統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)2014

20.1

統(tǒng)計(jì)規(guī)律與概率理論

20.2

溫度與壓強(qiáng)

20.3

三種統(tǒng)計(jì)概率

20.4MB統(tǒng)計(jì)在理想氣體中的應(yīng)用

20.5

能量按自由度均分定理內(nèi)能

20.6

分子碰撞的統(tǒng)計(jì)規(guī)律第20章統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)2/40一個(gè)系統(tǒng)兩個(gè)方面兩種途徑兩種方法若干規(guī)律熱系統(tǒng)（氣體系統(tǒng)）系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的過(guò)程宏觀微觀熱力學(xué)方法統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法宏觀微觀熱力學(xué)方法統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法熱學(xué)是研究物質(zhì)熱現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科

熱學(xué)的基本內(nèi)容

20.1統(tǒng)計(jì)規(guī)律與概率理論一、介紹大量微觀微粒組成的宏觀體系，熱力學(xué)系統(tǒng)。e.g.

氣體1、研究的對(duì)象2、研究的目的

阿伏伽德羅常數(shù)

NA=6.023×1023/mol宏觀量:如:氣體的V,P,T...描述系統(tǒng)整體特征的物理量.微觀量:如:粒子的系統(tǒng)中描述單個(gè)粒子特征的物理量.宏觀狀態(tài)參量平衡態(tài):

在不受外界影響的條件下，一個(gè)系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變的狀態(tài)。

系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí),系統(tǒng)的宏觀量具有穩(wěn)定值,而單個(gè)粒子的微觀量在不斷變化。了解氣體的宏觀狀態(tài)參量與分子微觀運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。4/402)物質(zhì)的分子在永不停息地做無(wú)序運(yùn)動(dòng)3)物質(zhì)的分子間存在相互作用力擴(kuò)散布朗運(yùn)動(dòng)合力斥力引力O氣體系統(tǒng)的特點(diǎn)：實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，大量分子運(yùn)動(dòng)符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律。3、物質(zhì)的微觀模型1)宏觀物體由大量微?！肿?原子)組成的，非天衣無(wú)縫。

e.g.氣體可壓縮；液體混合，體積變小。

大量,雜亂無(wú)章,無(wú)法建立動(dòng)力學(xué)方程。5/40二、統(tǒng)計(jì)方法的一般概念

---大量偶然事件整體所遵從的規(guī)律.加爾頓板實(shí)驗(yàn):單個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)----偶然事件(落入那個(gè)槽)大量粒子運(yùn)動(dòng)----統(tǒng)計(jì)規(guī)律(粒子在槽中的分布)1、統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律特點(diǎn):(2)是與單個(gè)粒子遵循的動(dòng)力學(xué)規(guī)律有本質(zhì)區(qū)別的新規(guī)律。(3)與系統(tǒng)所處宏觀條件有關(guān)。(4)存在起伏(漲落)。（漲落是一個(gè)學(xué)科方向）(1)對(duì)大量偶然事件有效,對(duì)少量事件不適用。統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為：系統(tǒng)的宏觀量是在測(cè)量時(shí)間內(nèi),系統(tǒng)所有微觀狀態(tài)中相應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值!6/402、概率（幾率）定義實(shí)驗(yàn)總觀測(cè)次數(shù)為N,其中出現(xiàn)結(jié)果A

的次數(shù)為NA

事件A出現(xiàn)的概率概率是用來(lái)衡量偶然事件出現(xiàn)可能性大小的量。3、概率的基本性質(zhì)(1)W=0為不可能事件;W=1為必然事件.(2)A,B為互斥事件,不可能同時(shí)出現(xiàn),則出現(xiàn)A或B的總概率---概率疊加原理（3）歸一化條件:對(duì)所有可能發(fā)生的事件的概率之和必為1.或(4)J,K為相容事件(可同時(shí)出現(xiàn)），則同時(shí)發(fā)生J和K的概率.----概率乘法定理

20.2溫度與壓強(qiáng)一、理想氣體的壓強(qiáng)1、壓強(qiáng)的產(chǎn)生密集雨點(diǎn)對(duì)雨傘的沖擊力單個(gè)分子碰撞器壁的作用力是不連續(xù)的、偶然的、不均勻的。大量氣體分子對(duì)器壁持續(xù)不斷的碰撞產(chǎn)生壓力。氣體分子器壁V--

氣體分子自由活動(dòng)的空間p

--分子碰撞器壁的集體表現(xiàn)單個(gè)分子多個(gè)分子平均效果8/402、理想氣體分子模型1）分子作完全無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)。2）分子大小可以忽略。3）分子間作用力（除碰撞外）可以忽略。4）分子間，分子與器壁間完全彈性碰橦。結(jié)論：理想氣體的模型是：理想氣體自由地?zé)o規(guī)則運(yùn)動(dòng)的彈性小球的集合。①在平衡態(tài)下分子按位置的分布是均勻的。②平衡狀態(tài)下分子沿任何方向的運(yùn)動(dòng)都不占優(yōu)勢(shì)，因而有:③推導(dǎo)未考慮分子間的相互碰撞。（認(rèn)為分子間碰撞不影響單位時(shí)間內(nèi)分子與器壁的碰撞次數(shù)）3、推導(dǎo)壓強(qiáng)公式的統(tǒng)計(jì)假設(shè)9/404、壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)..N

個(gè)分子先考慮一個(gè)分子的貢獻(xiàn)每碰撞一次分子受到的沖量墻受到的沖量也是方向⊥向外。經(jīng)過(guò)碰一次，1秒鐘碰次墻平均1秒受到的沖量(即沖力)N個(gè)分子單位面積上受力由于彈性碰撞，反射角=入射角。v1大小不變10/40討論；1）壓強(qiáng)公式將宏觀量p

和微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值聯(lián)系在一起2）有一定分布（平衡態(tài)）。3）闡明了p

的微觀本質(zhì)（定性、定量）。4）知道了p

很容易了解溫度T的微觀本質(zhì)。5）理解復(fù)合氣體的壓強(qiáng)。11/40二、溫度的微觀意義依壓強(qiáng)公式及理想氣體狀態(tài)方程玻耳慈曼常數(shù)：兩種壓強(qiáng)公式比較，得到理想氣體溫度公式2.溫度反映分子熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。1.溫度是描述宏觀熱力學(xué)系統(tǒng)平衡態(tài)的一個(gè)物理量。3.溫度是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，是大量分子的集體行為。5.溫度--氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的方均根速率4.溫度---分子雜亂無(wú)章的熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能。12/4020.3三種統(tǒng)計(jì)規(guī)律一、介紹統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律大量粒子熱運(yùn)動(dòng)遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律經(jīng)典粒子（可以分辨、跟蹤）微觀粒子（不可分辨、跟蹤）費(fèi)密子：電子玻色子：光子目的：尋找并掌握平衡狀態(tài)（概率最大的狀態(tài)）下粒子的分布規(guī)律經(jīng)典粒子M-B分布分子按速度有一定的分布。費(fèi)密子F-D分布電子按能級(jí)有一定的分布。玻色子B-E分布光子按能量hν有一定的分布。

（熱輻射規(guī)律）13/40二、數(shù)學(xué)準(zhǔn)備1、斯特令公式2、拉格朗日乘子法:在約束條件下求極值的方法若μ個(gè)自變量是彼此獨(dú)立的，則3、相空間:描述一個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)x,y,z,px,py,pz

以此六個(gè)參量為軸的六維空間，稱為相空間。一點(diǎn)代表粒子的一個(gè)狀態(tài)。相空間以dω表示相體積1)粒子位于2）3）粒子在V中粒子位于14/40

假定粒子的一個(gè)狀態(tài)在相空間中的相體積為h3因此在中的狀態(tài)數(shù)三、等概率原理宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)左右宏觀上兩部分各有多少粒子？不區(qū)分究竟是哪個(gè)粒子。微觀上具體哪個(gè)粒子在左？哪個(gè)粒子右？同一宏觀態(tài)兩種微觀態(tài)a,b,c,d四個(gè)粒子46411宏觀態(tài)微觀態(tài)等概率原理：處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，各可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。15/40

平衡狀態(tài)下，多粒子體系的分布規(guī)律。粒子如何按相槽或能級(jí)分布的。

1、經(jīng)典的眼光看粒子

1）粒子可以分辨的（可以跟蹤，可以編號(hào)）。分辨與不可分辯abcd可分辯16個(gè)微觀狀態(tài)不可分辯●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●5個(gè)微觀狀態(tài)。2）一個(gè)相槽可以容納多個(gè)粒子。2、理論依據(jù)

1）等幾率假設(shè)

2）平衡態(tài)是幾率最大的狀態(tài)（最概然分布）四、M-B分布16/40能級(jí)上每個(gè)狀(量子)態(tài)被占據(jù)的概率討論過(guò)程中要用到等概率假設(shè)和約束條件約束條件:

孤立體系各種狀（量子）態(tài)εi可能的（占據(jù)方式）微觀狀態(tài)數(shù)Ω(1)求將N個(gè)粒子按分別放到能量為（2）求Ω取最大值的分布,即最概然分布(3)求在最概然分布下,每個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)求經(jīng)典粒子（例：氣體分子）按能量的最概然分布的思路17/40(3)個(gè)粒子分別占用能級(jí)的個(gè)狀態(tài)的占據(jù)方式為系統(tǒng)總微觀狀態(tài)數(shù)

N個(gè)可區(qū)分粒子，分為個(gè)粒子的組合方式為(1)

Ni個(gè)經(jīng)典粒子分布在能級(jí)的個(gè)狀態(tài)上的占據(jù)方式為(2)求經(jīng)典粒子（例：氣體分子）按能量的最概然分布的過(guò)程18/40(4)為使Ω極大,令利用斯特令公式

因而19/40由宏觀約束條件（5）

由宏觀約束條件確定

由拉格朗日乘子法原理經(jīng)典粒子按能級(jí)的最概然分布M-B分布溫度為T(mén)的平衡態(tài)理想氣體在能量為i的每個(gè)狀態(tài)上分布的平均粒子數(shù)20/40五、F-D和B-E分布

費(fèi)米子；自旋是1/2的奇數(shù)倍。e，μ子，質(zhì)子，中子等。全同性粒子。每個(gè)狀態(tài)只容納一個(gè)粒子。

F—D分布；平衡狀態(tài)下的孤立系統(tǒng)，N個(gè)全同粒子特定分布；N1,-------------Nμε1，-----------εμ

g1,--------------gμ

將N分成μ堆；1種方法將N1個(gè)粒子放在g1個(gè)位置(一個(gè)位置最多一個(gè))上；有種方法。得平衡狀態(tài)--------利用21/40B—E分布玻色子；自旋是1/2的偶數(shù)倍，全同性粒子，每一個(gè)狀態(tài)可以容納多個(gè)粒子。光子，介子。

N

Ｎ１－－－－－Ｎμ

ε１－－－－－εμｇ１－－－－－ｇμ將Ｎ１個(gè)粒子放在ｇ１個(gè)位置上，每個(gè)位置可容納多個(gè)粒子。第一個(gè)量子態(tài)是固定的。則方法有

·

·

·

·

·

·

·

·平衡狀態(tài)下22/4020.4MB統(tǒng)計(jì)在理想氣體中的應(yīng)用一、麥克斯韋分子速度分布律

利用M-B分布可導(dǎo)出在沒(méi)有勢(shì)場(chǎng)情況下，理想氣體按速度的分布規(guī)律。對(duì)理想氣體，在溫度T的平衡態(tài)下:求分子速度在的概率利用M-B分布取為零23/40利用24/40不考慮分子速度的方向，只考慮速度大小,在T的平衡態(tài)下，理想氣體分子速率在υ--υ

+dυ

范圍內(nèi)的概率（麥克斯韋分子速率分布率）為ovyvzvxv二、麥克斯韋分子速率分布律定義速率分布函數(shù)：在速率υ的附近，單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比----概率密度25/401)、特點(diǎn)：兩頭小，中間大，中等速率的分子數(shù)很多2)、滿足歸一化條件26/404)、最概然速率（最可幾速率）---f(υ)--υ曲線極大值所對(duì)應(yīng)的速率υ

pυ

p

的物理意義：υ

p

附近概率密度最大（同樣速率間隔dυ,

速率在υ

p–υp+dυ的分子數(shù)最多)由及3)、求平均值平均速率方均根速率27/405)、三種速率平均速率方均根速率最概然速率vvpof(v)用途不同T2υf(υ)T1T2？T1

υm2f(υ)m2?m1m128/40速率大于υ1的粒子的速率平均值由例1例2已知：N個(gè)粒子的速率分布函數(shù)為求：平均速率解：由29/40外力場(chǎng)中,粒子在的分子數(shù)為對(duì)所有速度積分,由速度分布函數(shù)的歸一化條件,得得體積元dxdydz內(nèi)的總分子數(shù):三、重力場(chǎng)中粒子按高度分布30/40用空間粒子數(shù)密度表示:n0為Ep=0處的粒子數(shù)密度重力場(chǎng)中重力場(chǎng)中粒子按高度的分布--恒溫氣壓公式31/40空氣密度氣體壓強(qiáng)可以看作單位面積上空氣柱重量由重力場(chǎng)中粒子按高度的分布另一種推導(dǎo)方法：32/4020.5能量均分定理內(nèi)能一、能量均分定理1、自由度確定一物體的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目s1)平動(dòng)自由度t

平動(dòng)動(dòng)能為三個(gè)獨(dú)立的速度分量的平方項(xiàng)之和2)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為三個(gè)獨(dú)立的角速度分量的平方項(xiàng)之和剛體的自由運(yùn)動(dòng)

(平動(dòng))+(轉(zhuǎn)動(dòng))動(dòng)能為六個(gè)獨(dú)立的平方項(xiàng)之和33/403)振動(dòng)自由度兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的變化能量為二個(gè)平方項(xiàng)之和若有v個(gè)振動(dòng)自由度，能量為2v個(gè)平方項(xiàng)之和v個(gè)動(dòng)能，v個(gè)勢(shì)能2、分子的自由度單原子分子(He、Ne、Ar等)只有平動(dòng)自由度能量表達(dá)式中有三個(gè)獨(dú)立平方項(xiàng)雙原子分子(O2、H2、CO等)剛性能量表達(dá)式中有五個(gè)獨(dú)立平方項(xiàng)多原子分子（H2O、CH4）剛性能量表達(dá)式中有六個(gè)獨(dú)立平方項(xiàng)34/40理想分子位于平衡態(tài)3、能量均分定理：平動(dòng)動(dòng)能表達(dá)式中，每一個(gè)平方項(xiàng)的平均值都是在溫度為T(mén)的平衡態(tài)下，系統(tǒng)中分子能量表達(dá)式中每一個(gè)獨(dú)立的平方項(xiàng)都具有相同的平均熱運(yùn)動(dòng)能量，其大小等于

一個(gè)分子的總平均能量35/40內(nèi)能是狀態(tài)量.通常理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)

廣義內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)所有粒子各種能量的總和.

熱力學(xué)內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)所有分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能和分子間相互作用勢(shì)能之和.

理想氣體內(nèi)能：僅為分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之和.只含有一種分子的1mol理想氣體ν

mol理想氣體單原子分子雙原子分子多原子分子平均動(dòng)能1mol理想氣體的內(nèi)能二、內(nèi)能36/4020.6分子碰撞的統(tǒng)計(jì)規(guī)律一、問(wèn)題的提出前面已講過(guò)：分子速率在幾百米/秒的數(shù)量級(jí)，但為什么食堂炸油餅時(shí)并不能馬上聞到油香味呢？

原來(lái)分子速率雖高，但分子在運(yùn)動(dòng)中還要和大量的分子碰撞這正于散電影后，路上人很多，你想走快也快不了。碰撞是分子的第二特征。（第一特征是分子作永恒的運(yùn)動(dòng)）分了碰撞也是“無(wú)規(guī)則”的。相隔多長(zhǎng)時(shí)間碰撞一次？37/40

分子熱運(yùn)動(dòng)碰撞示意圖dddu分子平均碰撞頻率假設(shè)：1)同種分子，分子有效直徑2)彈性碰撞3)一個(gè)分子運(yùn)動(dòng)，其余不動(dòng)一個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)所受到的平均碰撞次數(shù)稱為平均碰撞頻率，二、分子平均碰撞頻率

由于分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相同,所有兩分子運(yùn)動(dòng)方向的平均夾角將是0°至180°之間的平均值為90°因此所以38/40即每秒內(nèi)一個(gè)分子要發(fā)生幾十億次踫撞.例：H2常溫常壓常溫常壓下,數(shù)量級(jí)為分子在連續(xù)兩次碰撞間所通過(guò)的自由路程的平均值。將p=nkT

代入上式得約為分子直徑10-10米的1000倍三、平均自由程39/40例.

真空管的線度為10-2m，真空度為1.3310-3Pa,設(shè)空氣分子有效直徑為310-10m，求270C時(shí)單位體積內(nèi)的空氣分子數(shù)，平均自由程和碰撞頻率。解：例.

在半徑為R的球型容器里貯有分子有效直徑為d的氣體，試求該容