計算方法第三章r

第三章插值法

第一節(jié)插值多項式的基本概念假設(shè)已經(jīng)獲得若干點上的函數(shù)值即提供了一張數(shù)據(jù)表

如何利用這張表求某個給定點上的函數(shù)值呢?插值方法所要研究的就是這個課題。

通常用多項式來作為近似函數(shù)，稱為插值多項式。數(shù)據(jù)表中的函數(shù)值為已知的節(jié)點稱為插值節(jié)點，插值節(jié)點上所給的函數(shù)值稱為樣本值。函數(shù)值待求的點稱為插值點。插值節(jié)點所界定的范圍稱為插值區(qū)間。如果所給插值點位于插值區(qū)間之內(nèi)，這種插值過程稱為內(nèi)插，否則稱為外插。如果插值條件只是給出節(jié)點的函數(shù)值，稱為拉格朗日插值，如果既有函數(shù)值也有節(jié)點處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，稱為埃爾米特插值。因式定理：多項式P(x)具有r次因式(x-a)r的充要條件是P(a)=P‘(a)=……=P(a)(r-1)

=0最一般的插值條件：是重根，定理：一旦插值條件給定，則插值多項式是唯一的。設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有n+1階導(dǎo)數(shù)，滿足前面的一般插值條件，且插值節(jié)點各不相同，則插值截斷誤差為證明思路：構(gòu)造輔助函數(shù)，用羅爾定理。值得注意的是在較大區(qū)間上進行插值時，誤差可能會很大！另外，一般情況下，外推不如內(nèi)插好！第二節(jié)Lagrange插值公式插值條件是Lagrange插值實質(zhì)上是求通過上面n+1個點的n次多項式。一次插值：問題為求一次多項式，即一次函數(shù)，過以下兩點：容易求出，該函數(shù)為：二次插值：問題為求二次多項式，即二次函數(shù)，過以下三點：容易求出，該函數(shù)為：一般插值問題：求過n+1個點的不超過n次多項式。稱為Lagrange插值基函數(shù)，滿足：問題:過n+1個點的Lagrange插值多項式是否唯一？滿足n+1個插值條件的n次多項式是唯一的；滿足n+1個插值條件的多項式不是唯一的；插值公式的誤差為：計算程序框圖第三節(jié)逐次線性插值函數(shù)y=f(x)在節(jié)點上的插值多項式記為，則有Aitken（埃特肯）算法Neville（列維爾）算法Aitken（埃特肯）算法Neville（列維爾）算法例子：求方程在(2,3)內(nèi)的根思路，用反函數(shù)yx163-122.058823-0.392.058232.0965892.0956590.0121.51E-52.0956592.0945532.0945292.0945542.094553第四節(jié)牛頓插值差商設(shè)函數(shù)f(x)，定義函數(shù)在兩個不同點的一階差商為三個不同點的二階差商為：在點處K+1

階差商為：給定n+1個點的函數(shù)值，則牛頓插值公式為：差商的計算簡表：例子：用0、30、45、60、90五個點作出sinx牛頓插值多項式。做差商表00300.50.016667450.70710.013807-0.000063556600.8660.010595-0.00010707-0.00000079010.0044658-0.0001362-0.00000049牛頓插值的截斷誤差：例子：用0、30、45、60、90五個點作出sinx牛頓插值多項式。做差商表009010.011111800-0.01111-1.235e-4270-1-0.0111104.572e-736000.011111.235e-44.572e-70差商的計算公式：差商的對稱性：差商的線性由于n次插值多項式是唯一的，所以牛頓插值公式與Lagrange插值多項式一樣，這意味著余項也一樣，Lagrange余項為：所以牛頓余項也一樣，差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系重節(jié)點差商推論：當n個節(jié)點全為同一個點，牛頓插值變成泰勒多項式。差商的導(dǎo)數(shù)n次多項式的的1階差商是n-1次多項式。推論：設(shè)p(x)是n次多項式，kn時k階差商是n-k次多項式，k>n時k階差商為零。差分設(shè)函數(shù)，定義為該函數(shù)在i

點的一階差分，記為類似地，定義二階差分為：K階差分為：此差分稱為向前差分。類似地，向后差分定義為：中心差分定義為：差商與差分的關(guān)系：等距節(jié)點時第五節(jié)帶導(dǎo)數(shù)的插值問題的提出：如果在已知節(jié)點處不僅知道函數(shù)值，同時還指導(dǎo)導(dǎo)數(shù)值，這樣，插值多項式就要求在已知節(jié)點處與函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都相等。這就是所謂埃爾米特插值，記為H(x)1、牛頓插值如果已知某個點i的，則插值節(jié)點應(yīng)視為個相同節(jié)點，并注意到k+1重節(jié)點的差商例子：已知關(guān)于函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值-100-4-40-4040-403-11-222-101-253121已知函數(shù)在n個不同的節(jié)點處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值：求次數(shù)不超過2n-1次的多項式設(shè)想該多項式具有形式：由條件可得：此外，由得：同理：由，可得：最后，得到埃爾米特插值公式：特別，當n=2時，三階埃爾米特多項式為：埃爾米特插值公式唯一。誤差估計，設(shè)被插值函數(shù)在插值區(qū)間上2n次連續(xù)可導(dǎo)，則在n個節(jié)點上的2n-1次插值多項式的余項為：特別，對于2個節(jié)點3次插值，余項為：例子：如用距離較小的兩個點插值，效果會好得多第六節(jié)樣條函數(shù)由于被插值函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)未知，因此，如果高階導(dǎo)數(shù)隨階數(shù)增長出現(xiàn)無限增長，則由誤差公式可知，高階插值公式就不一定無限接近被插值函數(shù)。這稱為龍格現(xiàn)象。所以，在進行多項式插值時，不宜進行高次多項式插值。一個解決的途徑是分段低次插值。龍格現(xiàn)象樣條函數(shù)插值：給定區(qū)間一個劃分如函數(shù)S(x)滿足下面條件：（1）在每個小區(qū)間上為m次多項式；（2）S(x)及m－1階導(dǎo)數(shù)在整個區(qū)間上連續(xù)。則稱S(x)是關(guān)于該劃分的m次樣條函數(shù)，劃分點稱為節(jié)點，m＝3時，就是最常用的3次樣條函數(shù)。3次樣條函數(shù)的基本思想：將樣條函數(shù)在每一個子區(qū)間端點的二階導(dǎo)數(shù)值當作參數(shù)，則用這兩個二階導(dǎo)數(shù)值可以將樣條函數(shù)表示出來，再利用銜接條件，即每一段樣條函數(shù)在相鄰兩個子區(qū)間端點處的二階導(dǎo)數(shù)相等，建立求解二階導(dǎo)數(shù)的方程組。設(shè)S(x)在每個小區(qū)間端點的二階導(dǎo)數(shù)為：則：記，將上式積分兩次，并利用端點函數(shù)值已知，有：我們注意到，在相鄰的兩個子區(qū)間和的共同端點處，樣條函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)相等，經(jīng)過化簡，最后得到：注意到上面的方程組總共只有N－1個方程，而未知數(shù)卻共有N個，因此，要求解方程，還需要兩個條件（即兩個方程），通常有以下幾種方案:1、給出端點一階導(dǎo)數(shù)值，這相當于增加兩個方程；2、給定端點二階導(dǎo)數(shù)值，得方程：特別，令二階導(dǎo)數(shù)在端點為零，得3、樣條件函數(shù)在第一后最后一個區(qū)間上為二次多項式，即樣條函數(shù)在第一和最后一個區(qū)間上的二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，得兩個方程：總之，可以將方程組統(tǒng)一寫為：4、周期性條件（這只有在給的初值滿足時才能用），此時，由周期性，，就得到兩個方程；第一個方程為，第二個方程為最后一個方程為：最后，方程組為：小結(jié)插值法，其目的是利用節(jié)點上的值，構(gòu)造通過這些節(jié)點的多項式，從原則上說，利用n+1個節(jié)點的值，可以構(gòu)造n次多項式，而且這種構(gòu)造是唯一的！利用待定系數(shù)法，將節(jié)點值帶入后，得到一個n+1階線性方程，即可求出多項式。為便于在計算機上實現(xiàn)，本章引入了Lagrange插值公式和牛頓插值公式，各有千秋，Lagrange插值公式便于理解和記憶，牛頓公式便于計算機計算。但必須指出的是，不管用什么方法插值，所得到的插值公式實際上是完全一樣的，包括上面所說的待定系數(shù)法，這就是插值公式唯一性。唯一性的一個直接推論就是各種插值公式的余項完全一樣，都是Lagrange余項。Lagrange公式的構(gòu)造思想非常重要！后面的埃爾米特公式出發(fā)點也是利用了這一點。如果節(jié)點上不僅已知函數(shù)值，同時還已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，即要求插值多項式在節(jié)點上與函數(shù)具有相同的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，這時要用埃爾米特公式。高次插值有時會引起較大誤差，對此，解決的方案是分段低次插值。如果對插值多項式要求較好的光滑性，這時就需要