第6章 狹義相對論

第六章狹義相對論SpecialTheoryofRelativity相對論的創(chuàng)始人:Albert·Einstein（阿爾伯特·愛因斯坦）1905年，狹義相對論

（SpecialTheoryofRelativity）1916年，廣義相對論

(GeneralTheoryofRelativity)“IfrelativityisprovedrighttheGermanswillcallmeaGerman，theSwisswillcallmeaSwisscitizen，andtheFrenchwillcallmeagreatscientist.IfrelativityisprovedwrongtheFrenchwillcallmeaSwiss，theSwisswillcallmeaGerman，andtheGermansandthewillcallmeaJew.”

—Albert·Einstein前幾章中，我們討論了經(jīng)典電動力學(xué)的基本理論和有關(guān)規(guī)律，但是討論的范圍限于“靜止”介質(zhì)中的電磁場。本章將著重討論動體的電動力學(xué)，即研究時空理論，闡述狹義相對論的實驗基礎(chǔ)、基本原理、數(shù)學(xué)工具和相對論電動力學(xué)。本章將著解決電動力學(xué)中的幾個問題：第一,麥克斯韋方程組究竟對于哪一個參考系是正確的？第二，從一個參考系變換到另一個參考系時，基本規(guī)律的形式如何改變？第三，基本物理量如何變換？§6.1狹義相對論的實驗基礎(chǔ)ExperimentFoundationsoftheSpecialTheoryofRelativity1、經(jīng)典力學(xué)的相對性原理大家知道，自由粒子在其中作勻速運(yùn)動的坐標(biāo)系稱為慣性系。經(jīng)典力學(xué)中的一個基本原理也就是伽利略相對性原理,它表示：運(yùn)動定律從一個慣性系變換到另一個慣性系時，運(yùn)動定律的形式保持不變。也就是說，一切作機(jī)械運(yùn)動的慣性系是等價的。在牛頓力學(xué)中，認(rèn)為空間距離和時間間隔是絕對的,與參考系無關(guān)。這種認(rèn)為也稱絕對時空觀。為了精確地研究物質(zhì)在空間和時間中的運(yùn)動過程，我們從物質(zhì)運(yùn)動中抽象出“事件”的概念。在無限小的空間元中無限短瞬間內(nèi)發(fā)生的物質(zhì)運(yùn)動過程叫做一個事件。物質(zhì)運(yùn)動可看作是一連串事件在時空中的發(fā)展過程，在一個參考系中，總是用一定的時間t和空間(x,y,z)來描述一個事件?！?相對論的基本原理洛倫茲變換1.相對論的基本原理兩條基本假設(shè)，愛因斯坦（Einstein）在總結(jié)新的實驗事實之后提出。所有慣性參考系都是等價的。物理規(guī)律對于所有慣性參考系都可以表為相同形式。也就是不論通過力學(xué)現(xiàn)象，還是電磁現(xiàn)象，或其他現(xiàn)象，都無法覺察出所處參考系的任何“絕對運(yùn)動”。相對性原理是被大量實驗事實所精確檢驗過的物理學(xué)基本原理。（1）相對性原理（2）光速不變原理真空中的光速相對于任何慣性系沿任一方向恒為c，并與光源運(yùn)動無關(guān)。相對論的基本假設(shè)是和舊時空概念矛盾的。舊時空概念是從低速力學(xué)現(xiàn)象抽象出來的,集中反映在關(guān)于慣性坐標(biāo)系的伽利略（Galileo）變換中。設(shè)慣性系′相對于以速度運(yùn)動,并選x和x′軸沿運(yùn)動方向，伽利略變換式為反映的時空觀的特征是時間與空間的分離。時間在宇宙中均勻流逝著，而空間好象一個容器,兩者之間沒有聯(lián)系，也不與物質(zhì)運(yùn)動發(fā)生關(guān)系。如圖，設(shè)有一光源和一些接收儀器，在慣性系觀察閃光的發(fā)射和接收。取光源發(fā)出閃光時刻所在點為的原點O。在上觀察，1秒之后光波到達(dá)半徑為c的球面上，這時處于球面上的一些接收器(圖中的P1、P2和P等)同時接收到光訊號。這球面是一個波陣面。在低速現(xiàn)象中還沒有暴露出這種觀點的錯誤，但是在高速現(xiàn)象中舊時空觀與客觀實際的矛盾立即顯示出來。光速不變性與舊時空觀矛盾的性質(zhì)可以用一個簡單例子說明。設(shè)′相對于以速度沿x軸方向運(yùn)動，并取光源發(fā)光時刻所在點為原點O′。即在光源發(fā)光時刻，兩參考系和′的原點O和O′重合。當(dāng)接收器接收到光波時，O′已經(jīng)離開O。當(dāng)P1接收到訊號時，O′距P1較近，而距P2較遠(yuǎn)。但由于′上所測量的光速仍然是c，因此′上的觀察者必然認(rèn)為，光波到達(dá)P1的時刻必然較早于到達(dá)P2的時刻。再考察在另一慣性參考系′上對所發(fā)生的物理事件是怎樣描述的。原來在上觀察到同時發(fā)生的兩事件（P1和P2同時接收到光波），在′上看來就變?yōu)椴煌瑫r。原來在上看到的波陣面是球面P1PP2，而在′上看來，由于光波不是同時到達(dá)此面上，因此波陣面不再是P1PP2面，而是另外一個以O(shè)′

′為球心的球面?？梢钥闯?，光速不變性所導(dǎo)致的時空概念是和經(jīng)典時空觀有深刻矛盾的。所有最基本的時空概念，如同時性、距離、時間、速度等都要根據(jù)新的實驗事實重新加以探討。相對論的一個主要內(nèi)容就是關(guān)于時空的理論。時間和空間是運(yùn)動著的物質(zhì)存在形式。時空概念是從物質(zhì)運(yùn)動中抽象出來的，而不是獨立于物質(zhì)運(yùn)動之外的概念。離開物質(zhì)及其運(yùn)動，就沒有所謂絕對的時空概念。在經(jīng)典力學(xué)中，由低速現(xiàn)象抽象出來的時空觀帶有一定局限性，當(dāng)我們研究高速現(xiàn)象特別是電磁波傳播現(xiàn)象時，發(fā)現(xiàn)舊時空觀與實驗事實相矛盾，這是完全可以理解的。人們對時空的認(rèn)識和對一切事物的認(rèn)識一樣，都是在不斷的實踐中逐步發(fā)展和加深的。與舊時空觀集中反映在伽利略變換式一樣，相對論時空觀集中反映在從一慣性系到另一慣性系的時空坐標(biāo)變換式。2.間隔不變性相應(yīng)地，根據(jù)相對論基本原理可導(dǎo)出相對論時空坐標(biāo)變換式。事件:

在慣性系上用四個坐標(biāo)(x，y，z，t)表示在另一慣性系′上用(x'，y′，z′，t′)表示——這是從物質(zhì)運(yùn)動中抽象出來的概念，物質(zhì)運(yùn)動可以看作一連串事件的發(fā)展過程。事件可以有各種不同的具體內(nèi)容，但是它總是在一定地點于一定時刻發(fā)生的。慣性系:要求從一慣性系到另一慣性系的時空坐標(biāo)變換必須是線性的。設(shè)有一不受外力作用的物體相對于慣性系作勻速運(yùn)動，它的運(yùn)動方程由x和t的線性關(guān)系描述。在另一慣性系′上觀察，這物體也是做勻速運(yùn)動，因而用x′和t′的線性關(guān)系描述。由此可知,從(x,t)到(x′,t′)的變換式必須是線性的。再考察光速不變性對時空變換的限制?？紤]兩特殊事件：第一事件為光訊號在某時刻從O點發(fā)出，第二事件是在另一地點P接收到該訊號。選取兩參考系的原點在閃光發(fā)出時刻重合，并且同時開始計時，即第一事件在兩參考系中都用(0,0,0,0)表示。設(shè)物體P接收到訊號的空時坐標(biāo)在兩參考系上分別為(x,y,z,t)和(x′,y′,z′,t′)由于兩參考系上測出的光速都是c，因而有上面我們選擇了兩特殊事件，這兩事件之間用光訊號聯(lián)系著。一般來說，兩事件不一定用光訊號聯(lián)系，它們可能用其他方式聯(lián)系，或者根本沒有任何聯(lián)系。以第一事件空時坐標(biāo)為(0,0,0,0)，則第二事件空時坐標(biāo)(x,y,z,t)可以是任意的。在這情形下，二次式就不一定為零，而是可以取任意值。我們要尋找的就是在一般情況下，上述二次式應(yīng)有什么關(guān)系。由于系數(shù)A不依賴于相對速度的方向，因此上面兩式中的A應(yīng)該是一樣的。比較以上兩式可得A2=1，由變換的連續(xù)性應(yīng)取A=＋1。因此有——光速不變性的數(shù)學(xué)表示，它是相對論時空觀的一個基本關(guān)系。事件(x,y,z,t)和事件(0,0,0,0)之間的間隔在另一慣性參考系中觀察到這兩事件的間隔間隔不變性，兩事件的間隔不因參考系變換而改變。一般來說,兩事件(x1,y1,z1,t1)與(x2,y2,z2,t2)的間隔在另一參考系上觀察這兩事件的空時坐標(biāo)為和相應(yīng)的間隔間隔不變性：s2=s′2。間隔是相對論時空觀的一個基本概念。若兩事件在同一地點相繼發(fā)生，令t2t1=t，有s2=c2t2。在這情形下間隔就是光速乘以時間的平方。若兩事件同時在不同地點發(fā)生，則s2=(x)2。在這情形下，間隔就是兩事件的空間距離平方的負(fù)值?？梢?，間隔概念是把時間與空間距離統(tǒng)一起來的一個概念，其物理含義在下一節(jié)中再進(jìn)一步討論。例1參考系′相對于以速度沿x軸方向運(yùn)動。在′上有一靜止光源S和一反射鏡M,兩者相距為z0′。從S上向z′軸方向發(fā)出閃光，經(jīng)M反射后回到S。求兩參考系上觀察到的閃光發(fā)出和接收的時間和間隔。兩參考系上觀察到的物理過程如圖所示。在′上觀察，閃光發(fā)出和接收之間的時間為發(fā)出和接收是在同一地點S上發(fā)生，因此兩事件的間隔解在上觀察，設(shè)閃光發(fā)出和接收之間的時間為t，在這時間內(nèi)，光源已運(yùn)動了x=

t

。光訊號傳播的路程為兩事件的間隔與正交方向的距離是不變的。因為若z0′=()z0，由相對性原理應(yīng)有z0=(-)

z0′。但由于空間沒有特定方向，()只能依賴于的數(shù)值，而不依賴于其方向。由得2()=1，再由變換的連續(xù)性應(yīng)有()=1，因此比較以上兩公式，得由此可見，在兩參考系中觀察到的兩事件之間的時間是不同的，但間隔s2則是一樣的。根據(jù)變換的線性和間隔不變性,可以導(dǎo)出相對論時空坐標(biāo)變換關(guān)系。為了簡單,選兩坐標(biāo)系的x軸和x′軸都沿′相對于的運(yùn)動方向。這種情況下，y和z不變,變換具有特殊形式3.洛倫茲變換由于x軸和x′軸正向相同,應(yīng)取a11＞0;又由于時間t與t′的正向相同,應(yīng)取a22>0。比較系數(shù)得由第一和第三式得代入第二式得這些系數(shù)都可以用′相對于的運(yùn)動速度表出。設(shè)′的原點為O′。在′上觀察,O′點以速度沿x軸方向運(yùn)動，因此其坐標(biāo)為x=t。但O′點在′上的坐標(biāo)永遠(yuǎn)是x′=0。因而由第一式有相對論時空坐標(biāo)變換公式:解出x,y,z,t可得反變換式。用相對性原理可以更簡單地導(dǎo)出反變換。因為和′是等價的,所以從系到′系的變換應(yīng)該與從′系到系的變換具有相同形式。若′相對于的運(yùn)動速度為(沿x軸方向),則相對于′的速度為-。因此只要把式中的改為-即得反變換式上述變換式稱為洛倫茲變換式，它是同一事件在兩不同參考系上觀察的時空坐標(biāo)之間的關(guān)系。洛倫茲變換反映相對論的時空觀，其物理意義在下一節(jié)中討論。例2在圖中，設(shè)閃光從O點發(fā)出。在上觀察，光訊號于1秒之后同時被P1和P2接收到。設(shè)′相對于的運(yùn)動速度為0.8c，求P1和P2接收到訊號時在′上的時刻和位置。P1

接收到訊號在上的空時坐標(biāo)為(c,0,0,1)。這事件在′上觀察時,由洛倫茲變換式得解即P1接收到訊號時在′上的空時坐標(biāo)為(c/3,0,0,1/3)。注意在′上測得沿x′軸方向的光速為x′/t′=c。P2接收到訊號時在上的空時坐標(biāo)為（c,0,0,1）。由洛倫茲變換式可得該事件在′上的空時坐標(biāo)為（3c,0,0,3）。注意沿x′軸方向的光速仍為c。在上同時的兩事件（P1和P2同時接收到訊號），在′上看來變?yōu)椴煌瑫r，P1接收到光波較早于P2接收到光波。在和′上觀察到P1和P2接收到訊號這兩事件之間的時間差別，空間距離和間隔分別為可以看出,兩參考系上測得P1和P2之間的距離不同，但兩事件的間隔是一致的。從本節(jié)的兩個例題可見，相對論的時間、距離是相對的，同時性也是相對的，但兩事件的間隔卻有絕對意義。..慢a..慢.動鐘變慢問題1、兩個人決斗，火車上人看到A先向B開槍，而在地面上的人看到B先向A開槍。這可能嗎？2、槍響鳥亡，能否出現(xiàn)鳥先死，槍后響。3、什么樣的兩個事件可以同時？什么樣的兩個事件可以時序顛倒？什么樣的兩個事件可以同地？4、孿生兄弟，哥哥在家，弟弟去坐飛船旅行。相對論告訴我們，若弟弟相對哥哥在運(yùn)動，由于運(yùn)動時鐘的延緩效應(yīng)，則在哥哥看來，重逢時，弟弟年輕；但在弟弟看來，哥哥在相對于他運(yùn)動，因此重逢時，哥哥年輕。到底誰年輕？討論三種類型間隔的性質(zhì)類空間隔特點：兩個類空事件不可能用信號聯(lián)系，為非關(guān)聯(lián)事件在Sˊ系：同時的條件總能找到v使兩個類空事件為同時時序顛倒的條件：可以通過選擇小于c的v使上式滿足。問題1可以滿足結(jié)論：如果承認(rèn)真空光速c是極限速度，類空事件是非關(guān)聯(lián)事件，其時序可以顛倒。它們本來就不存在因果關(guān)系，不違反因果律同地的條件由于光速的極限性，類空間隔的兩個事件在任何慣性系都不可能成為同地（絕對遠(yuǎn)離事件）類時間隔特點：類時事件可用速度小于c信號聯(lián)系，（關(guān)聯(lián)事件）——不能滿足，不可能同時同時的條件：時序顛倒的條件：類時間隔的兩個事件的時序是絕對的。在S中：先開槍，后鳥死是否能發(fā)生先鳥死，后開槍？在S’中：在S中：在S’中事件2子彈v