第十五章隨機(jī)模擬技術(shù)

第十五章隨機(jī)模擬技術(shù)第一節(jié)引言一、模擬的定義模擬是一種數(shù)量技術(shù)，它利用計(jì)算機(jī)化的數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)在某些不確定的條件下所做出的實(shí)際決策，來評價(jià)一些根據(jù)事實(shí)及假設(shè)所建立的可供選擇的行動方案。二、模擬的意義1.復(fù)雜的實(shí)際問題難于用解析理論處理，需要模擬方法提供數(shù)值解。2.理論研究中的某些假設(shè)或結(jié)論需要經(jīng)實(shí)際系統(tǒng)來檢驗(yàn)，計(jì)算機(jī)模擬可代替費(fèi)用昂貴的試驗(yàn)。按課程章節(jié)順序?yàn)榈?章模擬法分類

一、運(yùn)籌對策法（主要用于軍事對策和企業(yè)管理對策。如現(xiàn)代化戰(zhàn)爭的軍事演習(xí)、新式武器的試驗(yàn)等。最早于40年代末美國紐曼等人首先用運(yùn)籌模擬法解決了核屏蔽實(shí)驗(yàn)問題。）三、系統(tǒng)模擬法（是用數(shù)字對含有隨機(jī)變量的系統(tǒng)進(jìn)行模擬，可看作是蒙特卡洛法的應(yīng)用。一般說來，蒙特卡洛法用于靜態(tài)計(jì)算，而系統(tǒng)模擬法用于動態(tài)模型計(jì)算。我們主要討論此法。）

我們在排隊(duì)論中討論了M/M/C、M/G/1等系統(tǒng)，并用解析方法得出了精確解。但對于到達(dá)與服務(wù)均為任意分布的排隊(duì)系統(tǒng)的求解就不可能用那一套公式和方法。例1：設(shè)某商店顧客到達(dá)的時(shí)間間隔均勻分布在1到10分鐘之間，而每一顧客所需要的服務(wù)時(shí)間均勻分布在1到6分鐘之間。求顧客在商店所花費(fèi)的平均時(shí)間和售貨員空閑時(shí)間占全部工作時(shí)間的百分比。分析：到達(dá)與服務(wù)皆為均勻分布，不能利用M/M/C或M/G/1的公式。但由于問題的特性：可用人工方法模擬系統(tǒng)當(dāng)時(shí)的真實(shí)情況從而求解。（用標(biāo)有1-10的撲克牌及骰子分別得出用于模擬20名顧客到達(dá)間隔與服務(wù)時(shí)間的一串?dāng)?shù)稱為隨機(jī)數(shù)，從而推知相關(guān)結(jié)果。具體怎樣做?）經(jīng)考察開門后的20名顧客的被服務(wù)情況可知，20名顧客在系統(tǒng)中的全部時(shí)間是68分鐘，售貨員空閑時(shí)間是55分鐘，而售貨員從8點(diǎn)至9點(diǎn)57分在班上共117分鐘。于是可得：WS=68/20=3.4(分鐘）

P0=55/117=0.47

（空閑率過大，可加以調(diào)整）

由此例我們初步了解了系統(tǒng)模擬的方法。其中的重要步驟是得到一串關(guān)于系統(tǒng)中隨機(jī)規(guī)律的隨機(jī)數(shù)，用以模擬系統(tǒng)的真實(shí)情況（故模擬也稱仿真），從而求解。而此例中均勻分布的隨機(jī)數(shù)是采用人工方法得到的，即麻煩又不可靠，且局限性很大。所以我們還要尋求產(chǎn)生任意分布隨機(jī)數(shù)的一般方法。第二節(jié)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生2.產(chǎn)生方法(1)物理方法：一是放射性物質(zhì)隨機(jī)蛻變；二是電子管回路的熱噪聲。（如可將熱噪聲源裝于計(jì)算機(jī)外部，按其噪聲電壓的大小表示不同的隨機(jī)數(shù)。此法產(chǎn)生的隨機(jī)性最好，但產(chǎn)生過程復(fù)雜。）(2)查隨機(jī)數(shù)表----”RandTable”（1955年由美國蘭德公司編制，有隨機(jī)數(shù)100萬個。）隨機(jī)數(shù)表中的數(shù)字具有均勻的隨機(jī)性，沒有周期性。使用時(shí)，可根據(jù)需要任取一段（橫或豎）。如需20個，便可從中取（順次）20個，需要幾位取幾位，隨機(jī)數(shù)表無所謂位數(shù)，不能四舍五入。(3)由遞推公式（如同余數(shù)公式）在計(jì)算機(jī)內(nèi)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)。由于第i+1個隨機(jī)數(shù)是由第i個按一定公式推算出來的，故并非真正的隨機(jī)數(shù)。但滿足：

a）有較好的隨機(jī)、均勻性。

b）周期長、重復(fù)性差。

c）算法過程不退化（即不能反復(fù)出現(xiàn)某一常數(shù)。）

d）算法可再現(xiàn)，速度快。故這是目前最常用的方法。

二、任意概率分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生以上介紹了R的隨機(jī)數(shù)r1，r2……的產(chǎn)生方法，那么任意分布X的隨機(jī)數(shù)如何產(chǎn)生？我們說，X的隨機(jī)數(shù)x1，x2……可以利用r1，r2……得到。那么X與R間必有一定關(guān)系。這種關(guān)系又是什么？

定理：設(shè)R是服從[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量，X的分布函數(shù)為FX(x)，則X=FX-1(R)。（X=FX-1(R)即FX(X)=R。即任意分布的隨機(jī)變量X被它自己的分布函數(shù)作用后所得的隨機(jī)變量恰為R。）此定理說明：因?yàn)閤軸上的點(diǎn)經(jīng)FX(x)映射到y(tǒng)軸的[0，1]上便是的R取值（如圖）。反之，y軸的[0，1]上R的點(diǎn)經(jīng)FX-1映射到x軸便是X的取值。所以若知R的隨機(jī)數(shù)r1，r2……便可得X的隨機(jī)數(shù)x1，x2……其中xi=FX-1(ri)。注：若不加以說明則隨機(jī)數(shù)即指[0，1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。例2：利用[0，1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)r1，r2……表示服從負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)。例3：已知X的概

率分布如右表，

試根據(jù)[0，1]區(qū)間

上均勻分布R的隨

機(jī)數(shù)列36，55，

70，38，36，98，

50，95，92，67。

產(chǎn)生X的隨機(jī)數(shù)列。X

P(x)FX(x)對應(yīng)的隨機(jī)數(shù)

0123450.230.300.300.100.050.020.230.530.830.930.981.0000—2324—5354—8384—9394—9899—100分析：所給概率分布如圖，而由R轉(zhuǎn)到X需用分布函數(shù)FX（如圖）。用數(shù)表表達(dá)即累積概率。解：先求出X的累積概率

即FX(x)如右表，然后由

X=FX-1(R)得X的隨機(jī)數(shù)。

（注：當(dāng)隨機(jī)數(shù)落在交界

點(diǎn)上，如98，規(guī)定屬于前

一個范圍，當(dāng)然也可以規(guī)

定屬于后一個范圍，只要

一致即可。）RX=FX-1(R)365570383698509592671221141432第三節(jié)系統(tǒng)的模擬一、排隊(duì)系統(tǒng)的模擬例4：有一單服務(wù)臺的排隊(duì)系統(tǒng)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)資料知道到達(dá)的間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的概率分布如下表，其他條件符合標(biāo)準(zhǔn)情形。到達(dá)間隔概率累積概率對應(yīng)隨機(jī)數(shù)(a)20.460.3100.2140.1服務(wù)時(shí)間概率累積概率對應(yīng)隨機(jī)數(shù)(b)10.430.450.20.40.70.91.00.0-0.40.4-0.70.7-0.90.9-1.00.40.81.00.0-0.40.4-0.80.8-1.0(1)今由隨機(jī)數(shù)表任選兩組隨機(jī)數(shù)

RNa：902,321,211,021,198,383,107,799,439

RNb：612,484,048,605,583,773,054,853,313,200

試根據(jù)這兩組隨機(jī)數(shù)分別產(chǎn)生表示開始十位顧客的到達(dá)間隔時(shí)間的隨機(jī)數(shù)AT和表示服務(wù)時(shí)間的隨機(jī)數(shù)ST。(2)模擬這個排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行情況，這一階段共運(yùn)行多少分鐘？(3)求系統(tǒng)空閑的概率P0。顧客RNaAT進(jìn)入系統(tǒng)時(shí)刻RNbST服務(wù)時(shí)間系統(tǒng)空閑時(shí)間開始結(jié)束1—61229024843321

0484211

6055021

5836198

77373830548107853979931310439

200—14222222106014161820222426364233133315110141718212427283642317182124272833374311

35解：先求出到達(dá)間隔與服務(wù)時(shí)間的累積概率。（見上表）。然后求出AT，ST及求解(2)，(3)所需的有關(guān)數(shù)據(jù)。求解結(jié)果：

(1)AT與ST見表

(2)系統(tǒng)此階段（10位顧客）共運(yùn)行43分鐘

(3)空閑率P0=（11+3+5）/43=19/43=0.44二、存貯系統(tǒng)的模擬例5：有某種貨物的存貯系統(tǒng)，市場對這種貨物的需求量和訂貨提前期都是隨機(jī)的，它們的概率分布如下：需求量概率累積概率

00.02

10.08

20.22

30.34

40.18

50.09

60.07提前期概率累積概率

10.23

20.45

30.17

40.09

50.060.020.100.320.660.840.931.000.230.680.850.941.00

現(xiàn)在考慮訂貨、存貯、缺貨損失三項(xiàng)費(fèi)用：訂貨費(fèi)用每次25元，訂貨量每次20單位，訂貨點(diǎn)為15單位。（即存貨低于15單位時(shí)訂貨，但已訂貨未到前不再訂）存貯費(fèi)每件每周10元，缺貨損失費(fèi)每件每周500元。對于缺貨，貨到后不補(bǔ)，設(shè)開始時(shí)存貨為20單位。試?yán)盟o隨機(jī)數(shù)R1（在下表內(nèi)）模擬需求量，R2（50，86，15……）模擬訂貨提前期。模擬14周的運(yùn)行情況：周需求到貨量存貯量訂貨缺貨量隨機(jī)數(shù)R1

需求量是否訂貨提前期R2提前期020168252

390459508672744—4353143—1613√50282624