第四章向量組的線性相關(guān)性

第四章

向量組的線性相關(guān)性§1向量組及其線性組合定義：若干個同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為向量組．當(dāng)R(A)<

n時，齊次線性方程組Ax=0的全體解組成的向量組含有無窮多個向量．結(jié)論：含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)．有限向量組定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，對于任何一組實數(shù)

k1,k2,…,km

，表達式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A

的一個線性組合．k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數(shù)．定義：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實數(shù)l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組

A

的線性表示．例：設(shè)那么線性組合的系數(shù)e1,e2,e3的線性組合一般地，對于任意的n維向量b

，必有n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維單位坐標(biāo)向量．結(jié)論：含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)．向量b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解P.83定理1的結(jié)論：定義：設(shè)有向量組A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量組B

中的每個向量都能由向量組A

線性表示，則稱向量組B

能由向量組A

線性表示．若向量組A

與向量組B

能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價．口訣：左行右列定理：設(shè)A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在

A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在

A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.結(jié)論：若C=AB，那么矩陣C

的行向量組能由矩陣B

的行向量組線性表示，A為這一線性表示的系數(shù)矩陣．（A

在左邊）矩陣C

的列向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示，B為這一線性表示的系數(shù)矩陣．（B

在右邊）A經(jīng)過有限次初等列變換變成B存在有限個初等矩陣P1,P2,…,Pl，使AP1

P2…,Pl=B存在m

階可逆矩陣

P，使得AP=B矩陣B

的列向量組與矩陣A

的列向量組等價矩陣B

的行向量組與矩陣A

的行向量組等價同理可得口訣：左行右列.把

P

看成是線性表示的系數(shù)矩陣向量組B：b1,b2,…,bl能由向量組A：a1,a2,…,am線性表示 存在矩陣K，使得AK=B

矩陣方程AX=B

有解

R(A)=R(A,B)（P.84定理2）

R(B)≤R(A)（P.85定理3）推論：向量組A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl等價的充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A,B)．證明：向量組A和B等價向量組B能由向量組A

線性表示向量組A能由向量組B

線性表示從而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因為R(B)≤R(A,

B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)例：設(shè)證明向量b能由向量組a1,a2,a3

線性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

線性表示當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=R(A,b)．因為R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

線性表示．行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為通解為所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．小結(jié)向量

b

能由向量組

A線性表示線性方程組

Ax=b

有解向量組

B

能由向量組

A線性表示矩陣方程組AX=B

有解向量組

A

與向量組

B等價知識結(jié)構(gòu)圖n維向量向量組向量組與矩陣的對應(yīng)向量組的線性組合向量組的線性表示向量組的等價判定定理及必要條件判定定理§2向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，如果存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的．向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)m元齊次線性方程組Ax=0有非零解R(A)<

m備注：給定向量組A，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)，兩者必居其一．向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，通常是指m≥2的情形.若向量組只包含一個向量：當(dāng)

a

是零向量時，線性相關(guān)；當(dāng)

a不是零向量時，線性無關(guān)．向量組A：a1,a2,…,am(m≥2)線性相關(guān)，也就是向量組A

中，至少有一個向量能由其余m－1個向量線性表示． 特別地，a1,a2線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2的分量對應(yīng)成比例，其幾何意義是兩向量共線．a(chǎn)1,a2,a3

線性相關(guān)的幾何意義是三個向量共面．向量組線性相關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．向量組線性無關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān) 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m． 向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．向量組線性相關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．向量組線性無關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān) 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m． 向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．例：試討論n

維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性．例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．解：可見R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)；同時，R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關(guān)．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解題思路：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題；轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解法1：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題．已知，記作B=AK．設(shè)Bx=0，則(AK)x=A(Kx)=0．因為向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，所以Kx=0．又|K|=2≠0，那么Kx=0只有零解

x=0，從而向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題．已知，記作B=AK．因為|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，R(A)=3，從而R(B)=3，向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．定理（P.89定理5）

若向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，則向量組B：a1,a2,…,am,am+1

也線性相關(guān)． 其逆否命題也成立，即若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān)．m

個n

維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n

小于向量個數(shù)m

時，一定線性相關(guān)． 特別地，n+1個n

維向量一定線性相關(guān)．設(shè)向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)，而向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關(guān)，則向量b

必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的．§3向量組的秩向量組的秩的概念定義：設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關(guān)；那么稱向量組A0是向量組A

的一個最大線性無關(guān)向量組，簡稱最大無關(guān)組．最大無關(guān)組所含向量個數(shù)r

稱為向量組A

的秩，記作RA．矩陣線性方程組有限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

能否由向量組A

線性表示一般地，矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．（P.90定理6）一般地，矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．（P.90定理6）今后，向量組a1,a2,…,am的秩也記作R(a1,a2,…,am)．若Dr

是矩陣A

的一個最高階非零子式，則Dr所在的

r

列是A

的列向量組的一個最大無關(guān)組，Dr所在的

r行是A

的行向量組的一個最大無關(guān)組．向量組的最大無關(guān)組一般是不唯一的．例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．解：可見R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關(guān)，同時，R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)，從而a1,a2

是向量組a1,a2,a3的一個最大無關(guān)組．事實上，a1,a3

和a2,a3也是最大無關(guān)組．最大無關(guān)組的等價定義結(jié)論：向量組A和它自己的最大無關(guān)組A0是等價的．定義：設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關(guān)；向量組A

中任意一個向量都能由向量組A0

線性表示；那么稱向量組A0是向量組A

的一個最大無關(guān)組．矩陣線性方程組有限向量組無限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

能否由向量組A

線性表示向量組與自己的最大無關(guān)組等價最大無關(guān)組的意義結(jié)論：向量組A和它自己的最大無關(guān)組A0是等價的．用A0來代表A，掌握了最大無關(guān)組，就掌握了向量組的全體． 特別，當(dāng)向量組A為無限向量組，就能用有限向量組來代表．凡是對有限向量組成立的結(jié)論，用最大無關(guān)組作過渡，立即可推廣到無限向量組的情形中去．例：求矩陣的秩，并求A

的一個最高階非零子式．例：設(shè)矩陣求矩陣A

的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示．第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個非零元所在的列

，與之對應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個非零行，故R(A)=3．R(A0)=3，計算A0的前3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個最高階非零子式．A0的3個列向量就是矩陣A

的列向量組的一個最大無關(guān)組．思考：如何把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合？思路1：利用P.83定理1的結(jié)論思路2：利用矩陣A

的行最簡形矩陣．向量b能由向量組A線性表示線性方程組Ax=b

有解令A(yù)0

=

(a1,a2,a4)求解A0x

=

a3

A0x

=

a5解（續(xù)）：為把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合，把矩陣A

再變成行最簡形矩陣于是Ax=0與Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解．即矩陣

A的列向量組與矩陣

B的列向量組有相同的線性關(guān)系.可以看出：

b3=?b1?b2 b5=4b1+3b2?3b4所以

a3=?

a1?

a2 a5=4a1+3a2?3a4§4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)回顧：線性方程組的解的判定包含n個未知數(shù)的齊次線性方程組Ax=0

有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)<

n．包含n個未知數(shù)的非齊次線性方程組Ax=b

有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)=R(A,b)，并且當(dāng)R(A)=R(A,b)=n時，方程組有唯一解；當(dāng)R(A)=R(A,b)<

n時，方程組有無限多個解．引言問題：什么是線性方程組的解的結(jié)構(gòu)？答：所謂線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，就是當(dāng)線性方程組有無限 多個解時，解與解之間的相互關(guān)系．備注：當(dāng)方程組存在唯一解時，無須討論解的結(jié)構(gòu)．下面的討論都是假設(shè)線性方程組有解．解向量的定義定義：設(shè)有齊次線性方程組Ax=0，如果x1=x11，

x2=x21，...，xn=xn1為該方程組的解，則稱為方程組的解向量．齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)1：若x=x1，

x=x2

是齊次線性方程組Ax=0的解， 則x=x1+x2

還是Ax=0的解．證明：A(x1+x2)=

Ax1+Ax2

=0+0=0．性質(zhì)2：若x=x是齊次線性方程組Ax=0的解，k為實數(shù)， 則x=kx

還是Ax=0的解．證明：

A(kx)=

k(Ax)

=k0=0．結(jié)論：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齊次線性方程組Ax=0的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt

還是Ax=0的解.結(jié)論：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齊次線性方程組Ax=0

的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt

還是Ax=0

的解.已知齊次方程組Ax=0的幾個解向量，可以通過這些解向量的線性組合給出更多的解．能否通過有限個解向量的線性組合把Ax=0的解全部表示出來？把Ax=0的全體解組成的集合記作S，若求得S

的一個最大無關(guān)組S0：x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

，那么Ax=0的通解可表示為x=k1x1+k2x2+…+ktxt

．齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（不唯一）．回顧：向量組的秩的概念定義：設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足①向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；②向量組A中任意r+1個向量（如果A中有r+1個向量的話）都線性相關(guān)；②'

向量組A中任意一個向量都能由向量組A0線性表示；那么稱向量組A0是向量組A的一個最大無關(guān)組．向量組的最大無關(guān)組一般是不唯一的．返回基礎(chǔ)解系的概念定義：齊次線性方程組Ax=0的一組解向量：x1,x2,...,xr如果滿足①

x1，x2，...，xr線性無關(guān)；②方程組中任意一個解都可以表示x1,x2,...,xr的線性組合，那么稱這組解是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系．后n-r

列前r

列設(shè)

R(A)=r，為敘述方便，不妨設(shè)A行最簡形矩陣為對應(yīng)的齊次線性方程組令xr+1,…,xn作自由變量，則令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則齊次線性方程組的通解記作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（滿足基礎(chǔ)解系②）

n

?

r

列前

r

行后

n

?

r

行故R(x1,

x2,…,xn-r)=n

?

r

，即x1,

x2,…,xn-r線性無關(guān)．（滿足基礎(chǔ)解系①）于是x1,

x2,…,xn-r就是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系．令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則線性方程組的通解記作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（滿足基礎(chǔ)解系②）

此即為Ax=0

的基礎(chǔ)解系．通解為

x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，則令定理：設(shè)m×n

矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩RS=n

?r．基礎(chǔ)解系的求解例：求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．方法1：先求出通解，再從通解求得基礎(chǔ)解系．即令x3=c1，x4=c2，得通解表達式因為方程組的任意一個解都可以表示為x1,x2

的線性組合．x1,x2的四個分量不成比例，所以x1,x2線性無關(guān)．所以x1,x2是原方程組的基礎(chǔ)解系．方法2：先求出基礎(chǔ)解系，再寫出通解．即令合起來便得到基礎(chǔ)解系，得還能找出其它基礎(chǔ)解系嗎？問題：是否可以把x1

選作自由變量？答：可以，因為是否把系數(shù)矩陣化為行最簡形矩陣，其實并不影響方程組的求解．當(dāng)兩個矩陣行等價時，以這兩個矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組同解．令x1=c1，x2=c2，得通解表達式即從而可得另一個基礎(chǔ)解系：h1和h2．定理：設(shè)m×n

矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩RS=n

?r．例：設(shè)Am×nBn×l=O（零矩陣），證明R(A)+R(B)≤n．例：證明R(ATA)=R(A)．例：設(shè)n

元齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解，證明R(A)=R(B)．非齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)3：若x=h1，

x=h2

是非齊次線性方程組Ax=b的解，則x=h1?h2

是對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0

（導(dǎo)出組）的解．證明：A(h1?h2)=

Ah1?Ah2

=b?b=0．性質(zhì)4：若x=h是非齊次線性方程組Ax=b的解，x=x是導(dǎo)出組Ax=0的解，則x=x+h

還是Ax=b

的解．證明：

A(x+h

)=

Ax+Ah

=0+b=b．根據(jù)性質(zhì)3和性質(zhì)4可知若x=h*

是Ax=b

的解，x=x

是Ax=0

的解，那么

x=x+h*

也是Ax=b

的解．設(shè)Ax=0

的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．于是Ax=b

的通解為h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*例：求線性方程組的通解．解：容易看出是方程組的一個特解

．其對應(yīng)的齊次線性方程組為根據(jù)前面的結(jié)論，導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為于是，原方程組的通解為小結(jié)：關(guān)于線性方程組求解線性方程組（第三章，利用矩陣的初等行變換）線性方程組的幾何意義（第四章，四種等價形式）齊次線性方程組的通解能由它的基礎(chǔ)解系來構(gòu)造．基礎(chǔ)解系是解集S

的最大無關(guān)組．解集S是基礎(chǔ)解系的所有可能的線性組合．非齊次線性方程組的通解與其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系.§5向量空間封閉的概念定義：所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結(jié)果仍屬于該集合．例：試討論下列數(shù)集對四則運算是否封閉？整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R向量空間的概念定義：設(shè)V是n維向量的集合，如果①集合V非空，②集合V對于向量的加法和乘數(shù)兩種運算封閉，具體地說，就是：若a

∈

V，b

∈

V，則a+b

∈

V．（對加法封閉）若a

∈

V，l

∈

R，則l

a

∈

V．（對乘數(shù)封閉）那么就稱集合V為向量空間．例：下列哪些向量組構(gòu)成向量空間？

n

維向量的全體Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}非齊次線性方程組的解集S2={x|Ax=b}解：集合Rn，V1，S1是向量空間，集合V2，S2不是向量空間．定義：齊次線性方程組的解集稱為齊次線性方程組的解空間.例：設(shè)a,b為兩個已知的n維向量，集合L={la+mb|l,m∈R}是一個向量空間嗎？解：設(shè)x1,x2∈L，k∈R，因為x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b) =(l1+l2)a+(m1

+m2)

b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L

所以，L

是一個向量空間．定義：把集合L={la+mb|l,m∈R}稱為由向量a,b所生成的向量空間．一般地，把集合

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}稱為由向量a1

,a2

,...,am所生成的向量空間．例：設(shè)向量組a1

,a2

,...,am和b1

,b2

,...,bs等價，記L1={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}，L2={m1b1+m2b2+…+msbs|m1,m2,...,ms∈R}，試證L1=L2．結(jié)論：等價的向量組所生成的空間相等．a(chǎn)laL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablamba1a2L1={l1a1+l2a2|l1,l2∈R}L2={m1b1+m2b2|m1,m2∈R}則

L1=L2L3={m1b1+m2b2+m3b3|m1,m2,m3∈R}問題：L1=L2=L3?b1b2b3返回子空間的概念定義：如果向量空間V的非空子集合V1對于V中所定義的加法及乘數(shù)兩種運算是封閉的，則稱V1是V的子空間．例：

n

維向量的全體Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}解：V1是Rn

的子空間，V2不是Rn

的子空間．向量空間的基的概念定義：設(shè)有向量空間

V，如果在V中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足①a1,a2,…,ar線性無關(guān)；②V中任意一個向量都能由a1,a2,…,ar線性表示；那么稱向量組a1,a2,…,ar

是向量空間V的一個基．r稱為向量空間V的維數(shù)，并稱V為r維向量空間

．向量空間向量空間的基向量空間的維數(shù)向量組向量組的最大無關(guān)組向量組的秩

n

維向量的全體Rn解：En

的列向量組是Rn的一個基，故Rn

的維數(shù)等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}解：En

的后n－1個列向量是V1的一個基，故

V1的維數(shù)等于n－1

．

n

元齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}解：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是S1的一個基，故

S1的維數(shù)等于n－R(A)．

n

維向量的全體Rn解：En

的列向量組是Rn的一個基，故Rn

的維數(shù)等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}解：En

的后n－1個列向量是V1的一個基，故

V1的維數(shù)等于n－1

．結(jié)論：若V1是V

的子空間，則V1的維數(shù)不超過V的維數(shù)．

n

元齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}解：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是S1的一個基，故

S1的維數(shù)等于n－R(A)．由a1

,a2

,...,am所生成的向量空間L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}若a1

,a2

,...,am線性無關(guān)，則

a1

,a2

,...,am是向量空間L

的一個基．若a1

,a2

,...,am線性相關(guān)，則

向量組A：a1

,a2

,...,am等價于 向量組A的最大無關(guān)組A0：a1

,a2

,...,ar從而L=L1={l1a1+l2a2+…+lr

ar|l1,l2,...,lr∈R}故向量組A0就是L的一個基，A0中向量的個數(shù)就是L的維數(shù).由a1

,a2

,...,am所生成的向量空間L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}解：

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}

向量組A：a1

,a2

,...,am等價