倒易點陣介紹

1倒易點陣2倒易點陣倒易點陣概念及定義倒易點陣的物理意義倒易點陣的應用3倒易點陣概念倒易點陣是一個假想的點陣.將空間點陣(真點陣或實點陣)經(jīng)過倒易變換,就得到倒易點陣,倒易點陣的外形也是點陣,但其結點對應真點陣的晶面,倒易點陣的空間稱為倒易空間。1860年法國結晶學家布拉菲提出并作為空間點陣理論的一部分，但缺乏實際應用。1921年德國物理學家埃瓦爾德把倒易點陣引入衍射領域。此后，倒易點陣成了研究各種衍射問題的重要工具。4倒易點陣定義倒易點陣的定義倒易點陣的性質晶帶定理5倒易點陣的定義倒易點陣的基本矢量垂直于正點陣異名矢量構成的平面。用a、b、c表示晶體點陣（正點陣）的基本矢量；用a*、b

*

、c

*表示倒易點陣的基本平移矢量，則倒易點陣與正點陣的基本對應關系為：點陣中單胞的體積：V=a·(b×c)=b·(a×c)

=c·(a×b)6倒易點陣基矢與正點陣基矢的關系（僅當正交晶系）7倒易點陣的性質1.正倒點陣異名基矢點乘為0;

a*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0

同名基矢點乘為1。

a*·a=b*·b=c*·c=1.2.在倒易點陣中，由原點O*指向任意坐標為hkl的陣點ghkl(倒易矢量)為：ghkl=ha*+kb*+lc*式中hkl為正點陣中的晶面指數(shù)3.倒易矢量的長度等于正點陣中相應晶面間距的倒數(shù)，即ghkl=1/dhkl4.對正交點陣，有a*∥a，b*∥b，c*∥c，

a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c，5.只有在立方點陣中，晶面法線和同指數(shù)的晶向是重合（平行）的。即倒易矢量ghkl是與相應指數(shù)的晶向[hkl]

平行的。

8ghkl=ha*+kb*+lc*

表明：1.倒易矢量ghkl垂直于正點陣中相應的[hkl]晶面，或平行于它的法向Nhkl

2.倒易點陣中的一個點代表的是正點陣中的一組晶面9晶帶定理在正點陣中，同時平行于某一晶向[uvw]的一組晶面構成一個晶帶，而這一晶向稱為這一晶帶的晶帶軸。圖示為正空間中晶體的[uvw]晶帶圖中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、（h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方向相同.晶帶定理：因為各倒易矢量都和其晶帶軸r=[uvw]垂直，固有ghkl?r=0，即hu+kv+lw=0,這就是晶帶定理。10倒易點陣的物理意義在研究晶體對X射線或對電子束的衍射效應時，某晶面{hkl}能否產(chǎn)生衍射的重要條件就是該晶面相對于入射束的取向以及晶面間距d(hkl)滿足：d(hkl)sin=n，即著名的布拉格方程，其中-入射角，-波長。各晶面的散射波干涉加強的條件是，波程差為波長的整數(shù)倍。這是滿足衍射的必要條件，但不是充分條件。11倒易點陣的物理意義為了從幾何學上形象的確定衍射條件，人們就找到一個新的點陣（倒易點陣），使其與正點陣（實際點陣）相對應。對應的條件：新點陣中的每一個結點都對應著正點陣的一定晶面，該結點既反映該晶面的取向也反映該晶面的面間距。具體條件：a.新點陣中原點O到任意結點P(hkl)（倒易點）的矢量正好沿正點陣中{hkl}面的法線方向。b.新點陣中原點O到任意結點P(hkl)的距離等于正點陣中{hkl}面的面間距的倒數(shù)。將實際晶體中一切可能的的{hkl}面所對應的倒易點都畫出來，由這些倒易點組成的點陣稱為倒易點陣。12倒易點陣的物理意義Ewald圖解是衍射條件的幾何表達式。

sinθ=λ/2d令d=λ/ghkl

（此時比例系數(shù)用X射線的波長）則sinθ=ghkl/2即某衍射面（hkl）所對應的布拉格角的正弦等于其倒易矢量長度的一半。愛瓦爾德球（反射球）(P.P.Ewald)Ewald圖解入射線反射線反射球反射方向BAPO1g(hkl)θθθ2θ14以一晶體為中心（O點），以1/λ為半徑，在空間畫一個球，這個球即為愛瓦爾德球Ewald作圖法如圖令電子束沿直徑AO*的方向入射，經(jīng)過晶體O點亦到達O*點，取O*G的長度為1/dhkl，若直角三角形ΔAO*G中,AO*與AG的夾角為θ，則ΔAO*G滿足布拉格方程，即此時電子束波長λ，晶面間距dhkl

及取向關系θhkl之間可用直角三角形表示出來：即AO*=2/λ,∠O*AG=θ,O*G=1/d，沿AO*方向入射的電子束照射在O點處的晶體，一部份電子束透射過去，一部份使晶面間距為dhkl

的（hkl）面發(fā)生衍射，在OG方向產(chǎn)生衍射束。若入射波卡量用K表示，衍射波矢量用K表示，含O*G＝G，其方向平行于（hkl）晶面的法線，則有K‘–K=G，即為布拉格方程的矢量形式。15倒易點陣的應用倒易點陣使許多晶體幾何學問題的解決變得簡易。例如單胞體積，晶面間距、晶面夾角的計算以及晶帶定理的推導等等。以下是倒易點陣的應用。1°由倒易點陣的基本性質可得：a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100（a*=G100=1/d100）在晶體點陣S中，點之間或點陣平面之間的距離用?作單位，因此，a*、b*、c*的單位為?－1。在用圖解法解決實際問題時，用相對標度值表示相對大小即可。16倒易點陣的應用2°晶面間距公式（hkl）晶面的間距dhkl為:dhkl=1/IGhklI(dhkl)-2=G2hkl=ha*+kb*+lc*217倒易點陣的應用18倒易點陣的應用3°晶面之間的夾角?，（h1、k1、l1）晶面與（h2、k2、l2）晶面之間的夾角?（也即這兩個晶面的法線之間的夾角?即為Gh1、k1、l1與Gh2、k2、l2晶面之間的夾角），故19倒易點陣的應用20倒易點陣的應用4°晶帶軸按定義，指數(shù)為（h1、k1、l1）和（h2、k2、l2）兩晶面的晶帶軸即為這兩個晶面的交線方向，若含此交線平行于某一（正）矢量，puvwp=ua+vb+wc所求晶帶軸即求出[uvw]三數(shù)即可。

（h1、k1、l1）和（h2、k2、l2）晶面的法線是平行Gh1k1l1

和Gh2k2l2于是它們的點乘為021倒易點陣的應用根據(jù)倒易基矢定義式，顯然有：為了便于記憶，一般寫成如下形式：22倒易點陣的應用證明23倒易點陣的應用24參考文獻1黃昆原(著)．韓汝琦(改編)．固體物理學[M]．北京：高等教育出版社，19882王莉.WANGLi正點陣與倒易點陣中的對應關系[期刊論文]-唐山師范學院學報2004(5)3陳難先.