意三點(diǎn)的平面有且只有一個(gè);③如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合為一個(gè)平面;④不平行的兩直線必相交.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____.解析由公理3知，①錯(cuò);由公理2知，②錯(cuò);③對(duì);不平行的兩直線可能異面，故④錯(cuò).答案③題型二證明三點(diǎn)共線【例2】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面α內(nèi),它的三邊AB、BC、AC延長(zhǎng)后分別交平面α于點(diǎn)P、Q、R.求證:P、Q、R三點(diǎn)在同一條直線上.分析要證明P、Q、R三點(diǎn)共線,只需證明這三點(diǎn)都在△ABC所在的平面和平面α的交線上即可.證明由已知條件易知,平面α與平面ABC相交.設(shè)交線為,即=α∩面ABC.∵P∈AB,∴P∈面ABC.又P∈AB∩α,∴P∈α,即P為平面α與面ABC的公共點(diǎn),∴P∈.同理可證,點(diǎn)R和Q也在交線上.故P、Q、R三點(diǎn)共線于.學(xué)后反思證明多點(diǎn)共線的方法是：以公理3為依據(jù)，先找出兩個(gè)平面的交線，再證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)面的公共點(diǎn)，即在交線上，則多點(diǎn)共線.或者，先證明過(guò)其中兩點(diǎn)的直線是這兩個(gè)平面的交線，然后證明第三個(gè)點(diǎn)也在交線上.同理，其他的點(diǎn)都在交線上，即多點(diǎn)共線.舉一反三2.如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接,且連接點(diǎn)不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點(diǎn),且直線EF和GH交于點(diǎn)P,如圖所示.求證:點(diǎn)B、D、P在同一條直線上.證明由于直線EF和GH交于點(diǎn)P,∴P∈EF,又∵EF平面ABD,∴P∈平面ABD.同理,P∈平面CBD.∴P在平面ABD與平面CBD的交線BD上,即B、D、P三點(diǎn)在同一條直線上.題型三證明點(diǎn)線共面【例3】求證:兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).分析由題知，四條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，故有兩種情況：一種是三條交于一點(diǎn)，另一種是任何三條都不共點(diǎn)，故分兩種情況證明.要證明四線共面，先根據(jù)公理2的推論證兩條直線共面，然后再證第三條直線在這個(gè)平面內(nèi)，同理第四條直線也在這個(gè)平面內(nèi)，故四線共面.證明

(1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于點(diǎn)O,直線d和a,b,c分別相交于A,B,C三點(diǎn),直線d和點(diǎn)O確定平面α,由O∈平面α,A∈平面α,O∈直線a,A∈直線a,知直線a平面α.同理b平面α,c平面α,故直線a,b,c,d共面于α.(2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點(diǎn),交點(diǎn)分別是M,N,P,Q,R,G,由直線a∩b=M,知直線a和b確定平面α.由a∩c=N,b∩c=Q,知點(diǎn)N、Q都在平面α內(nèi),故cα.同理可證dα,故直線a,b,c,d共面于α.由(1)、(2)可知,兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).學(xué)后反思證多線共面的方法：（1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也在這個(gè)平面內(nèi).同理其他直線都在這個(gè)平面內(nèi).（2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證明這些平面重合.舉一反三3.在正方體ABCD-中,E是AB的中點(diǎn),F是的中點(diǎn).求證:E、F、、C四點(diǎn)共面.證明如圖，連接,EF,.∵E是AB的中點(diǎn),F是的中點(diǎn),∴EF∥.∵∥,∴EF∥.故E、F、、C四點(diǎn)共面.題型四異面直線及其所成角的問(wèn)題【例4】(2008·全國(guó)Ⅱ)已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE、SD所成的角的余弦值為（）A.B.C.D.分析通過(guò)作平行線找到AE與SD所成的角，再利用三角形求解.解如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接OE.因?yàn)镺E∥SD，所以∠AEO為所求.設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都等于2，則在△AEO中，OE=1，AO=，AE=，于是cos∠AEO=.故選C.學(xué)后反思求異面直線所成的角的方法：（1）根據(jù)平行線定義，作出異面直線所成的角.（2）證明作出的角是異面直線所成的角.（3）在三角形內(nèi)求得直線所成角的某個(gè)三角函數(shù)值.舉一反三4.在四面體A-BCD中，AB=CD，且其所成的角是60°，點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn).求直線AB與MN所成的角的大小.解析如圖，取BD中點(diǎn)E，連接NE，EM，則ENAB,EMCD,故△EMN為等腰三角形，由條件∠MEN=60°，∴△EMN為等邊三角形，且∠ENM即為AB與MN所成的角，∴∠ENM=60°.題型五證明三線共點(diǎn)【例5】(12分)已知四面體A-BCD中,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),G、H分別是BC、CD上的點(diǎn),且.求證:直線EG、FH、AC相交于同一點(diǎn)P.分析先證E、F、G、H四點(diǎn)共面，再證EG、FH交于一點(diǎn)，然后證明這一點(diǎn)在AC上.證明∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),∴EF∥BD且EF=BD….2′又∵,∴GH∥BD且GH=BD,∴EF∥GH且EF>GH,……4′∴四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交,設(shè)兩腰EG、FH的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)P,……………..6′∵EG平面ABC,FH平面ACD,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD…………..8′又∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,…………10′故直線EG、FH、AC相交于同一點(diǎn)P………………12′學(xué)后反思證明三線共點(diǎn)的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點(diǎn)，然后證明第三條直線是經(jīng)過(guò)這兩條直線的兩個(gè)平面的交線；由公理3可知，兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上，即三條直線交于一點(diǎn).舉一反三5.如圖所示,已知空間四邊形ABCD,點(diǎn)E,F,G,H,M,N分別是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中點(diǎn).求證:三線段EG,FH,MN交于一點(diǎn),且被該點(diǎn)平分.證明如圖所示,連接EF,FG,GH,HE,MF,FN,NH,MH.∵E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),∴EF∥GH,EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.設(shè)EG∩FH=O,則O平分EG,FH.同理,四邊形MFNH是平行四邊形.設(shè)MN∩FH=O′,則O′平分MN,FH.∵點(diǎn)O,O′都平分線段FH,∴O與O′兩點(diǎn)重合，∴MN過(guò)EG和FH的交點(diǎn),即三線段共點(diǎn)且被該點(diǎn)平分.易錯(cuò)警示【例】過(guò)已知直線a外一點(diǎn)P,與直線a上的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D分別畫(huà)四條直線.求證:這四條直線在同一平面內(nèi).錯(cuò)解∵P、A、B三點(diǎn)不共線,∴P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面.∵A、B、C、D均在直線a上,∴PA、PB、PC、PD四條直線在同一平面內(nèi).錯(cuò)解分析錯(cuò)解在證明了四條直線分別在三個(gè)平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)內(nèi)后,通過(guò)A、B、C、D均在a上,而認(rèn)為三個(gè)平面重合在同一個(gè)平面內(nèi),這種方法是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤在于沒(méi)有根據(jù)地用一條直線來(lái)保證三個(gè)平面重合.正解過(guò)直線a及點(diǎn)P作一平面α,∵A、B、C、D均在a上,∴A、B、C、D均在α內(nèi).∵直線PA、PB、PC、PD上各有兩點(diǎn)在α內(nèi),∴由公理1可知,直線PA、PB、PC、PD均在平面α內(nèi),即四直線共面.考點(diǎn)連接10.已知a、b為異面直線，則①經(jīng)過(guò)直線a,存在唯一平面α，使b∥α；②經(jīng)過(guò)直線a，若存在平面α使b⊥a,則α唯一；③經(jīng)過(guò)直線a、b外任意一點(diǎn)，存在平面α，使a∥α且b∥α.上述命題中，真命題是________.（寫(xiě)出真命題的序號(hào)）解析①平移b到b′，使b′、a交于點(diǎn)O，則a與b′確定平面為α，b∥α，α唯一，故①正確.②a、b為異面直線，故無(wú)法確定a是否垂直于b.③如圖，a平移到a′，b平移到b′，a′、b′交于點(diǎn)O，則a′、b′確定的平面α唯一.答案①③11.（2010·濱州質(zhì)檢）已知正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為a，求異面直線和所成的角.解析如圖所示，連接,

∴異面直線和所成角為90°.12.已知直線a∥b∥c,直線∩a=A,∩b=B,∩c=C.求證:a、b、c、共面.證明如圖，∵a∥b,∴a、b可以確定一個(gè)平面α.又∵∩a=A,∩b=B,∴A∈a,B∈b,A∈α,B∈α,ABα;又A∈,B∈,∴α.另一方面,∵b∥c,∴b、c可以確定一個(gè)平面β.同理可證,β.∵平面α、β均經(jīng)過(guò)直線b、,且b和是兩條相交直線,它們確定的平面是唯一的,∴平面α與β是同一個(gè)平面,∴a、b、c、共面.第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1.平行直線(1)定義:同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線.(2)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(3)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線就和兩平面的交線平行.(4)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行.(5)線面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一平面,那么這兩條直線平行.2.直線與平面平行(1)定義:直線a和平面α沒(méi)有公共點(diǎn),叫做直線與平面平行.(2)線面平行的判定定理:如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行.基礎(chǔ)梳理(3)面面平行的性質(zhì):如果兩平面互相平行,那么一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.3.平面與平面平行(1)定義:如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)面面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.(3)判定定理的推論:如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個(gè)平面平行.(4)線面垂直的性質(zhì):如果兩平面垂直于同一直線,則這兩個(gè)平面平行.(5)平行公理:如果兩平面平行于同一平面,則這兩個(gè)平面平行.典例分析題型一線線平行【例1】已知四邊形ABCD是空間四邊形,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證:四邊形EFGH是平行四邊形.分析若證四邊形是平行四邊形,只需證一組對(duì)邊平行且相等或兩組對(duì)邊分別平行即可.證明如圖,連接BD.∵EH是△ABD的中位線,∴EH∥BD,EH=BD.又∵FG是△CBD的中位線,∴FG∥BD,FG=BD.∴FG∥EH,且FG=EH,∴四邊形EFGH是平行四邊形.學(xué)后反思若證明四邊形EFGH是平行四邊形,可有兩條途徑：一是證明兩組對(duì)邊分別平行,二是證明一組對(duì)邊平行且相等.舉一反三1.已知E、分別是正方體ABCD-的棱AD、的中點(diǎn).求證:∠BEC=∠.證明如圖,連接.∵,E分別為,AD的中點(diǎn),∴∴四邊形為平行四邊形，∴四邊形是平行四邊形，∴∥EB.同理∥EC.又∵∠與∠CEB方向相同，∴∠=∠CEB.題型二線面平行【例2】如圖,正方體ABCD-中,側(cè)面對(duì)角線上分別有兩點(diǎn)E,F,且.求證:EF∥平面ABCD.分析要證EF∥平面ABCD,方法有兩種:一是利用線面平行的判定定理,即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線;二是利用面面平行的性質(zhì)定理,即過(guò)EF作與平面ABCD平行的平面.證明方法一:過(guò)E作EM⊥AB于M,過(guò)F作FN⊥BC于N,連接MN(如圖)，則EM∥,FN∥,∴EM∥FN.∵∴AE=BF,∴EM=FN,∴四邊形EMNF是平行四邊形,∴EF∥MN.又∵EF平面ABCD,MN平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.方法二:連接,并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接AP(如圖).∽△PFB,又∵EF平面ABCD,AP平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.方法三:過(guò)點(diǎn)E作EH⊥于點(diǎn)H,連接FH(如圖)，則EH∥AB,∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面ABCD.∵EF平面EFH,∴EF∥平面ABCD.學(xué)后反思判斷或證明線面平行的常用方法有:(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn));(2)利用線面平行的判定定理(aα,bα,a∥ba∥α);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,aαa∥β);(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,aα,aβ,a∥αa∥β).舉一反三2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,E為PC中點(diǎn).求證:PA∥平面EDB.證明如圖，連接AC交BD于O,連接EO.∵四邊形ABCD為正方形,∴O為AC中點(diǎn).∵E為PC中點(diǎn),∴OE為△PAC的中位線,故EO∥PA.又∵EO平面EDB,PA平面EDB,∴PA∥平面EDB.題型三面面平行【例3】如圖,正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為1.求證:平面∥平面分析要證明平面∥平面,根據(jù)面面平行的判定定理或推論，只要證明AC∥平面，∥平面,且AC∩=A即可.證明方法一:

四邊形為平行四邊形方法二:易知和確定一個(gè)平面,于是,學(xué)后反思證明平面與平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推論,將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來(lái)證明.具體方法有:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行;(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.舉一反三3.在正方體ABCD-中,M、N、E、F分別是棱的中點(diǎn).求證:平面AMN∥平面EFDB.證明如圖，連接MF,∵M(jìn)、F分別是的中點(diǎn),且四邊形為正方形,又∴四邊形ADFM為平行四邊形,∴AM∥DF.又∵AM平面EFDB,DF平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.同理可證AN∥平面EFDB.∵AM,AN平面AMN,AM∩AN=A,∴平面AMN∥平面EFDB.題型四平行的探究問(wèn)題【例4】（2009·銀川模擬）如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E為CD的中點(diǎn).(1)求證：CD⊥平面SAE；(2)側(cè)棱SB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面SAE？并證明你的結(jié)論.分析（1）先利用勾股定理和線面垂直判定定理證明直線SA⊥底面ABCD，再證明直線SA⊥CD，證明直線與平面垂直時(shí)，必須證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.（2）先回答問(wèn)題，再證明充分條件.探究的點(diǎn)往往是特殊點(diǎn)（中點(diǎn)）.證明（1）∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AC=AD=2,∴△ACD為正三角形.又E為CD的中點(diǎn)，∴CD⊥AE.∵SA=AB=AD=2,SB=SD=2,則有∴SA⊥AB,SA⊥AD.又∵AB∩AD=A,∴SA⊥底面ABCD,∴SA⊥CD.由CD⊥AE,SA⊥CD,AE∩SA=A,∴CD⊥平面SAE.(2)側(cè)棱SB上存在點(diǎn)F，當(dāng)F為SB的中點(diǎn)時(shí)，使得CF∥平面SAE.證明假設(shè)側(cè)棱SB上存在點(diǎn)F，使得CF∥平面SAE.不妨取SA的中點(diǎn)N，連接EN，過(guò)點(diǎn)N作NF∥AB,交SB于F點(diǎn)，連接CF.則作圖知NFAB,點(diǎn)F為SB的中點(diǎn).又∵CEAB，∴NFCE，∴四邊形CENF為平行四邊形,∴CF∥EN.又∵EN平面SAE，CF平面SAE，∴CF∥平面SAE.即當(dāng)F為側(cè)棱SB的中點(diǎn)時(shí)，CF∥平面SAE.學(xué)后反思定理、定義是做題的依據(jù)，具備了條件，便可得到結(jié)論；條件不足，要通過(guò)題設(shè)和圖形的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)去尋求，增添輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.舉一反三4.長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，點(diǎn)P∈BB′（不與B、B′重合），PA∩BA′=M,PC∩BC′=N,求證：MN∥平面AC.證明如圖，連接A′C′,AC,∵ABCD-A′B′C′D′為長(zhǎng)方體，∴AC∥A′C′.∵AC平面A′C′B,A′C′平面A′C′B,∴AC∥平面A′C′B.又∵平面PAC過(guò)AC與平面A′C′B交于MN，∴MN∥AC.∵M(jìn)N平面AC，AC平面AC，∴MN∥平面AC.題型五平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【例5】(12分)求證:若一條直線分別和兩個(gè)相交平面平行,則這條直線必與它們的交線平行.分析此題可先過(guò)直線作平面分別與已知兩平面相交,由線面平行的性質(zhì)定理及公理4,可證得兩交線平行,從而進(jìn)一步證得一條交線與另一平面平行,進(jìn)而可證得結(jié)論.證明∥α,∥β,α∩β=a.過(guò)作平面γ交α于b,過(guò)作平面δ交β于c,……………………..3′∵∥α,γ,α∩γ=b,∴∥b.(線面平行的性質(zhì)定理)同理∥c……………….5′∴b∥c………………….6′又∵cβ,bβ,∴b∥β.(線面平行的判定定理)……………..8′又∵bα,α∩β=a,∴b∥a.(線面平行的性質(zhì)定理)10′∴∥a.(公理4)…………………..12′學(xué)后反思把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，過(guò)作平面γ和δ與α、β得到兩條交線，利用線面平行的性質(zhì)定理及公理4可證得交線平行，從而進(jìn)一步證明一條交線與另一個(gè)平面平行，進(jìn)而可證得結(jié)論.舉一反三5.如圖所示,在四面體A-BCD中,截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD.試問(wèn):截面在什么位置時(shí),截面的面積最大?解析∵AB∥平面EFGH,平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH,∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH.同理可證,EF∥GH.∴四邊形EFGH是平行四邊形.設(shè)AB=a,CD=b,∠FGH=α(a、b、α均為定值,其中α為異面直線AB與CD所成的角),又設(shè)FG=x,GH=y,由平面幾何知識(shí),得兩式相加,得,即∵x>0,a-x>0,且x+(a-x)=a(定值)，∴當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x,即x=時(shí),故當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點(diǎn)時(shí),截面面積最大.易錯(cuò)警示【例】如圖所示，平面α∥平面β，點(diǎn)A∈α,C∈α，點(diǎn)B∈β，D∈β，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.求證：EF∥β.錯(cuò)解∵α∥β，∴AC∥BD.又AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD.又EFβ，BDβ，∴EF∥β.錯(cuò)解分析上述解法的錯(cuò)誤在于未討論AB與CD是否共面，而直接把AB、CD作為共面處理，忽視異面的情況.本題中對(duì)AB、CD位置關(guān)系的討論具有一定的代表性，可見(jiàn)分類(lèi)討論的思想在立體幾何中也多有體現(xiàn).正解①當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，由α∥β，α∩平面ABDC=AC，β∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD,∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD,又EFβ，BDβ，∴EF∥β.②當(dāng)AB與CD異面時(shí)，如右圖所示，設(shè)平面ACD∩β=DH，且DH=AC.∵α∥β，α∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH,∴四邊形ACDH是平行四邊形.在AH上取一點(diǎn)G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD,EG∥BH，又EG∩GF=G，BH平面β，DH平面β，∴平面EFG∥平面β.∵EF平面EFG，∴EF∥β.綜上，EF∥β.考點(diǎn)演練10.如圖,下列四個(gè)正方體圖形中,A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥面MNP的圖形的序號(hào)是——.(寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào))解析①圖中,∵M(jìn)N∥AD,NP∥AC,∴平面MNP∥平面AB，∴AB∥平面MNP.②圖中,AB不平行于平面MNP(反證法).連接BE,分別交CD、MP于R、Q,若AB∥平面MNP,則AB∥NQ.又由N為AE中點(diǎn),R為BE中點(diǎn)，得AB∥NR.在平面ABE中過(guò)點(diǎn)N有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.③圖中,∵ADBC,∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD.又∵M(jìn)P∥CD,∴AB∥MP，故AB∥平面MNP.④圖中,AB不平行于面MNP(反證法).若AB∥平面MNP,則AB∥DM.又由ADBC,得四邊形ABCD是平行四邊形,故AB∥CD.在平面ABCD中過(guò)點(diǎn)D有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.答案①③11.已知正方體ABCD-A′B′C′D′，求證：平面ACD′∥平面A′BC′.證明∵正方體ABCD-A′B′C′D′中,AD′∥BC′,CD′∥A′B,又∵AD′∩CD′=D′,BC′∩A′B=B,∴平面ACD′∥平面A′BC′.12.（2009·揚(yáng)州模擬）如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.證明連接AC，交OB于O，連接MO.∵OC=OA,CM=MP,∴OM∥AP.∵AP平面DBM，OM平面DBM，∴AP∥平面DMB,∵AP平面APGH，平面APGH∩平面DMB=GH，∴AP∥GH.第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 基礎(chǔ)梳理1.直線與平面垂直(1)定義:如果直線與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線與平面α互相垂直.這條直線叫做平面的垂線,這個(gè)平面叫做直線的垂面,交點(diǎn)叫做垂足.垂線上任意一點(diǎn)到垂足間的線段,叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段,垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到平面的距離.(2)性質(zhì):如果一條直線垂直于一個(gè)平面,那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直.(3)判定定理:如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則這條直線與這個(gè)平面垂直.(4)推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面.(5)性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線平行.2.平面與平面垂直(1)定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就稱(chēng)這兩個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理:如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直.(3)性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.典例分析題型一線線垂直【例1】如圖,α∩β=CD,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,求證:CD⊥AB.分析要證CD⊥AB,只需證CD⊥平面ABE即可.證明∵α∩β=CD,∴CDα,CDβ.又∵EA⊥α,CDα,∴EA⊥CD,同理EB⊥CD.∵EA⊥CD,EB⊥CD,EA∩EB=E,∴CD⊥平面EAB.∵AB平面EAB,∴AB⊥CD.學(xué)后反思證明空間中兩直線互相垂直,通常先觀察兩直線是否共面.若兩直線共面,則一般用平面幾何知識(shí)即可證出,如勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等.若兩直線異面,則轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明.舉一反三1.如圖所示,四邊形ABCD為正方形,SA垂直于四邊形ABCD所在的平面,過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G.求證:AE⊥SB,AG⊥SD.證明∵SA⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴SA⊥BC.又∵BC⊥AB,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.∵AE平面SAB,∴BC⊥AE.∵SC⊥平面AEFG,AE平面AEFG,∴SC⊥AE.又∵BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB.同理可證AG⊥SD.題型二線面垂直【例2】如圖,P為△ABC所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求證:(1)BC⊥平面PAB;(2)AE⊥平面PBC;(3)PC⊥平面AEF.分析要證明線面垂直，只要證明這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.證明

(1)PA⊥平面ABCPA⊥BCAB⊥BCBC⊥平面PAB.PA∩AB=A(2)AE平面PAB,由(1)知AE⊥BCAE⊥PBAE⊥平面PBC.PB∩BC=B(3)PC平面PBC,由(2)知PC⊥AEPC⊥AFPC⊥平面AEF.AE∩AF=A學(xué)后反思本題的證明過(guò)程是很有代表性的,即證明線面垂直,可先證線線垂直,而已知的線線垂直又可以產(chǎn)生有利于題目的線線垂直,在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中,平面在其中起著至關(guān)重要的作用,由于線線垂直是相互的,應(yīng)充分考慮線和線各自所在平面的特征,以順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化.舉一反三2.如圖所示,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),且PA⊥平面ABC,若O、Q分別是△ABC和△PBC的垂心，求證:OQ⊥平面PBC.證明如圖，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E,連接PE.∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC.又∵O是△ABC的垂心,∴BC⊥AE.∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAE,∴BC⊥PE,∴PE必過(guò)Q點(diǎn)，∴OQ平面PAE,∴OQ⊥BC.連接BO并延長(zhǎng)交AC于F.∵PA⊥平面ABC,BF平面ABC,∴PA⊥BF.又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC,∴BF⊥平面PAC.∵PC平面PAC,∴BF⊥PC.連接BQ并延長(zhǎng)交PC于M,連接MF.∵Q為△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,∴PC⊥平面BFM.∵OQ平面BFM,∴OQ⊥PC.∵PC∩BC=C,∴OQ⊥平面PBC.題型三面面垂直【例3】如圖所示,在斜三棱柱-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,側(cè)面⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點(diǎn),求證:AD⊥;(2)過(guò)側(cè)面的對(duì)角線的平面交側(cè)棱于M,若AM=,求證:截面⊥側(cè)面分析（1）要證明AD⊥,只要證明AD垂直于所在的平面即可.顯然由AD⊥BC和面面垂直的性質(zhì)定理即可得證.（2）要證明截面⊥側(cè)面，只要證明截面經(jīng)過(guò)側(cè)面的一條垂線即可.證明

(1)∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥側(cè)面∴AD⊥側(cè)面，∴AD⊥.(2)延長(zhǎng)與BM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接.學(xué)后反思本題中平面ABC⊥平面的應(yīng)用是關(guān)鍵,一般地，有兩個(gè)平面垂直時(shí)要用性質(zhì)定理,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.舉一反三3.如圖，在直三棱柱ABC-中，AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).（1）求證：∥平面；（2）求證：平面⊥平面證明（1）如圖，連接交于E，連接DE，∵為矩形，則E為的中點(diǎn).又∵D是AB的中點(diǎn)，∴在△中，DE∥.又∵DE平面，平面，∴∥平面.（2）∵AC=BC,D為AB的中點(diǎn)，∴在△ABC中，AB⊥CD.又∵⊥平面ABC，CD平面ABC，∴⊥CD.又∩AB=A，∴CD⊥平面.又∵CD平面，∴平面⊥平面題型四垂直問(wèn)題的探究【例4】（12分）在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又側(cè)棱PA⊥底面ABCD.(1)當(dāng)a為何值時(shí),BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論;(2)當(dāng)a=4時(shí),求證:BC邊上存在一點(diǎn)M,使得PM⊥DM;(3)若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M,使PM⊥DM,求a的取值范圍.分析（1）本題第(1)問(wèn)是尋求BD⊥平面PAC的條件,即BD垂直于平面PAC內(nèi)兩相交直線,易知BD⊥PA,問(wèn)題歸結(jié)為a為何值時(shí),BD⊥AC,從而知ABCD為正方形.（2）若PM⊥DM,易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM,由AB=2，a=4知，M為BC的中點(diǎn)時(shí)得兩個(gè)全等的正方形，滿足DM⊥AM.解

(1)當(dāng)a=2時(shí),ABCD為正方形,則BD⊥AC,………2′又∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,∴BD⊥PA,又∵PA∩AC=A,…….3′∴BD⊥平面PAC.故當(dāng)a=2時(shí),BD⊥平面PAC……….4′(2)證明:當(dāng)a=4時(shí),取BC邊的中點(diǎn)M,AD邊的中點(diǎn)N,連接AM、DM、MN……