《全稱量詞與存在量詞》同步練習

《全稱量詞與存在量詞》同步練習一、選擇題1．下列語句是真命題的是()A．所有的實數(shù)x都能使x2－3x＋6>0成立B．存在一個實數(shù)x使不等式x2－3x＋6<0成立C．存在一條直線與兩個相交平面都垂直D．有一條直線和兩個相交平面都垂直解析：選AΔ<0，x2－3x＋6>0對x∈R恒成立，故排除B；假設存在這樣的直線與兩個相交平面垂直，則兩個平面必平行，故排除C、D.2．下列四個命題中的真命題為()A．若sinA＝sinB，則A＝BB．?x∈R，都有x2＋1>0C．若lgx2＝0，則x＝1D．?x0∈Z，使1<4x0<3解析：選BA中，若sinA＝sinB，不一定有A＝B，故A為假命題，B顯然是真命題；C中，若lgx2＝0，則x2＝1，解得x＝±1，故C為假命題；D中，解1<4x<3得eq\f(1,4)<x<eq\f(3,4)，故不存在這樣的x∈Z，故D為假命題．3．有下列四個命題：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x0∈N，使xeq\o\al(2,0)≤x0；④?x0∈N*，使x0為29的約數(shù)．其中真命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C對于①，這是全稱命題，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①為真命題；對于②，這是全稱命題，由于當x＝－1時，2x＋1>0不成立，故②為假命題；對于③，這是特稱命題，當x0＝0或x0＝1時，有xeq\o\al(2,0)≤x0成立，故③為真命題；對于④，這是特稱命題，當x0＝1時，x0為29的約數(shù)成立，所以④為真命題．4．以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是()A．銳角三角形的內角是銳角或鈍角B．至少有一個實數(shù)x，使x2≤0C．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個負數(shù)x，使eq\f(1,x)>2解析：選BA中銳角三角形的內角是銳角或鈍角是全稱命題；B中x＝0時，x2＝0，所以B既是特稱命題又是真命題；C中因為eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命題；D中對于任一個負數(shù)x，都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命題．5．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0滿足關于x的方程2ax＋b＝0，則下列選項的命題中為假命題的是()A．?x∈R，f(x)≤f(x0)B．?x∈R，f(x)≥f(x0)C．?x∈R，f(x)≤f(x0)D．?x∈R，f(x)≥f(x0)解析：選C由題意知：x0＝－eq\f(b,2a)為函數(shù)f(x)圖像的對稱軸方程，所以f(x0)為函數(shù)的最小值，即對所有的實數(shù)x，都有f(x)≥f(x0)，因此?x∈R，f(x)≤f(x0)是假命題．二、填空題6．命題“?x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．解析：“?x∈M，p(x)”的否定為“?x0∈M，非p(x0)”．∴其否定為?x0∈R,3xeq\o\al(2,0)－2x0＋1≤0.答案：?x0∈R,3xeq\o\al(2,0)－2x0＋1≤07．下列命題中，是全稱命題的是________；是特稱命題的是________．①正方形的四條邊相等；②有兩個角相等的三角形是等腰三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個正整數(shù)是偶數(shù)．解析：①可表述為“每一個正方形的四條邊相等”，是全稱命題；②是全稱命題，即“凡是有兩個角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述為“所有正數(shù)的平方根不等于0”是全稱命題；④是特稱命題．答案：①②③④8．已知命題“?x0∈R,2xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋eq\f(1,2)≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意可得“對?x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq\f(1,2)>0恒成立”是真命題．令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1<a<3.答案：(－1,3)三、解答題9．用“?”“?”寫出下列命題的否定，并判斷真假：(1)二次函數(shù)的圖像是拋物線；(2)直角坐標系中，直線是一次函數(shù)的圖像；(3)有些四邊形存在外接圓；(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0無解．解：(1)?f(x)∈{二次函數(shù)}，f(x)的圖像不是拋物線．它是假命題．(2)在直角坐標系中，?l∈{直線}，l不是一次函數(shù)的圖像．它是真命題．(3)?x∈{四邊形}，x不存在外接圓．它是假命題．(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命題．10．已知命題p：“至少存在一個實數(shù)x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”為真，試求參數(shù)a的取值范圍．解：法一：由題意知，x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，則只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－整理得a>－3或a>－2.即a>－3.故參數(shù)a的取值范圍為(－3，＋∞)．法二：非p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0無解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c