二次根式章節(jié)知識點題型及鞏固習(xí)題

二次根式知識點一： 二次根式的概念定義:一般地，形如Oa(a>0的代數(shù)式叫做二次根式?！岸　狈Q為二次根號。注意：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以。之。是G為二次根式的前提條件，如后，耳，1,而二1(工21)等是二次根式，而阮,等都不是二次根式。例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：氏、親、>、&(x>0)、而、x短、一向1、原而(x>0,y?>0).xy知識點二：取值范圍1、？？二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng) a呈0時，石有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2、？二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng) a<0時，沒有意義。例2.當(dāng)x是多少時，J3x+1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?例3.當(dāng)x是多少時，必+3+，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？x1知識點三：二次根式Ja(a>0)的非負(fù)性Ja(a>0表示a的算術(shù)平方根，也就是說，aa(a>0)是一個非負(fù)數(shù)，即Va>(a>。。注：因為二次根式Ja(a>(J)表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)， 0的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)(a》0的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即Va>(a>0,這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。例4(1)已知丫=拒=1+&二2+5,求工的值.y(2)若%-a+i+Jb=1二0,求a2004+b2004的值知識點四：二次根式oa2的性質(zhì)Ua2=a(a>J

文字語言敘述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。2注：二次根式的性質(zhì)公式Qa）=a（a>0是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。例1例1計算（V52例2在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：(1)x2—3 (2)X4-4知識點五：二次根式的性質(zhì)文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡正時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0,則等于a本身，即必二小四之0）；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即必二|。卜-；2、正中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值，1一定有意義；3、化簡正時，先將它化成同，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。例1化簡（1）&（2）Ji、 （3）踮（4）J-2~2 -2例2填空：當(dāng)a》0時，0a=;當(dāng)a<0時，0a=,?并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.2（1）若0a=a,則a可以是什么數(shù)？（2）若Va=-a,則a是什么數(shù)？ （3）Va>a,則a是什么數(shù)？例3當(dāng)x>2,化簡V（x-22-v,（1-2xf.知識點六：（、局’與舊的異同點1、不同點：（而,與必表示的意義是不同的，（而‘表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而正表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在（能）“中修之0,而護(hù)中a可以是正實數(shù)，0,負(fù)實數(shù)。但（而與6都是非負(fù)數(shù)，即—。，—-U。因而它的運算的「 gi=r叱°）結(jié)果是有差別的，（如二以2。）？，而 ［一4於0）2、相同點：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即。視時，?）’=◎；"<。時，（g）’無意義，

而一:知識點七：二次根式的乘除1、乘法,a?、,b=..abb>0)反過來：1、乘法,a?、,b=..abb>0)反過來：■.ab=,a?、,6(a>0,bn0)2、除法b>0)反過來,a、..a=f=^(a>0，bbb>0)例1.計算99x亞99x亞例2化簡1681J9x21681J9x2y2V54例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正:、25=4..12=8、3(2)=425(1)(2)4(3)(2)(3)(4)64311=4X12412259x64y25x169y2、25=4..12=8、3(2)=425(1)(2)4(3)(2)(3)(4)64311=4X12412259x64y25x169y2(DJ-5.化簡1225116..64(4)-=-8x2-5x4x2-164b29a26.9^x=W9W,且x為偶數(shù)，求(1+x)x-6 x-6(1)J(〃(-9)=Kx/知識點八：最簡二次根式與同類二次根式1、最簡二次根式應(yīng)滿足的條件：（1）被開方數(shù)不含分母或分母中不含二次根式;（2）被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式2、化簡最簡二次根式的方法：⑴(2)⑶⑴(2)⑶化去根號內(nèi)的分母（或分母中的根號） ,即分母有理化；將根號內(nèi)能開得盡方的因數(shù)（或因式）開出來.（此步需要特別注意的是：開到根號外的時候要帶絕對值,注意符號問題）3、同類二次根式：被開方數(shù)（因式）相同的（最簡）二次根式叫同類二次根式。判斷是否是同類二次根式時務(wù)必.將各個根式都化為最簡二次根式。如 J8與，18

例1.把下列二次根式化為最簡二次根式 ⑴3,［；;（2） x2丫4'4y2；（3） ....8x2y3知識點九：二次根式的加減1、二次根式的加減法：先把各個二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變） ,不能合并的直接抄下來。例1.計算（1）的+J18 （2）JT67+J64X（3）3瓦-9^1+3712 （4）（748+720）+（6-森）例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求（|xV9x+y2J^）-（x2產(chǎn)-5x^y）的值.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】.化簡：(1)展=; (2)J252—242=J75x3y2(x20,y至0)=；.(16,安徽)化簡Yf=.(16,武漢)計算"的結(jié)果是( )A.2 B.±2 C.-2.化簡：(1)(16,泰安)希的結(jié)果是;(3)(16,寧夏)572-78=；_?; (3)/'6X12M18=(5)20-<4=0D.; (3)/'6X12M18=(5)20-<4=0D.4⑵屈-也的結(jié)果是(4)(16,黃岡)56-24=(6)(2-4)(2+掰二⑺（16,荊門/廊（16,重慶）計算、0-72的結(jié)果是（ ）A6B><6 C、2D、正(16,遵義)若a-2+23=0,則a2-b=（16,聊城）下列計算正確的是（ ）A.2&A&=*B,期=4&下列運算正確的是（A.1.6=A.1.6=0.4B、J(-1.5)=-1.5C、—娓=34[9（16,中山）已知等邊三角形ABC的邊長為3+J3,則AABC勺周長是比較大?。?（16,嘉興）使再二2有意義的x的取值范圍是（16,常州）若式子斤5在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）A.x>-5B.x<-5C.xw-5D.x>-5A.x>-5B.x<-5C.xw-5D.x>-513.（16,黑龍江）函數(shù)13.（16,黑龍江）函數(shù)y二史二三中、

x-1自變量工的取值范圍是14.卜列二次根式中，x的取值范圍是x>2的是（ ）15.A.2—x(16,荊州)..a21(16,中山)A..10.(16,常德)14.卜列二次根式中，x的取值范圍是x>2的是（ ）15.A.2—x(16,荊州)..a21(16,中山)A..10.(16,常德)A.2后B、Vx+2C、山―2卜列根式中屬最簡二次根式的是（B.C.J8卜列根式中不是最簡二次根式的是（.8.6卜列各式中與也是同類二次根式的是D.D.1

x-^22718.下列各組二次根式中是同類二次根式的是（A.田2與、口 B.J18與歷 C.於與2219.（16,樂山）已知二次根式J2”4與也19.（16,樂山）已知二次根式J2”4與也是同類二次根式,則的a值可以是（ ）20.（16,大連）若=而+Jb,則xy的值為（21.計算:(1)?后(1)?后,A+3而+2,5(3)(16,上海)(4)(16,慶陽)河(3)(16,上海)22.先將由三!+j3X2化簡,然后自選一個合適的x值，代入化簡后的式子求值。x-2 ,x3-2x2【提高訓(xùn)練】、熱身運動1、1、若?2=%!成立則x滿足?3-x3-x2、使等式J(x+1]x-1)=Jx-lWx+1成立的條件是TOC\o"1-5"\h\z3、已知4x3+3x2=—xJx+3,則( )(A)x<0 (B)x<-3 (C)x>-3 (D)-3<x<04、若x<y<0,貝UJx、化簡-3M?27-厚）x￡（a>。）-2xy+y2 +Jx、化簡-3M?27-厚）x￡（a>。）(A)2x(B)2y (C)-2x(D) -2y5、若0<x<1,則jx—1)2+4—jx+1)2-4等()(A)- (B)-2 (C)-2x(D)2xx x6、化簡上a-(a<0)得( )a(A)v_a (B)—\[a (C)—a—a (D)O~si7、ajap化簡二次根式號后的結(jié)果是.8、已知xy>0,化簡二次根式x，y的正確結(jié)果為.9、已知a9、已知a、b、c為正數(shù),d為負(fù)數(shù)，化簡ab-c2d2.ab''/c2d210、若最簡根式3a>4a+3b與根式J2ab2-b3+6b2是同類二次根式，求a、b的值.11、若最簡二次根式2J3m2-2與nW4m2-10是同類二次根式,求mn的值.312、若Jx-y+y2-4y+4=0,求xy的值。二、沖刺階段1、化簡口戶^?（-2色）+戶'（m>0n>0）m.2m3 m,m3 2m3

a-bab-2\.ab,a-；b,a-；b4、當(dāng)x=」時,求x+1+Jx3Z+X+1一*L±X的值.（結(jié)果用最簡二次根式表示）2「1 x1-x2xx1"x2x5、已知x=J~2,y=W3W,求1一匚?—一的值.（先化簡xy,再化簡分式，求3-2 32 xy