第四章 電子的自旋

第四章堿金屬原子§4.1原子中電子軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩§4.2斯特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)§4.3電子的自旋假設(shè)§4.4堿金屬雙線§4.5塞曼效應(yīng)教學(xué)要求（1）掌握電子自旋、單價(jià)電子總角動(dòng)量的合成方法和描述電子量子態(tài)的四個(gè)量子數(shù)。（2）掌握造成堿金屬原子能級(jí)精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因，能寫(xiě)出電子自旋與軌道的相互作用能的表達(dá)式。（3）掌握單電子躍遷選擇定則，并能畫(huà)出堿金屬原子精細(xì)能級(jí)躍遷圖，解釋堿金屬原子精細(xì)光譜的形成，寫(xiě)出用光譜項(xiàng)符號(hào)表示的譜線的公式。（4）掌握氫原子能級(jí)的狄拉克公式和光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)；了解氫原子能譜的研究進(jìn)展重點(diǎn)電子自旋單電子角動(dòng)量的合成四個(gè)量子數(shù)、單電子躍遷選擇定則原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)難點(diǎn)單電子角動(dòng)量的合成電子自旋與軌道運(yùn)動(dòng)的相互作用堿金屬原子光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)分析氫原子光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)分析

一、電磁學(xué)知識(shí)1．電偶極矩(1)均勻電場(chǎng)中：

§4.1原子中電子軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩(2)非均勻電場(chǎng)中：電場(chǎng)強(qiáng)度沿

軸，隨

的變化為)

合力

：

在外場(chǎng)方向的投影2．磁矩

方向與方向滿足右手螺旋關(guān)系。

均勻磁場(chǎng)中：非均勻磁場(chǎng)中：

磁場(chǎng)方向沿

軸，隨

的變化為合力：在外場(chǎng)方向的投影

θ是磁矩與磁場(chǎng)方向的夾角，μz是磁矩在磁場(chǎng)方向的分量。當(dāng)θ<90°有F>0，即力是沿著磁場(chǎng)方向的；當(dāng)θ>90°，F(xiàn)<0，即力是逆著磁場(chǎng)方向的

附：3．力和力矩力是引起動(dòng)量變化的原因：力矩是引起角動(dòng)量變化的原因：二、電子軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩

電子軌道運(yùn)動(dòng)的閉合電流為：“-”表示電流方向與電子運(yùn)動(dòng)方向相反

面積：一個(gè)周期掃過(guò)的面積：

是量子化的

量子化的。

玻爾磁子

空間取向量子化

目的：證明原子在外磁場(chǎng)中具有空間量子化

特征。

原理：磁矩為的小磁體（或線圈），在非

均勻磁場(chǎng)中受到的合力不為零：

§4.2斯特恩---蓋拉赫實(shí)驗(yàn)無(wú)磁場(chǎng)有磁場(chǎng)NS史特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)的儀器示意圖pc）os1s2sNa)pA′cANb)s史特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)演示圖

磁矩在非均勻磁場(chǎng)B中如同電偶極子在非均勻電場(chǎng)中一樣，質(zhì)心會(huì)受力作用產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，如沿z方向磁場(chǎng)不均勻，則有

原子進(jìn)入非均勻磁場(chǎng)l中，沿x方向不受力,作勻速運(yùn)動(dòng)。x＝v0t。沿Z方向作勻加速運(yùn)動(dòng)：在x＝l1處原子不受力，作自由運(yùn)動(dòng)。經(jīng)l后沿Z偏移為在l段原子沿Z總位移

原子蒸氣被送入不均勻磁場(chǎng)后，發(fā)射的原子束將分裂為多束。這證明了原子磁矩μz

的空間量子化行為。但實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)H（基態(tài)）原子（T=7×104K,kT=9.0eV<10.2eV）進(jìn)入史特恩－蓋拉赫裝置后分裂為兩束；基態(tài)氧原子分裂為五束，汞原子束不分裂。

按照H原子理論，基態(tài)H是1s，l＝0，m＝0,μz

＝0,不受力，不會(huì)分裂為二。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)如何解釋這一矛盾呢？量子力學(xué)與實(shí)驗(yàn)的比較軌道角動(dòng)量：外場(chǎng)方向投影：

共

個(gè)軌道磁矩：外場(chǎng)方向投影：共

個(gè)奇數(shù)，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果是偶數(shù)。施特恩和蓋拉赫實(shí)驗(yàn)證明了原子具有磁矩，的數(shù)值和取向是量子化的，同時(shí)也證明了的空間取向也是量子化的。

史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)偶數(shù)分裂的事實(shí)啟示人們，電子的軌道運(yùn)動(dòng)似乎不是全部的運(yùn)動(dòng)。換句話說(shuō)，

軌道磁矩應(yīng)該只是原子總磁矩的一部分，那另一部分的運(yùn)動(dòng)是什么呢？相應(yīng)的磁矩又是什么呢？

1925年，兩位荷蘭學(xué)生烏侖貝克與古茲米特根據(jù)史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)、堿金屬光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)等許多實(shí)驗(yàn)事實(shí)，發(fā)展了原子的行星模型，提出電子不僅有軌道運(yùn)動(dòng)，還有自旋運(yùn)動(dòng)，它具有固有的自旋角動(dòng)量S。

引入了自旋假設(shè)以后，人們成功地解釋了堿金屬的精細(xì)結(jié)構(gòu)，塞曼效應(yīng)以及史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)等。

§4.3電子自旋的假設(shè)電子自旋運(yùn)動(dòng)的量子化角動(dòng)量為自旋角動(dòng)量s必然伴隨有自旋磁矩一、電子自旋

1925年，年齡不到25歲的兩位荷蘭學(xué)生烏侖貝克和古茲米特根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，提出一個(gè)極大膽的假設(shè)，電子不僅有軌道運(yùn)動(dòng)，還有自旋運(yùn)動(dòng)，它具有固有的自旋角動(dòng)量S，具體內(nèi)容是：

類似地如果只考慮軌道角動(dòng)量軌道gl＝1，軌道磁矩為如果只考慮自旋角動(dòng)量gs＝2，上式可改為二、朗德g因子其中和分別是軌道和自旋g因子glgs電子的自旋運(yùn)動(dòng)絕不是機(jī)械的自轉(zhuǎn)，它是相對(duì)論效應(yīng)。引入g因子之后，任意角動(dòng)量對(duì)應(yīng)的磁矩可以統(tǒng)一表示為：

量子數(shù)j取定后mj=j,j-1,……，-j，共2j+1個(gè)值.取j=l,s就可以分別得到軌道和自旋磁矩。在原子內(nèi)部，有兩種角動(dòng)量必然存在一個(gè)總角動(dòng)量以及相應(yīng)的磁矩。

分別共線，合成后三、總角動(dòng)量

電子有軌道角動(dòng)量l，又有自旋角動(dòng)量s，所以電子的總角動(dòng)量是按照量子力學(xué)，總角動(dòng)量大小為它在z方向的投影為電子的運(yùn)動(dòng)=軌道運(yùn)動(dòng)+自旋運(yùn)動(dòng)

這里j是總角動(dòng)量量子數(shù),按照量子力學(xué)角動(dòng)量耦合理論，量子數(shù)j取值為對(duì)于單電子s＝1/2,所以例如：當(dāng)

時(shí)，和是有一定的夾角

當(dāng)

時(shí)

，

稱

和

“平行”當(dāng)

時(shí)

，稱

和

“反平行”四原子的總磁矩和有效磁矩1．原子的總磁矩軌道運(yùn)動(dòng)：自旋運(yùn)動(dòng)：

原子的磁矩電子的軌道磁矩+電子的自旋磁矩L-S耦合法：總軌道角動(dòng)量：總軌道磁矩：總自旋角動(dòng)量：總自旋磁矩：總角動(dòng)量：總磁矩：可見(jiàn)總磁矩

和總角動(dòng)量

并不反向。2．原子的有效磁矩

守恒，

繞

旋進(jìn)，不守恒。將

分解成兩個(gè)分量：

：與

反平行，沿

的反向沿長(zhǎng)線。有效磁矩

：與

垂直，一個(gè)周期內(nèi)的平均值為0。余弦定理：比較：得：

：朗德因子g因子的計(jì)算可以求出相應(yīng)狀態(tài)的g因子五、施特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)的解釋軌道運(yùn)動(dòng)：

自旋運(yùn)動(dòng)：

：朗德因子具有磁矩的原子在磁場(chǎng)中要受到力和力矩的作用

，共個(gè)當(dāng)時(shí)，分裂為兩條。六、堿金屬原子態(tài)符號(hào)

2j=+1/2j=-1/20,1,2,3,4,5,

S,P,D,F,G2s+1

L

j

n

由于引入了總角動(dòng)量，堿金屬原子的原子態(tài)常用2s+1Lj＝2Lj表示。因電子自旋量子數(shù)s＝1/2，所以2s+1=2表示原子態(tài)、因而能級(jí)的雙重性。L是l取值對(duì)應(yīng)的大寫(xiě)英文字母，j是總角動(dòng)量量子數(shù)。如l＝1的P態(tài)，對(duì)應(yīng)j＝1＋1/2＝3/2，1－1/2＝1/2，所以l＝1的原子態(tài)是雙重的：2P3/2，2P1/2。給定了原子態(tài)就可以按上式求gj。價(jià)電子的狀態(tài)符號(hào)nj0001112231s2p2s3s2p3p3p3d3d堿金屬原子態(tài)的符號(hào)一、精細(xì)結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)事實(shí)二、精細(xì)結(jié)構(gòu)的定性解釋

§4.4堿金屬原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)一、堿金屬光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)事實(shí)

用高分辨光譜儀作實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，主線系和銳線系都是雙線結(jié)構(gòu)，漫線系和基線系都是三線結(jié)構(gòu)。例如鈉的黃色光譜線，就是它的主線系的第一條線，是由波長(zhǎng)為5890?和5896?的兩條分線構(gòu)成。光譜線的任何分裂都是能級(jí)分裂的結(jié)果，那么

能級(jí)為什么會(huì)發(fā)生精細(xì)分裂呢？

原子中電子和原子核的庫(kù)侖作用導(dǎo)致了原子內(nèi)部的粗線條結(jié)構(gòu)。由于帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，它們之間還存在磁相互作用，磁相互作用給出原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)。量子力學(xué)的處理就是將磁場(chǎng)作用能引入薛定諤方程中進(jìn)行求解。史特恩－蓋拉赫實(shí)驗(yàn)和堿金屬雙線結(jié)構(gòu)是磁相互作用的表現(xiàn)。這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)使人們認(rèn)識(shí)到電子的自旋運(yùn)動(dòng)。堿金屬原子三個(gè)線系的精細(xì)結(jié)構(gòu)示意圖主線系第二輔線系第一輔線系線第第第第系四三二一限條條條條推論2；s能級(jí)是單層的，所有p,d,f

能

級(jí)都是雙層的，并且當(dāng)量子數(shù)n

增大時(shí)，雙層能級(jí)間隔減小。推論1；譜線的分裂意味著能級(jí)的分裂光譜線的任何分裂都是能級(jí)分裂的結(jié)果，那么

能級(jí)為什么會(huì)發(fā)生精細(xì)分裂呢？二、定性解釋1.電子自旋與軌道的相互作用能2.附加光譜項(xiàng)和精細(xì)結(jié)構(gòu)裂距3.堿金屬原子內(nèi)部磁場(chǎng)

§4.5電子自旋—軌道相互作用電子在軌道運(yùn)動(dòng)中感受到的磁場(chǎng)的示意圖B-erZ*em-erZ*eBPS

自旋－軌道作用是原子內(nèi)部磁相互作用的簡(jiǎn)稱。由于電子有自旋磁矩μs

，在電子為靜止的坐標(biāo)系上，原子實(shí)＋Z*e繞電子旋轉(zhuǎn)，并產(chǎn)生磁場(chǎng)B。1.電子自旋與軌道的相互作用能運(yùn)動(dòng)等效成一個(gè)電流，也可看成原子實(shí)繞電子運(yùn)動(dòng)，在電子處產(chǎn)生一個(gè)磁場(chǎng)，電子的自旋磁矩在這個(gè)磁場(chǎng)中將具有勢(shì)能U，正是這個(gè)附加的勢(shì)能迭加在原來(lái)的能級(jí)上，使原能級(jí)發(fā)生了分裂，根據(jù)電磁理論,在中的勢(shì)為下面分別計(jì)算和1）:

而故有

的計(jì)算2）：由電磁學(xué)可知，電流元在r

處的場(chǎng)為

式中表示從源指向場(chǎng)點(diǎn)的位失。

表示原子實(shí)對(duì)電子的速度

設(shè)Z*表示原子實(shí)的有效電荷，則原子實(shí)Z*e在電子處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為

其中設(shè)Z*e繞電子一周過(guò)程中，r-3平均值是1/r3；這個(gè)過(guò)程中，是守恒量

所以上式積分后得注意到故有，代入上式得3）之間夾角θ的計(jì)算如上一頁(yè)圖所示，所以有其中，4)相互作用能的計(jì)算把和三式代入

得到（1）

的修正因子。再注意到：

物理學(xué)家托馬斯對(duì)上式給出一個(gè)由量子力學(xué)計(jì)算可以得到將各量帶入作用能公式得（2）其中

相互作用能的表達(dá)式，對(duì)于給定的l,j有兩個(gè)可能值：

(2)式就是分別將兩個(gè)j值代入（2）式即得：

相互作用，除了s態(tài)（l=0）外，所有能級(jí)都有附加能量，所以新的能級(jí)為

設(shè)沒(méi)考慮精細(xì)結(jié)構(gòu)時(shí)的能級(jí)是Enl，由于即Enl能級(jí)分為兩層：2附加光譜項(xiàng)和精細(xì)結(jié)構(gòu)裂距裂開(kāi)后，兩能級(jí)之間的能量變?yōu)?/p>

（1）

代入常數(shù)得用波數(shù)表示為再由所以原子內(nèi)部的磁場(chǎng)為對(duì)于堿金屬原子，最外層的價(jià)電子感受的核電荷并不是＋Ze，也不是＋e，而是屏蔽的有效電荷Zeff=Z*。例如對(duì)鈉3P→3S躍遷時(shí)的黃光λ=589.3nm，測(cè)得雙線Δλ=0.6nm

由Δλ=ΔUλ2/hc

，算得ΔU=2.1*10-3eV利用（5）式可給出

Zeff＝3.543.堿金屬原子內(nèi)部磁場(chǎng)輻射躍遷的選擇定則

發(fā)出輻射或吸收輻射的躍遷只能在下列條件下發(fā)生:4.堿金屬光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)堿金屬光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)主線系

銳線系（第二輔線系）

漫線系（第一輔線系）

基線系（柏格曼系）以上是量子力學(xué)對(duì)堿金屬光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)的理論解釋。選擇定則雙線結(jié)構(gòu)三線結(jié)構(gòu)2P1/22P3/22S1/22P1/22P3/22S1/2雙線結(jié)構(gòu)三線結(jié)構(gòu)2P1/22P3/22D3/22D5/22D3/22D5/22F5/22F2/3鈉原子討論：1．能級(jí)由

三個(gè)量子數(shù)決定，當(dāng)

時(shí)，

，能級(jí)不分裂；當(dāng)

時(shí)，

，能級(jí)分裂為雙層。2．能級(jí)分裂的間隔由

決定當(dāng)

一定時(shí)，

大，

小，即當(dāng)

一定時(shí)，

大，

小，即3．雙層能級(jí)中，

值較大的能級(jí)較高。4．堿金屬原子態(tài)符號(hào)：

如5．單電子輻射躍遷的選擇定則1896年，荷蘭物理學(xué)家塞曼發(fā)現(xiàn)：若把光源放入磁場(chǎng)中，則一條譜線就會(huì)分裂成幾條，這種現(xiàn)象稱為塞曼效應(yīng)。

§4.5塞曼效應(yīng)一般情況下，譜線分裂成很多成分。稱為反常塞曼效應(yīng)，也叫復(fù)雜塞曼效應(yīng)。特殊情況下，譜線分裂成三種成分。稱為正常塞曼效應(yīng)，也叫簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)。

塞曼效應(yīng)反映了原子所處狀態(tài)，從塞曼效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以推斷有關(guān)能級(jí)的分裂情況，是研究原子結(jié)構(gòu)的重要途徑之一。本節(jié)從研究能級(jí)的分裂著手對(duì)正、反常塞曼效應(yīng)進(jìn)行討論。前面討論了自旋磁矩在原子內(nèi)磁場(chǎng)中的附加能量引起能級(jí)第二次分裂，導(dǎo)致光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)的情況，在原子內(nèi)，與的合成使得原子有一個(gè)總角動(dòng)量；塞曼效應(yīng)-磁場(chǎng)中的能級(jí)分裂與此對(duì)應(yīng)，原子有一個(gè)總磁的有效分量就是上面討論的；以下記為；原子放入外磁場(chǎng)時(shí)，與的作用使原子又獲得附加能量，從而導(dǎo)致能級(jí)的第三次分裂；分裂層數(shù)由附加能量的個(gè)數(shù)決定；這是產(chǎn)生塞曼效應(yīng)的本質(zhì)原因。（取方向?yàn)閆軸）下面先討論這個(gè)附加能量。磁矩在外磁場(chǎng)中的勢(shì)能為因?yàn)樗?/p>

式中m

和g都與能級(jí)有關(guān)，對(duì)于給定的l,s,j，g同樣是確定的。

分裂成2j+1個(gè)新能級(jí)，我們也常稱其為能級(jí)的第三次分裂。Mj有2j+1個(gè)值（mj=j，j-1，…-j），

即式U=mgμBB

因?yàn)閙的不同，有2j+1個(gè)不同的值原來(lái)的一個(gè)能級(jí)能級(jí)的分裂必然導(dǎo)致光譜的分裂，設(shè)某條譜線產(chǎn)生與的躍進(jìn)，加外磁場(chǎng)后，E1，E2分別變?yōu)镋1′和E2′，即

而故有由上式可見(jiàn)，原來(lái)的譜線hv現(xiàn)在變成了hv′，v′的大小和取值個(gè)數(shù)取決于△（mg），根據(jù)g

的不同又分為正常和反常塞曼效應(yīng)。a.正常塞曼效應(yīng)當(dāng)原子的總自旋

時(shí)，

，能級(jí)分裂：

，共個(gè)即只有三條譜線，其能級(jí)間隔為

。根據(jù)量子力學(xué)的計(jì)算，選擇定則不僅對(duì)量子數(shù)l，j提出了限制，對(duì)m也提出了限制。

M的選擇定則是

0正常塞曼效應(yīng)，產(chǎn)生于S=0,g=1的系統(tǒng)，此時(shí)不涉及自旋，所以經(jīng)典理論就可以對(duì)它作出解釋。在發(fā)現(xiàn)并解釋了正常塞曼效應(yīng)的同時(shí)，人們觀察到,一般情況下，光譜的分裂數(shù)目并不是三個(gè)，間隔也不相同。從1897年發(fā)現(xiàn)反常塞曼效應(yīng)，在長(zhǎng)達(dá)三十年的時(shí)間內(nèi)，人們一直無(wú)法解釋它，直到電子自旋假設(shè)提出后，反常塞曼效應(yīng)才得到合理的解釋。b.反常塞曼效應(yīng)若加外磁場(chǎng)，則兩個(gè)能級(jí)各附加能量，使能級(jí)

發(fā)生分裂，所以光譜為：：洛侖茲單位。躍遷選擇定則：

(

除外)例討論Na雙線：，；

，在外場(chǎng)中的分裂情況。解：

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，躍遷選擇定則：

(

除外)(1)格羅春圖：1/2-1/2：1/2-1/2

0,+1,-1

，分為4條。(2)格羅春圖：3/21/2-1/2-3/2：1/2-1/2

0,+1,-1

，分為六條。例鎘原子的一條譜線(，中發(fā)分裂，問(wèn)(1)原譜線分為幾條？(2)相鄰譜線的間隔為)在外場(chǎng)多少？(3