山東省煙臺市龍口平里中學2022-2023學年高三數(shù)學文月考試題含解析

山東省煙臺市龍口平里中學2022-2023學年高三數(shù)學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.已知則A=A. B. C. D.參考答案：C【分析】由正弦定理將邊與角的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，再運用誘導公式和兩角和的正弦公式化簡，再利用輔助角公式可求得A.【詳解】由已知和正弦定理得，即，即所以，因為，所以，即，所以，即，又，所以，故選C．【點睛】本題考查正弦定理、輔助角公式，誘導公式，利用正弦定理將已知等式中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系式,再利用誘導公式、兩角和的正弦公式是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2.拋物線y2=4x的焦點為F，點P（x，y）為該拋物線上的動點，又點A（﹣1，0），則的最小值是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】KG：直線與圓錐曲線的關(guān)系；K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】通過拋物線的定義，轉(zhuǎn)化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切線方程即可求出比值的最小值．【解答】解：由題意可知，拋物線的準線方程為x=﹣1，A（﹣1，0），過P作PN垂直直線x=﹣1于N，由拋物線的定義可知PF=PN，連結(jié)PA，當PA是拋物線的切線時，有最小值，則∠APN最大，即∠PAF最大，就是直線PA的斜率最大，設(shè)在PA的方程為：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故選B．3.若復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，∠BAC＝，AA1⊥平面ABC，則該三棱柱的外接球的表面積為A.36π

B.48π

C.72π

D.108π參考答案：C5.已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是（

）A. B. C.或 D.或參考答案：D【分析】把漸近線方程化為斜截式方程，根據(jù)焦點的位置不同，分類求出雙曲線的離心率.【詳解】,當焦點位于橫軸時，，而，所以當焦點位于縱軸時，故本題選D.【點睛】本題考查了通過雙曲線的漸近線方程求離心率問題，解題的關(guān)鍵是對焦點的位置進行分類.6.首項為的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C由題意知數(shù)列滿足，即，所以，即，選C.7.在中，角所對的邊分別為.若,則等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.已知集合，則

（

）

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A。命題意圖：考查學生對描述法表示集合的理解及集合的運算。9.下列結(jié)論錯誤的是 （） A．命題“若則”與命題“若則”互為逆否命題; B．命題，命題則為真; C．“若則”的逆命題為真命題; D．若為假命題，則、均為假命題．參考答案：C略10.如果甲的身高數(shù)或體重數(shù)至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙。在100個小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么100個小伙子中的棒小伙子最多可能有（

）

A.3個

B.4個

C.99個

D.100個參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，若tanB=﹣2，cosC=，則∠A=

．參考答案：【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；兩角和與差的余弦函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得sinB、cosB、sinC的值，再利用誘導公式、兩角和的余弦公式求得cos∠A=﹣cos（B+C）的值，可得∠A的值．【解答】解：在△ABC中，若tanB==﹣2，則由sin2B+cos2B=1可得，sinB=，cosB=﹣．由cosC=，可得sinC==，∴cos∠A=﹣cos（B+C）=﹣cosBcosC+sinBsinC=+=，∴∠A=，故答案為：．【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導公式、兩角和的余弦公式，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題．12.函數(shù)的最小正周期T=__________。參考答案：π13.已知圓C的圓心為（0,1），直線與圓C相交于A，B兩點，且，則圓C的半徑為 .參考答案：圓心到直線的距離。∴?！嗨髨A的半徑為.14.在中，內(nèi)角，，的對應邊分別為，，，若，，則的最大值為

．參考答案：因為，由余弦定理及基本不等式可得，，所以，當且僅當：：=﹕：時等號成立，所以的最大值是；又因為，所以，所以，所以的最大值為．15.已知sinx=2cosx，則sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x=．參考答案：【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．【分析】（1）由于sinx=2cosx，可得tanx=2．利用“弦化切”可得=【解答】解：∵sinx=2cosx，∴tanx=2．那么sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x===．故答案為【點評】本題考查了“弦化切”及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.設(shè)，的所有非空子集中的最小元素的和為，則=

．參考答案：17.參考答案：f3(x)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，其中．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）當時，，，所以，，即曲線在點處的切線方程為；（2），若，則當時，，，∴，不滿足題意；若，則當，即時，恒成立∴在上單調(diào)遞增，而，所以當時，，滿足題意，當，即時，．有兩個不等實根設(shè)為，，且，則，，∴，當時，，故在上單調(diào)遞減，而，當時，，不滿足題意．綜上所述，．19.已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1（﹣2，0），點在橢圓C上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N．求證：以MN為直徑的圓必過橢圓的兩焦點．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標準方程．【分析】（1）由題意可設(shè)橢圓標準方程為，結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a2，b2的值，則橢圓方程可求；（2）設(shè)F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過定點（±2，0）．【解答】（1）解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為，則，解得：a2=8，b2=4．∴橢圓C的方程為+=1；（2）證明：如圖，設(shè)F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），則+=1，即有y02=（8﹣x02），A（﹣2，0），AF所在直線方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N（0，），AE所在直線方程為y=（x+2），取x=0，得y=，∴M（0，），則以MN為直徑的圓的圓心坐標為（0，），半徑r=，圓的方程為x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=，取y=0，得x=±2．∴以MN為直徑的圓經(jīng)過定點（±2，0），即為橢圓的焦點．20.定義：若兩個橢圓的離心率相等，則稱兩個橢圓是“相似”的．如圖，橢圓C1與橢圓C2是相似的兩個橢圓，并且相交于上下兩個頂點．橢圓C1：的長軸長是4，橢圓C2：短軸長是1，點F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1的左焦點與右焦點，（Ⅰ）求橢圓C1，C2的方程；（Ⅱ）過F1的直線交橢圓C2于點M，N，求△F2MN面積的最大值．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質(zhì)．專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C1的半焦距為c，橢圓C2的半焦距為c'，易知a=2，b=m，n=，根據(jù)橢圓C1與橢圓C2的離心率相等，可得關(guān)于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由題意可設(shè)直線的方程為：．與橢圓C2的方程聯(lián)立消掉x得y的二次方程，則△＞0，由弦長公式可表示出|MN|，由點到直線的距離公式可表示出△F2MN的高h，則△F2MN的面積S=，變形后運用基本不等式即可求得S的最大值；解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C1的半焦距為c，橢圓C2的半焦距為c'．由已知a=2，b=m，．∵橢圓C1與橢圓C2的離心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴橢圓C1的方程是，橢圓C2的方程是；（Ⅱ）顯然直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為：．聯(lián)立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，，∴，△F2MN的高即為點F2到直線的距離．∴△F2MN的面積，∵，等號成立當且僅當，即時，∴，即△F2MN的面積的最大值為．點評：本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式求函數(shù)的最值，考查學生的運算能力、分析解決問題的能力．21.已知公比為q的等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，且滿足（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{（2n﹣1）?an}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【專題】綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）由a1a2a3=及等比數(shù)列性質(zhì)得=，可求得a2=，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的首項和公比，然后求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）利用錯位相減法可求數(shù)列{（2n﹣1）?an}的前n項和為Tn；【解答】解：由a1a2a3=，及等比數(shù)列性質(zhì)得=，解得a2=，由a1+a2+a3=得a1+a3=由以上得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．∵{an}是遞減數(shù)列，故q=3舍去，∴q=，由a2=，得a1=1．故數(shù)列{an}的通項公式為an=（n∈N*）．（II）由（I）知（2n﹣1）?an=，∴Tn=1+++…+①，Tn=+++…++②．①﹣②得：Tn=1++++…+﹣=1+2（+++…+）﹣=1+2?﹣=2﹣﹣，∴Tn=3﹣．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式以及利用錯位相減法求數(shù)列的和，考查學生的運算求解能力，屬中檔題．22.（12分）

如圖，在三棱柱中，所有的棱長都為2，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當三棱柱的體積最大時，求平面與平面所成的銳角的余弦值.參考答案：解析：（Ⅰ）證明：取的中點，連接，在三棱柱中，所有