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第12講菱形知識導(dǎo)航1、菱形的性質(zhì):菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì);菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;2、菱形的判定:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;四邊都相等的四邊形是菱形?!景鍓K一】菱形的性質(zhì)與判定題型一、菱形的判定方法技巧判定四邊形為菱形時,對于容易判斷為平行四邊形的,另外看鄰邊是否相等或?qū)蔷€是否垂直;還可以從四條邊相等去判定?!纠?】如圖,Rt△ACB中,∠ACB=900,CDAB,垂足為點D,AE平分∠CAB交CD于點F,交BC于點E,F(xiàn)G∥BC,交AB于點G,連接EG,求證:四邊形CFGE是菱形?!纠?】如圖,將矩形紙片ABCD沿FG折疊,使頂點B落在邊AD上的點E處,折痕的一端點G在邊BC上,另一端點F在AD上,AB=8,BG=10。(1)求證:四邊形BGEF為菱形;(2)求FG的長。針對練習(xí)11.如圖,△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分線,DE∥BA交AC于點E,DF∥CA交AB于點F,已知CD=3.(1)求AD的長;(2)求四邊形AEDF的周長.2.如圖,在△ABC中,分別以AB,AC,BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD,等邊△ACE和等邊△BCF,連接DF,EF.(1)求證:四邊形DAEF是平行四邊形;(2)當(dāng)∠BAC=時,四邊形DAEF是矩形;(3)當(dāng)△ABC滿足條件時,四邊形DAEF是菱形.3.如圖,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,AD是邊BC上的高,點E,F(xiàn)分別AB,AC是的中點.(1)求證:四邊形AEDF是菱形;(2)如果四邊形AEDF的周長為12,兩條對角線和為7,求四邊形AEDF的面積S.4.如圖,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)得到的,連接BE,CF,相交于點D.(1)求證:BE=CF;(2)當(dāng)四邊形ACDE為菱形時,求BD的長.【板塊二】菱形中的全等三角形構(gòu)造題型二菱形中全等三角形構(gòu)造——旋轉(zhuǎn)方法技巧有一內(nèi)角為60°的菱形,較短的對角線將菱形分為兩個全等的等邊三角形,形成5條邊相等,6個60°的角,易于構(gòu)造旋轉(zhuǎn)式的全等三角形.【例1】已知菱形ABCD中,∠BAD=120°,E,F(xiàn)分別為射線BC和CD上的一點,∠EAF=60°.(1)如圖1,若點E,F(xiàn)分別為邊BC和CD的中點,直接寫出BE,DF,AB之間的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2,若點E,F(xiàn)分別為邊BC和CD上任一點,探究BE,DF,AB之間的數(shù)量關(guān)系;(3)如圖3,若點E,F(xiàn)分別在BC和CD的延長線上,探究BE,DF,AB之間的數(shù)量關(guān)系.圖1圖2圖3題型三菱形中全等三角形同型構(gòu)造方法技巧菱形中相等的邊較多,當(dāng)兩個三角形中有一對邊一對角相等時,可以以此為條件,再構(gòu)造一對邊或一對角相等,形成全等三角形.【例2】已知菱形ABCD中,對角線交于點O.(1)如圖1,點F在邊BC上,AF交BD于E,若BE=BF,求證:CF=2OE;(2)如圖2,點P在邊AC上,已知AC=16,CP=CD=10,求DP的長;(3)如圖3,點Q在菱形外部,點P在AC上,CP=CD,點M為DP中點,DQ=DM,∠QDA=∠CDP.連接QM,射線QM交AC于點N,交DA于點H.求證:CN=AH.圖1圖2圖3題型四菱形動點最值問題【例3】已知菱形ABCD中的兩條對角線分別為6和8,M,N分別為邊BC,CD的中點,P是對角線BD上一點,求PM+PN的最小值.題型五菱形綜合探究【例4】已知,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,對角線交于點O,點A關(guān)于CD的對稱點為A’,連接OA’.(1)如圖1,求OA’的長;(2)如圖2,OA’的中點為F,連接CF,求證:CF∥BD;(3)如圖3,若點D關(guān)于OA’的對稱點為D’,則BD’的長為.圖1圖2圖3針對練習(xí)21.如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,DE,BF相交于點G,連接BD,CG.有下列結(jié)論:①∠BGD=120°;②BG+DG=CG;③△BDF≌△CGB;④S△ABD=AB2,其中正確的結(jié)論有()A.1個B.2個C.3個D.4個2.如圖,在菱形ABCD中,F(xiàn)為邊BC的中點,DF與對角線AC交于點M,ME⊥CD于點E,∠1=∠2.(1)若CE=1,求BC的長;(2)求∠BCD的度數(shù).3.如圖,在菱形ABCD和等邊△BGF中,∠ABC=60°,P為DF的中點.(1)如圖1,點G在邊BC上時.①判斷△BDF的形狀,并證明;②連接PB,若AB=10,BG=4,求PB的長;(2)如圖2,點F在邊AB延長線上時,連接PG,PC,試判斷PG,PC有怎樣的關(guān)系,并給予證明.圖1圖24.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是對角線BD上的一點,E是邊BC的延長線一點,PE=PA.(1)如圖1,求∠APE的度數(shù);(2)
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