數(shù)列教師講義2023

一、數(shù)列概念1.數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱為該數(shù)列的項(xiàng).⑴數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序”排列的，在這里，只強(qiáng)調(diào)有“次序”，而不強(qiáng)調(diào)有“規(guī)律”．因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列．⑵在數(shù)列中同一個(gè)數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)．⑶項(xiàng)a與項(xiàng)數(shù)n是兩個(gè)根本不同的概念．⑷數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列2.通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號之間可以用一個(gè)式子表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，即.3.遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任何一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，即或，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列的遞推公式.如數(shù)列中，，其中是數(shù)列的遞推公式.4.數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式①；②.5.數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法.6.數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動數(shù)列，常數(shù)數(shù)列；有界數(shù)列，無界數(shù)列.①遞增數(shù)列:對于任何,均有.②遞減數(shù)列:對于任何,均有.③擺動數(shù)列:例如:④常數(shù)數(shù)列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界數(shù)列:存在正數(shù)使.⑥無界數(shù)列:對于任何正數(shù),總有項(xiàng)使得.課堂練習(xí)1、已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為__（答：）；2、數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為___（答：）；3、已知數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：）；課后練習(xí)一、選擇題1．下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是()①同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同；②數(shù)列－1,0,1與數(shù)列1,0，－1是同一個(gè)數(shù)列；③數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號有關(guān)．A．①② B．①③C．②③ D．③2．下面四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函數(shù)．②數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)．③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的．④數(shù)列通項(xiàng)的表示式是唯一的．其中正確的是()A．①② B．①②③C．②③ D．①②③④3．已知an＝n(n＋1)，以下四個(gè)數(shù)中，哪個(gè)是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)()A．18 B．21C．25 D．304．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么這個(gè)數(shù)列是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動數(shù)列5．?dāng)?shù)列1，－3,5，－7,9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝(－1)n(1－2n)C．a(chǎn)n＝(－1)n(2n－1) D．a(chǎn)n＝(－1)n(2n＋1)6．已知數(shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)，…，則2eq\r(5)可能是這個(gè)數(shù)列的()A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)C．第10項(xiàng) D．第11項(xiàng)7．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，則a1000＝()A．1 B．1999C．1000 D．－18．對任意的a1∈(0,1)，由關(guān)系式an＋1＝f(an)得到的數(shù)列滿足an＋1>an(n∈N*)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是()9．若數(shù)列的前4項(xiàng)分別為2,0,2,0，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式不能是()A．a(chǎn)n＝1＋(－1)n＋1B．a(chǎn)n＝1－cosnπC．a(chǎn)n＝2sin2eq\f(nπ,2)D．a(chǎn)n＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)10．函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，則f(n)是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．不能確定二、填空題1/.eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63)，eq\f(10,99)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是________．2．已知數(shù)列eq\r(3)，eq\r(7)，eq\r(11)，eq\r(15)，eq\r(19)，…，那么3eq\r(11)是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng)．3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，an＋1＝2＋eq\f(2an,1－an)，則a6＝__________.4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1n為奇數(shù),2n－2n為偶數(shù)))，則a2·a3＝__________.三、解答題1．寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)－eq\f(1,1＋1)，eq\f(1,4＋1)，－eq\f(1,9＋1)，eq\f(1,16＋1)，…；(2)2,3,5,9,17,33，…；(3)eq\f(1,2)，eq\f(2,5)，eq\f(3,10)，eq\f(4,17)，eq\f(5,26)，…；(4)1，eq\f(4,3)，2，eq\f(16,5)，…；(5)－eq\f(1,3)，eq\f(1,8)，－eq\f(1,15)，eq\f(1,24)，…；(6)2,6,12,20,30，….2．已知數(shù)列{an}中，an＝eq\f(n,n＋1)，判斷數(shù)列{an}的增減性．3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4.(1)求數(shù)列{an}中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？(2)當(dāng)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值．二、等差數(shù)列等差數(shù)列的定義：如果數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即.(或).（1）常見等差數(shù)列的判斷方法：①定義法：為等差數(shù)列。②中項(xiàng)法：為等差數(shù)列。（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。公式變形為:.其中a=d,b=－d.如1、等差數(shù)列中，，，則通項(xiàng)；2、首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______（答：）（3）等差數(shù)列的前和：，。公式變形為：，其中A=，B=.注意：已知n,d,,,中的三者可以求另兩者，即所謂的“知三求二”。如數(shù)列中，，，前n項(xiàng)和，則＝＿，＝＿（答：，）；（4）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。3.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.等差數(shù)列{a}中，是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)（n，）均在直線y=x+(a－)上（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）對稱性：若是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于首末兩項(xiàng)之和.當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如1、等差數(shù)列中，，則＝____（答：27）；(4)項(xiàng)數(shù)成等差,則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列.即成等差.若、是等差數(shù)列，則、(、是非零常數(shù))、、（公差為）．，…也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列.如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為。（答：225）（5）單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列的公差，則d>0是遞增數(shù)列；d<0是遞減數(shù)列；d=0是常數(shù)數(shù)列課本45頁例4類型、等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；等差數(shù)列練習(xí)一、選擇題1、等差數(shù)列中，，那么（）A.B.C.D.2、已知等差數(shù)列，，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和（）A.有最小值且是整數(shù)B.有最小值且是分?jǐn)?shù)C.有最大值且是整數(shù)D.有最大值且是分?jǐn)?shù)3、已知等差數(shù)列的公差，，那么A．80 B．120 C．135 D．160．4、已知等差數(shù)列中，，那么 A．390 B．195 C．180 D．1205、從前個(gè)正偶數(shù)的和中減去前個(gè)正奇數(shù)的和，其差為（）A.B.C.D.6、等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，前項(xiàng)的和為，則它的前項(xiàng)的和為()A.B.C.D.7、在等差數(shù)列中，，，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.B.C.D.8、一個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，后項(xiàng)和為，所有項(xiàng)和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）A.B.C.D.9、已知某數(shù)列前項(xiàng)之和為，且前個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和為，則前個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為（）A． B． C．D．10若一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角度數(shù)成等差數(shù)列，最小角為100°，最大角為140°，這個(gè)凸多邊形的邊比為（）A．6B．C．10D．12二．填空題1、等差數(shù)列中，若，則.2、等差數(shù)列中，若，則公差.3、在小于的正整數(shù)中，被除余的數(shù)的和是4、已知等差數(shù)列的公差是正整數(shù)，且a，則前10項(xiàng)的和S=5、一個(gè)等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為15，則這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)是*6、兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，若，則.三．解答題在等差數(shù)列中，，，求.2、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，>，<，①求公差的取值范圍；②中哪一個(gè)值最大？并說明理由.3、己知為等差數(shù)列，，若在每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，求：（1）原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)？（2）新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)？4、設(shè)等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)的和為Sn,且S4=－62,S6