八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)三角形的外角

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.2三角形的外角第十一章三角形ABCD三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．Z```xxk觀察

BCA1DACB1DACB1D外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角.三個(gè)特征:1.∠1的頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上;

2.∠1的一條邊是三角形的一條邊;3.∠1的另一條邊是三角形的某條邊的延長(zhǎng)線···畫(huà)圖并思考：畫(huà)一個(gè)△ABC，你能畫(huà)出它的所有外角來(lái)嗎？請(qǐng)動(dòng)手試一試．同時(shí)想一想△ABC的外角共有幾個(gè)呢？歸納：

每一個(gè)三角形都有６個(gè)外角．每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有２個(gè)．每個(gè)外角與相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角．124

三角形的外角與三角形的內(nèi)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?外角A3BCD相鄰內(nèi)角不相鄰內(nèi)角思考1相鄰的內(nèi)角：z```xxk不相鄰的兩內(nèi)角：探究？三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系：如圖△ABC中，則

∠ACB+∠ACD＝180°

ABCD？？

結(jié)論：

三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角1、即三角形的外角與它相鄰內(nèi)角的和為180°結(jié)論1、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。ACBD2、如圖,∠ACD是△ABC的一個(gè)外角,試說(shuō)明∠ACD=∠B+∠A你能說(shuō)出三角形的外角與每一個(gè)不相鄰的內(nèi)角之間的關(guān)系嗎?Z```xxk∵∠ACD=∠B+∠A∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B結(jié)論2、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。探究？ABCD證明：△ABC中∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形內(nèi)角和定理）∠ACB+∠ACD=180°（平角定義）∴∠ACD=∠A+∠B（等量代換）證明外角定理：∠ACD=∠A+∠BD解：過(guò)C作CE平行于ABABC12∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠A

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠BE三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和１、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。２、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與他不相鄰的內(nèi)角。三角形外角性質(zhì)3、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。2、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；1、三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)；三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系：

321ABC564思考

已知：如圖，∠1、∠2、∠3是△ABC的三個(gè)外角求證：∠1+∠2+∠3=360°結(jié)論：三角形的外角和等于360°通常把一個(gè)三角形每一個(gè)頂點(diǎn)處的一個(gè)外角的和叫做三角形的外角和。ABC123三角形的外角和360°∠1＋∠2

＋∠3

＝?從哪些途徑探究這個(gè)結(jié)果三角形的外角和

對(duì)于三角形的每個(gè)內(nèi)角，從與它相鄰的兩個(gè)外角中取一個(gè)，這樣取得的三個(gè)外角相加所得的和，叫做三角形的外角和。ABC123∠2＋∠ABC=180°∠3＋∠ACB=180°三個(gè)式子相加得到∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=540°而∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°∠1＋∠2＋∠3＝360°∠1＋∠BAC=180°解：解：過(guò)A作AD平行于BC∠3＝∠4BC1234A∠2＝∠BAD∴

∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAD=360°兩直線平行，同位角相等D∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAD判斷題：1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（）2、三角形的外角和等于它內(nèi)角和的2倍。（）3、三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和。（）4、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（）5、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角。（）6、三角形的一個(gè)內(nèi)角小于任何一個(gè)與它不相鄰的外角。（）

160°110°練一練：1、求下列各圖中∠1的度數(shù)。50°

45°

1

35°

120°

1

160°55°練習(xí)：

求各圖中∠1的度數(shù)100

o60

o1

探究2如圖,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,求∠BPC的度數(shù)。

解：連接AP并延長(zhǎng)到點(diǎn)E∵∠BPE＝∠B+∠BAP，∠CPE＝∠C+∠CAP又∵∠BPC＝∠BPE+∠CPE∴∠BPC＝∠B+∠BAP+∠C+∠CAP

＝∠BAC+∠B+∠C＝50°+40°+30°＝120°試比較∠1、∠A的大小關(guān)系？你能比較∠2、∠A的關(guān)系么？再試試看。2PABCD1練一練：2、把圖中∠1、∠2、∠3按從大到小的順序排列，并說(shuō)明理由。解：∠1＞∠2＞∠3

321ABCDE

321ABCDE解：∵∠1是△BDE的外角，∠2是△ADC的外角∴∠1＞∠2,∠2＞∠3∴∠1＞∠2＞∠3例1.已知:如圖6-14,在△ABC中,∠1是它的一個(gè)外角,E為邊AC上一點(diǎn),延長(zhǎng)BC到D,連接DE.求證:∠1>∠2.證明:∵∠1是△ABC的一個(gè)外角(已知),∴∠1>∠3(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).∵∠3是△CDE的一個(gè)外角(外角定義).∴∠3>∠2(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).∴∠1>∠2(不等式的性質(zhì)).CABF1345ED2

探究1如圖所示，在△ABC中，∠A＝a，△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)P，且∠P＝β，試探求下列各圖中a與β的關(guān)系，并選一個(gè)結(jié)論加以證明。解：①

②③

證明：（略）（1）（2）（3）如圖，△ABE和△ADC是△ABC

分別沿著AB、AC

邊翻折180°形成的.若∠1:∠2:∠3=28:5:3，則∠α的度數(shù)為

.鞏固練習(xí)a321DEABCZx.xk【練習(xí)1】如圖，AB∥CD，∠A=45°∠C=∠E，求∠C．學(xué)科網(wǎng)拓展延伸，靈活運(yùn)用

答案：22.5°【練習(xí)2】如圖，CE是△ABC

的外角∠ACD的平分線，且CE

交BA

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.證明∠BAC>∠B

．拓展延伸，靈活運(yùn)用EDCBA123BACPNMDEF挑戰(zhàn)一下！∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿＿＿。360°ABCDE(3)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)FG⌒∠B+∠D=∠EGF∠EGF+∠EFG+∠E

=180°∠A+∠C=∠EFG解：因?yàn)樗浴螦+∠B+∠C+∠D+∠E=180°⌒ABCDE(1)若∠C=30°,求∠A+∠B+∠D+∠E的值探究活動(dòng)：ＡＢＣＤ如圖，∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝

。ＥＦＧ180°