第05章 誤差橢圓

第五章誤差橢圓1§1點(diǎn)位真誤差及點(diǎn)位誤差2

§2誤差曲線與誤差橢圓3§3相對(duì)誤差橢圓

教學(xué)目的

通過本章的學(xué)習(xí)，能熟練地求出任意方向

(或)上的位差；根據(jù)待定點(diǎn)坐標(biāo)平差值協(xié)因數(shù)陣，準(zhǔn)確地計(jì)算誤差橢圓、相對(duì)誤差橢圓的三個(gè)參數(shù)并畫出略圖，了解誤差橢圓在平面控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的作用。1點(diǎn)位真誤差在測(cè)量中，為了確定待定點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，通常需進(jìn)行一系列觀測(cè)。由于觀測(cè)值總是帶有觀測(cè)誤差，因而根據(jù)觀測(cè)值平差計(jì)算所獲得的是待定點(diǎn)坐標(biāo)的平差值，而不是待定點(diǎn)坐標(biāo)的真值

?

如圖5-1中，A為已知點(diǎn)，假定其坐標(biāo)是不帶誤差的數(shù)值?P為待定點(diǎn)的真位置，P’點(diǎn)為經(jīng)過平差所得的點(diǎn)位，兩者之距離為ΔP,稱之為點(diǎn)位真誤差，簡(jiǎn)稱為真位差。由圖可知，在待定點(diǎn)的這兩對(duì)坐標(biāo)之間存在著誤差(5-1)1§1點(diǎn)位真誤差及點(diǎn)位誤差真實(shí)位置平差位置且有(5-2)Δx，Δy為真位差在x軸和y軸上兩個(gè)位差分量，也可理解為真位差在坐標(biāo)軸上的投影?

設(shè)Δx,Δy的中誤差為σx,σy,考慮Δx與Δy互相獨(dú)立，對(duì)式(5-2)進(jìn)行誤差傳播，可得點(diǎn)P真位差ΔP的方差為(5-3)式中，σ2P通常定義為點(diǎn)P的點(diǎn)位方差；σP為點(diǎn)位中誤差?

如果將圖5-1中的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)某一角度，即以x′O′y為坐標(biāo)系(圖5-2)，則可以看出ΔP的大小將不受坐標(biāo)軸的變動(dòng)而發(fā)生變化，此時(shí)(5-4)

這說明，盡管點(diǎn)位真誤差ΔP在不同坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)軸上的投影長度不等，但點(diǎn)位方差總是等于兩個(gè)相互垂直的方向上的坐標(biāo)方差之和，與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)?

如果再將點(diǎn)P的真位差ΔP投影于AP方向和垂直于AP的方向上，則得點(diǎn)P的縱向誤差Δs和橫向誤差Δu，此時(shí)有:(5-5)ΔP2=Δs2+Δu2縱向誤差Δs縱向誤差Δu寫成中誤差的形式為(5-6)

測(cè)量工作中也常常通過縱?橫向誤差來求定點(diǎn)位誤差。

上述的σx和σy分別為點(diǎn)在x軸和y軸方向上的中誤差，或稱為x軸和y軸方向上的位差?同樣，σs和σu是點(diǎn)在AP邊的縱向和橫向上的位差?

測(cè)量工作中通常用點(diǎn)位中誤差σP來衡量待定點(diǎn)的精度，只要我們求出它在兩個(gè)相互垂直方向上的中誤差，就可由式(5-3)或式(5-6)計(jì)算點(diǎn)位中誤差?(5-3)(5-6)2點(diǎn)位誤差及其計(jì)算由定權(quán)的基本公式可知(5-7)代入式(5-3)可得

(5-8)

從間接平差我們知道：當(dāng)以待定點(diǎn)的坐標(biāo)作為未知參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)平差時(shí)，法方程系數(shù)陣的逆陣就是未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣，其主對(duì)角線上的元素就是待定點(diǎn)坐標(biāo)平差值x?y的權(quán)倒數(shù)，而非主對(duì)角上的元素則是它們的相關(guān)權(quán)倒數(shù)?當(dāng)平差問題中只有一個(gè)待定點(diǎn)時(shí)

(5-9)當(dāng)平差問題中有s個(gè)待定點(diǎn)時(shí)(5-10)主對(duì)角線上的元素就是待定點(diǎn)坐標(biāo)平差值的權(quán)倒數(shù)3任意方向上的位差

平差時(shí)，我們一般只求出待定點(diǎn)的坐標(biāo)中誤差σx?σy和點(diǎn)位中誤差σP?

點(diǎn)位中誤差雖然可以用來評(píng)定待定點(diǎn)的點(diǎn)位精度，但是它卻不能代表該點(diǎn)在某一任意方向上的位差大小。而上面提到的σx?σy?σs?σu等，也只能代表待定點(diǎn)在x軸和y軸方向上以及AP邊的縱向和橫向上的位差?但在有些情況下，往往需要研究點(diǎn)位在某些特殊方向上的位差大小?此外還要了解點(diǎn)位在哪一個(gè)方向上的位差最大，在哪一個(gè)方向上的位差最小，例如，在工程放樣工作中，就經(jīng)常需要關(guān)心任意方向上的位差問題?3.1用方位角表示任意方向的位差如圖5-3，P為待定點(diǎn)的真實(shí)位置，P′為待定點(diǎn)的平差位置。為了求待定P點(diǎn)在方位角為φ的方向上的位差，先找出待定點(diǎn)P在該方向上的真誤差Δφ與縱?橫坐標(biāo)的真誤差Δx?Δy的函數(shù)關(guān)系；然后求出該方向的位差?

由圖可知點(diǎn)位真誤差PP′在φ方向上的投影值為PP′″，且:(5-11)真實(shí)位置平差位置點(diǎn)位真誤差點(diǎn)位真誤差在方位角為φ方向上的投影ΔxΔyΔxcosφΔysinφΔφ也可按以下方法求φ方向的位差根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律得(5-12)而待定點(diǎn)P在φ方向上的位差可用下式得到(5-13)由于Qyx=Qxy，故

式中單位權(quán)方差為常量，σ

2φ大小取決于Qφφ

，而Qφφ是φ

的函數(shù)?若想求得與φ

方向垂直方向(即φ

+90°方向)上的方差，可將φ

+90°代入式(5-13)得(5-14)將(5-13)和(5-14)兩式相加，即得(5-15)

上式表明：任何一點(diǎn)的點(diǎn)位方差總是等于兩個(gè)相互垂直方向上的方差分量之和?(5-13)(5-13)

由式(5-13)可知σ

2φ的大小與方位角φ有關(guān)?在所有方向的位差權(quán)倒數(shù)中，必有一對(duì)權(quán)倒數(shù)取得極大值和極小值，分別設(shè)為

QEE和QFF

，而相應(yīng)的方向分別設(shè)為φE和φF，其中在φE方向上的位差具有極大值，而在φF方向上的位差具有極小值，很顯然，

φE和φF兩方向之差為90°?

為求QEE和QFF，可利用協(xié)因數(shù)陣(5-9)，因?yàn)镼EE和QFF就是這個(gè)協(xié)因數(shù)陣特征值的兩個(gè)根?由線性代數(shù)中特征方程求特征根的方法，可求得(5-16)(5-17)式中位差的極大值和極小值為(5-20)(5-21)(5-22)(5-23)因?yàn)閮蓚€(gè)極值方向相互垂直，故極大值方向φE和極小值方向φF的計(jì)算式為(5-24)(5-25)Qxy＞0，極大值在第Ⅰ、Ⅲ象限，極小值方向在第Ⅱ、Ⅳ象限；Qxy

＜0，極大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，極小值方向在第Ⅰ、Ⅲ象限。

極值方向的判別方法:【例5-1】已知某平面控制網(wǎng)中待定點(diǎn)P的協(xié)因數(shù)陣為其單位為dm2/秒2，單位權(quán)方差σ02=1.0(秒2)，試求E?F

和φE的值?【解】3.2用極值E?F表示任意方向上的位差利用極值E?F也可表示任意方向上的位差?由式(5-12)計(jì)算任意方向φ

上的位差時(shí)，φ是從縱坐標(biāo)x軸順時(shí)針方向起算轉(zhuǎn)至某方向的方位角?現(xiàn)推導(dǎo)出用E?F表示并以E軸(即方向φE軸)為起算的任意方向上的位差，這個(gè)任意方向用Ψ

表示(圖5-4)?

若以E軸為坐標(biāo)軸，計(jì)算任意方向ψ的位差，必須先找出誤差Δψ與ΔΕ?ΔF之間的關(guān)系式，再利用協(xié)因數(shù)傳播律求得Q

ΨΨ

?仿照Q

φφ求的方法可知(5-26)

式中QEF為兩個(gè)極值方向位差的互協(xié)因數(shù)，其值QEF=0，亦即在E?F方向上的平差后坐標(biāo)是不相關(guān)的?因此，式(5-26)中的協(xié)因數(shù)可寫為：(5-27)以極值E?F表示任意方向ψ上的位差公式為(5-28)(5-29)【例5-2】數(shù)據(jù)同例5-1，試計(jì)算當(dāng)ψ=12°時(shí)的位差?【解】

由例5-1算出E=1.48，F(xiàn)=1.22，代入式(5-29)即得1誤差曲線誤差曲線的定義是：以待定點(diǎn)O為極點(diǎn)，ψ為極角，σψ為長度的極坐標(biāo)點(diǎn)的軌跡。

誤差曲線把各方向的位差清楚地表示出來了，圖5-5中OP的長度就是O點(diǎn)在OP方向上的位差?從圖中可看出，誤差曲線關(guān)于兩個(gè)極軸(E軸和F軸)對(duì)稱，點(diǎn)位誤差曲線也稱點(diǎn)位精度曲線?

2

§2誤差曲線與誤差橢圓極點(diǎn)ψEFPO誤差曲線在工程測(cè)量中有廣泛的應(yīng)用，當(dāng)控制網(wǎng)略圖和待定點(diǎn)的誤差曲線給出后，可根據(jù)這個(gè)圖得到坐標(biāo)平差值在任一方向的位差大小。如圖5-6為控制網(wǎng)中P點(diǎn)的點(diǎn)位誤差曲線，A?B?C為已知點(diǎn)?由圖5-6可知，由圖還可得到坐標(biāo)平差值函數(shù)的中誤差?例如要想得到平差后方位角αPA的中誤差，可先從圖中量出垂直于PA方向上的位差Pg，這是PA邊的橫向誤差σu，則由下式可得(5-30)式中SPA為PA的長度?又如PB邊長的中誤差為?2誤差橢圓誤差曲線作圖不太方便，因此實(shí)用價(jià)值不高，為此可用形狀與誤差曲線很相似，以E?F為長?短半軸的誤差橢圓代替它(如圖5-7所示)?

在誤差橢圓中，φE

?E?F稱為點(diǎn)位誤差橢圓的元素(參數(shù))。誤差橢圓與誤差曲線的兩個(gè)極值方向完全重合，其他各處兩者差距也甚微，在點(diǎn)位誤差橢圓上也可以圖解出任意方向ψ的位差σψ?其方法是：如圖5-7所示，自橢圓作ψ方向的正交切線PD，P為切點(diǎn)，D為垂點(diǎn)，可以證明σψ=OD。從圖5-7中可以看出，與OD相應(yīng)在ψ方向上誤差橢圓的向徑OD′，由于OD′與OD相差很小，在估算控制網(wǎng)中可近似應(yīng)用，一般不作誤差曲線?

在以上的討論中，都是以一個(gè)待定點(diǎn)為例，說明了如何確定該點(diǎn)點(diǎn)位誤差橢圓的問題?如果網(wǎng)中有多個(gè)待定點(diǎn)，也可以利用上述相同的方法，為每一個(gè)待定點(diǎn)確定一個(gè)點(diǎn)位誤差橢圓?

若平差采用間接平差法，設(shè)有s個(gè)待定點(diǎn)，則有2s個(gè)坐標(biāo)未知數(shù)，其相應(yīng)的協(xié)因數(shù)陣為式(5-10)。為了計(jì)算第i點(diǎn)點(diǎn)位誤差橢圓的元素，則需用，并按第一節(jié)中所述的方法，由式(5-21)?式(5-22)和式(5-24)算出φEi

?Ei?Fi

，然后，作出該點(diǎn)的點(diǎn)位誤差橢圓?

前面我們介紹了如何利從點(diǎn)位誤差橢圓上量出已知點(diǎn)與待定點(diǎn)之間的邊長中誤差，以及與該邊相垂直的橫向中誤差，從而求出方位角中誤差。如果網(wǎng)中有多個(gè)待定點(diǎn)時(shí)，則可作出多個(gè)點(diǎn)位誤差橢圓，此時(shí)，也可利用這些點(diǎn)位誤差橢圓，確定已知點(diǎn)與任一待定點(diǎn)之間的邊長中誤差或方位角中誤差，但不能確定待定點(diǎn)與待定點(diǎn)之間的邊長中誤差或方位角中誤差，這是因?yàn)檫@些待定點(diǎn)的坐標(biāo)是相關(guān)的?要解決這個(gè)問題，需要了解任意兩個(gè)待定點(diǎn)間相對(duì)位置的精度情況?

為了確定任意兩個(gè)待定點(diǎn)之間相對(duì)位置的精度，需要進(jìn)一步作出兩個(gè)待定點(diǎn)之間的相對(duì)誤差橢圓?

設(shè)坐標(biāo)系中有兩個(gè)待定點(diǎn)為Pi及Pk，這兩點(diǎn)的相對(duì)位置可通過其坐標(biāo)差來表示，即根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律可得(5-32)(5-31)3§3相對(duì)誤差橢圓

由上式可以看出，如果Pi和Pk兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)為不帶誤差的已知點(diǎn)(例如Pi點(diǎn))，則有

這樣，兩點(diǎn)坐標(biāo)差的協(xié)因數(shù)就等于待定點(diǎn)坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)，而這時(shí)作出的點(diǎn)位誤差橢圓就是待定點(diǎn)相對(duì)于已知點(diǎn)的?

利用式(5-32)算出的協(xié)因數(shù)，根據(jù)式(5-21)?式(5-22)和式(5-24)就可以得到計(jì)算Pi與Pk點(diǎn)間相對(duì)誤差橢圓的三個(gè)參數(shù)的公式(5-33)

相對(duì)誤差橢圓的繪制方法，可仿第三節(jié)中的方法進(jìn)行?二者的不同在于：點(diǎn)位誤差橢圓一般以待定點(diǎn)中心為極繪制，而相對(duì)誤差橢圓以兩個(gè)待定點(diǎn)連線的中心為極繪制?下面通過例題來進(jìn)一步說明?【例5-3】如圖5-8所示，在測(cè)邊網(wǎng)中，設(shè)待定點(diǎn)P1?P2

兩點(diǎn)的坐標(biāo)為未知參數(shù)，采用間接平差法，算得的協(xié)因數(shù)陣，即法方程系數(shù)陣的逆陣為

平差后，計(jì)算得單位權(quán)方誤差為?試求P1?P2兩點(diǎn)的誤差橢圓及相對(duì)誤差橢圓?解:(1)計(jì)算P1點(diǎn)位誤差橢圓的三個(gè)參數(shù)?

由式(5-18)?式(5-19)得到即E1=1.9cm，F(xiàn)1=1.0cm，由式(5-16)?式(5-24)可得(2)計(jì)算P2點(diǎn)位誤差橢圓的三個(gè)參數(shù)?同(1)算法，得(3)計(jì)算P1與P2

點(diǎn)間相對(duì)點(diǎn)位誤差橢圓的三個(gè)參數(shù)?

由式(5-32)得到由式(5-33)得到

而相對(duì)誤差橢圓的E軸方向?yàn)樵诶L制誤差橢圓前，先按一定的比例尺繪制控制網(wǎng)圖?然后再按求出的參數(shù)，以一定的比例尺，分別以P1?P2點(diǎn)為極繪制P1?P2點(diǎn)的點(diǎn)位誤差橢圓，以P1P2連線的中點(diǎn)O為極繪制P1?P2點(diǎn)間的相對(duì)誤差橢圓，如圖5-9所示?

有了P1?P2點(diǎn)間的相對(duì)誤差橢圓，就可以按上節(jié)所述的方法，用圖解法量取所需要的任意方向上的位差大小?

例如，要確定P1?P2點(diǎn)間的邊長SP1P2的中誤差，則可作P1P2的垂線，并使垂線與相對(duì)誤差橢圓相切，則垂足e至中心O的長度Oe即為邊長SP1P2的中誤差?同樣，也可以量出與P1P2連線相垂直方向Of上的垂足g，則Og就是SP1P2邊的橫向位差，則可以求出SP1P2邊的方位角誤差?P1P2

以上各節(jié)介紹了點(diǎn)位誤差橢圓和兩點(diǎn)間相對(duì)誤差橢圓的做法和用途，在測(cè)量工作中，特別在精度要求較高的工程測(cè)量中，往往利用點(diǎn)位誤差橢圓對(duì)布網(wǎng)方案進(jìn)行精度分析。因?yàn)樵诖_定點(diǎn)位誤差橢圓的三個(gè)元素時(shí)，除了單位權(quán)中誤差外，只需要知道各個(gè)待定點(diǎn)的協(xié)因數(shù)。而待定點(diǎn)的協(xié)因數(shù)陣是相應(yīng)平差問題的法方程系數(shù)陣的逆陣?當(dāng)在適當(dāng)?shù)谋壤叩牡匦螆D上設(shè)計(jì)了控制網(wǎng)的點(diǎn)位以后，可以從圖上量取各邊邊長和方位角的概略值，根據(jù)這些可以算出誤差方程的系數(shù)，而觀測(cè)值的權(quán)則可根據(jù)需要事先加以確定，因此可以求出該網(wǎng)