《總體離散程度的估計(jì)》同步作業(yè)

9.2.4總體離散程度的估計(jì)(建議用時(shí)：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)2．樣本中共有5個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均數(shù)為1，則樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為()A.eq\r(\f(6,5)) B.eq\f(6,5)C．2 D.eq\r(2)3．設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x2020的方差為4，若yi＝2xi＋4(i＝1,2，…，2020)，則y1，y2，…，y2020的方差為()A．13 B．14C．15 D．164．高三學(xué)生李麗在一年的五次數(shù)學(xué)模擬考試中的成績(jī)(單位：分)為：x，y,105,109,110.已知該同學(xué)五次數(shù)學(xué)成績(jī)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為108，方差為35.2，則|x－y|的值為()A．15 B．16C．17 D．185．某班有50名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)經(jīng)計(jì)算得到的平均分?jǐn)?shù)是70分，標(biāo)準(zhǔn)差是s，后來(lái)發(fā)現(xiàn)記錄有誤，某甲得70分誤記為40分，某乙得50分誤記為80分，更正后重新計(jì)算得標(biāo)準(zhǔn)差為s1，則s與s1之間的大小關(guān)系是()A．s＝s1 B．s<s1C．s>s1 D．不能確定二、填空題6．甲、乙、丙、丁四人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績(jī)和方差如下表所示：甲乙丙丁平均數(shù)eq\x\to(x)8.58.78.88.0方差s23.53.52.18.7則參加奧運(yùn)會(huì)的最佳人選應(yīng)為．7．一個(gè)樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的兩根，則這個(gè)樣本的方差是8．為了調(diào)查公司員工的健康狀況，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，已知所抽取的所有員工的平均體重為60kg，標(biāo)準(zhǔn)差為60，男員工的平均體重為70kg，標(biāo)準(zhǔn)差為50，女員工的平均體重為50kg，方差為60，若樣本中有20名男員工，則女員工的人數(shù)為．三、解答題9．為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換．已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下表：天數(shù)151～180181～210211～240241～270271～300301～330331～360361～390燈管數(shù)1111820251672(1)試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命；(2)若定期更換，可選擇多長(zhǎng)時(shí)間統(tǒng)一更換合適？10．某學(xué)校統(tǒng)計(jì)教師職稱及年齡，中級(jí)職稱教師的人數(shù)為50人，其平均年齡為38歲，方差是2，高級(jí)職稱的教師3人58歲，5人40歲，2人38歲，求該校中級(jí)職稱和高級(jí)職稱教師年齡的平均數(shù)和方差．[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1.甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示,甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,標(biāo)準(zhǔn)差分別為s甲,s乙,則 ()A.,s甲<s乙 B.,s甲>s乙C.,s甲<s乙 D.,s甲>s乙2．某學(xué)校共有學(xué)生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，學(xué)校對(duì)學(xué)生在暑假中每天的讀書(shū)時(shí)間做了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，全體學(xué)生每天的讀書(shū)時(shí)間的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝3小時(shí)，方差為s2＝2.003，其中高一學(xué)生、高二學(xué)生每天讀書(shū)時(shí)間的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)1＝2.6，eq\x\to(x)2＝3.2，又已知三個(gè)年級(jí)學(xué)生每天讀書(shū)時(shí)間的方差分別為seq\o\al(2,1)＝1，seq\o\al(2,2)＝2，seq\o\al(2,3)＝3，則高三學(xué)生每天讀書(shū)時(shí)間的平均數(shù)eq\x\to(x)3＝()A．3.3或2.7 B．3.3C．2.7 D．4.5或3.23．已知樣本9,10,11，x，y的平均數(shù)是10，方差是4，則xy＝.4．由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為(從小到大排列)．5．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查．通過(guò)抽樣，獲得了某年100戶居民每人的月均用水量(單位：噸)．將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)用每組區(qū)間的中點(diǎn)作為每組用水量的平均值，這9組居民每人的月均用水量前四組的方差都為0.3，后5組的方差都為0.4，求這100戶居民月均用水量的方差．答案與解析一、選擇題1．為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)B解析：標(biāo)準(zhǔn)差能反映一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度．故選B.2．樣本中共有5個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均數(shù)為1，則樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為()A.eq\r(\f(6,5)) B.eq\f(6,5)C．2 D.eq\r(2)D[∵樣本a,0,1,2,3的平均數(shù)為1，∴eq\f(a＋6,5)＝1，解得a＝－1.則樣本的方差s2＝eq\f(1,5)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(2).故選D.]3．設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x2020的方差為4，若yi＝2xi＋4(i＝1,2，…，2020)，則y1，y2，…，y2020的方差為()A．13 B．14C．15 D．16D解析：y1，y2，…，y2020的方差為22×4＝16.4．高三學(xué)生李麗在一年的五次數(shù)學(xué)模擬考試中的成績(jī)(單位：分)為：x，y,105,109,110.已知該同學(xué)五次數(shù)學(xué)成績(jī)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為108，方差為35.2，則|x－y|的值為()A．15 B．16C．17 D．18D[由題意得，eq\f(x＋y＋105＋109＋110,5)＝108，①eq\f(x－1082＋y－1082＋9＋1＋4,5)＝35.2，②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝99，,y＝117，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝117，,y＝99，))所以|x－y|＝18.故選D.]5．某班有50名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)經(jīng)計(jì)算得到的平均分?jǐn)?shù)是70分，標(biāo)準(zhǔn)差是s，后來(lái)發(fā)現(xiàn)記錄有誤，某甲得70分誤記為40分，某乙得50分誤記為80分，更正后重新計(jì)算得標(biāo)準(zhǔn)差為s1，則s與s1之間的大小關(guān)系是()A．s＝s1 B．s<s1C．s>s1 D．不能確定C解析：∵更正前后的平均數(shù)均為70，∴更正前的方差s2＝eq\f(1,50)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(40－70)2＋(80－70)2]，更正后的方差seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,50)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(70－70)2＋(50－70)2]，∴s2>seq\o\al(2,1)，即s>s1.二、填空題6．甲、乙、丙、丁四人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績(jī)和方差如下表所示：甲乙丙丁平均數(shù)eq\x\to(x)8.58.78.88.0方差s23.53.52.18.7則參加奧運(yùn)會(huì)的最佳人選應(yīng)為．丙[因?yàn)楸钠骄鶖?shù)最大，方差最小，故應(yīng)選丙．]7．一個(gè)樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的兩根，則這個(gè)樣本的方差是5解析：∵方程x2－5x＋4＝0的兩根分別為1,4且eq\f(a＋3＋5＋7,4)＝b，∴a＝1，b＝4.∴該樣本為1,3,5,7，平均數(shù)為4.∴s2＝eq\f(1,4)×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.8．為了調(diào)查公司員工的健康狀況，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，已知所抽取的所有員工的平均體重為60kg，標(biāo)準(zhǔn)差為60，男員工的平均體重為70kg，標(biāo)準(zhǔn)差為50，女員工的平均體重為50kg，方差為60，若樣本中有20名男員工，則女員工的人數(shù)為．200[設(shè)男，女員工的權(quán)重分別為ω男，ω女，由題意可知s2＝ω男[seq\o\al(2,男)＋(eq\x\to(x)男－eq\x\to(x))2]＋ω女[seq\o\al(2,女)＋(eq\x\to(x)女－eq\x\to(x))2]，即ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝eq\f(1,11)，ω女＝eq\f(10,11)，因?yàn)闃颖局杏?0名男員工，所有樣本中女員工的人數(shù)為200.]三、解答題9．為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換．已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下表：天數(shù)151～180181～210211～240241～270271～300301～330331～360361～390燈管數(shù)1111820251672(1)試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命；(2)若定期更換，可選擇多長(zhǎng)時(shí)間統(tǒng)一更換合適？[解](1)各組的組中值分別為165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得這種日光燈的平均使用壽命約為165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．(2)eq\f(1,100)×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.6.故標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(2128.6)≈46.估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天，標(biāo)準(zhǔn)差約為50天，故在222天到314天之間統(tǒng)一更換較合適．10．某學(xué)校統(tǒng)計(jì)教師職稱及年齡，中級(jí)職稱教師的人數(shù)為50人，其平均年齡為38歲，方差是2，高級(jí)職稱的教師3人58歲，5人40歲，2人38歲，求該校中級(jí)職稱和高級(jí)職稱教師年齡的平均數(shù)和方差．[解]由已知條件可知高級(jí)職稱教師的平均年齡為eq\x\to(x)高＝eq\f(3×58＋5×40＋2×38,3＋5＋2)＝45，年齡的方差為seq\o\al(2,高)＝eq\f(1,3＋5＋2)[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以該校中級(jí)職稱和高級(jí)職稱教師的平均年齡為eq\x\to(x)＝eq\f(50,50＋10)×38＋eq\f(10,50＋10)×45≈39.2(歲)，該校中級(jí)職稱和高級(jí)職稱教師的年齡的方差是s2＝eq\f(50,50＋10)[2＋(38－39.2)2]＋eq\f(10,50＋10)[73＋(45－39.2)2]＝20.64.[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1.甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示,甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,標(biāo)準(zhǔn)差分別為s甲,s乙,則 ()A.,s甲<s乙 B.,s甲>s乙C.,s甲<s乙 D.,s甲>s乙C【解析】由圖知,甲同學(xué)除第二次考試成績(jī)略低于乙同學(xué)外,其他考試成績(jī)都遠(yuǎn)高于乙同學(xué),可知.圖中數(shù)據(jù)顯示甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)穩(wěn)定,所以s甲<s乙.2．某學(xué)校共有學(xué)生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，學(xué)校對(duì)學(xué)生在暑假中每天的讀書(shū)時(shí)間做了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，全體學(xué)生每天的讀書(shū)時(shí)間的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝3小時(shí)，方差為s2＝2.003，其中高一學(xué)生、高二學(xué)生每天讀書(shū)時(shí)間的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)1＝2.6，eq\x\to(x)2＝3.2，又已知三個(gè)年級(jí)學(xué)生每天讀書(shū)時(shí)間的方差分別為seq\o\al(2,1)＝1，seq\o\al(2,2)＝2，seq\o\al(2,3)＝3，則高三學(xué)生每天讀書(shū)時(shí)間的平均數(shù)eq\x\to(x)3＝()A．3.3或2.7 B．3.3C．2.7 D．4.5或3.2A[由題意可得2．003＝eq\f(800,2000)[1＋(3－2.6)2]＋eq\f(600,2000)[2＋(3－3.2)2]＋eq\f(600,2000)[3＋(3－eq\x\to(x)3)2]，解得eq\o(x,\s\up6(－))3＝3.3或2.7.]3．已知樣本9,10,11，x，y的平均數(shù)是10，方差是4，則xy＝.91[由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9＋10＋11＋x＋y＝5×10，,\f(1,5)[9－102＋10－102＋11－102＋x－102＋y－102]＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,x－102＋y－102＝18.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝13))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝13，,y＝7，))所以xy＝91.]4．由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為(從小到大排列)．1,1,3,3[不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4為正整數(shù)．由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3＋x4,4)＝2，,\f(x2＋x3,2)＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＋x3＋x4＝8，,x2＋x3＝4，))又x1、x2、x3、x4為正整數(shù)，∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.∵s＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1－22＋x2－22＋x3－22＋x4－22)))＝1，∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.由此可得4個(gè)數(shù)分別為1,1,3,3.]5．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查．通過(guò)抽樣，獲得了某年100戶居民每人的月均用水量(單位：噸)．將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)用每組區(qū)間的中點(diǎn)作為每組用水量的平均值，這9組居民每人的月均用水量前四組的方差都為0.3，后5組的方差都為0.4，求這100戶居民月均用水量的方差．[解](1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0，0.5)內(nèi)的頻率為0.08×0.5＝0.04，同