《頻率的穩(wěn)定性》設計

《頻率的穩(wěn)定性》教學設計【教學目標】1.結合實例，掌握頻率和概率聯(lián)系和區(qū)別，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)．2.通過利用隨機事件的頻率估計其概率，培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng).【教學重點】會用頻率估計概率．【教學難點】會用頻率估計概率【課時安排】1課時【教學過程】認知初探1．頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．2．頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．思考：頻率和概率有什么區(qū)別和聯(lián)系？[提示]區(qū)別：(1)在相同的條件下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)概率是度量隨機事件發(fā)生的可能性大小的量(3)頻率是一個變量，隨著試驗次數(shù)的變化而變化，概率是一個定值，是某事件的固有屬性．聯(lián)系：對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．小試牛刀1．已知某廠的產(chǎn)品合格率為90%，現(xiàn)抽出10件產(chǎn)品檢查，則下列說法正確的是()A．合格產(chǎn)品少于9件B．合格產(chǎn)品多于9件C．合格產(chǎn)品正好是9件D．合格產(chǎn)品可能是9件D解析：根據(jù)概率意義知選D.2.某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的情況出現(xiàn)了6次，若用A表示“正面朝上”這一事件，則A的()A．概率為B．頻率為C．頻率為6D．概率接近于6B[做n次隨機試驗，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n).如果多次進行試驗，事件A發(fā)生的頻率總在某個常數(shù)附近擺動，那么這個常數(shù)才是事件A的概率．故為事件A的頻率．]3．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲100次，那么第99次出現(xiàn)正面朝上的概率為()\f(1,99)\f(1,100)\f(99,100)\f(1,2)D解析：∵第99次拋擲硬幣出現(xiàn)的結果共有兩種不同的情形，且這兩種情形等可能發(fā)生，∴所求概率為P＝eq\f(1,2).4.已知隨機事件A發(fā)生的頻率是，事件A出現(xiàn)了10次，那么共進行了________次試驗．500解析：設共進行了n次試驗，則eq\f(10,n)＝，解得n＝500.例題講解頻率和概率的區(qū)別和聯(lián)系【例1】下列說法正確的是()A.由生物學知道生男生女的概率約為，一對夫婦先后生兩個小孩，則一定為一男一女B.一次摸獎活動中，中獎概率為，則摸5張票，一定有一張中獎C．10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎票的可能性大D．10張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是D[一對夫婦生兩個小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎概率為是說中獎的可能性為，當摸5張票時，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都是，所以C不正確，D正確．]方法總結理解概率與頻率應關注的三個方面(1)概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機事件A的本質(zhì)屬性，隨機事件A發(fā)生的概率是大量重復試驗中事件A發(fā)生的頻率的近似值．(2)由頻率的定義我們可以知道隨機事件A在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．當堂練習1⑴“某彩票的中獎概率為eq\f(1,100)”意味著()A.買100張彩票就一定能中獎B．買100張彩票能中一次獎C.買100張彩票一次獎也不中D．購買彩票中獎的可能性為eq\f(1,100)(2)有人告訴你，放學后送你回家的概率如下：①50%；②2%；③90%.試將以上數(shù)據(jù)分別與下面的文字描述相配．a(chǎn).很可能送你回家，但不一定送．b.送與不送的可能性一樣多．c．送你回家的可能性極?。馕觯?1)[某彩票的中獎率為eq\f(1,100)，意味著中獎的可能性為eq\f(1,100)，可能中獎，也可能不中獎．](2)概率為50%，指事件發(fā)生的可能性為50%，與b相配；概率為2%，指事件發(fā)生的概率較小，與c相配；概率為90%指事件發(fā)生的可能性很大，與a相配．答案：(1)D(2)50%→b2%→c90%→a用隨機事件的頻率估計其概率【例2】某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如表所示：上年度出險次數(shù)01234≥5保費a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值.(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值.(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.【解析】(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為=，故P(A)的估計值為.(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為=，故P(B)的估計值為.⑶由所給數(shù)據(jù)得保費a2a頻率調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為×+a×+×+×+×+2a×=5a.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為5a.方法總結1.解題的關鍵是根據(jù)統(tǒng)計圖表分析滿足條件的事件發(fā)生的頻數(shù)，計算頻率，用頻率估計概率.2.頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小.通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)(概率)，因此有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.當堂練習2某保險公司利用簡單隨機抽樣的方法，對投保的車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下：賠償金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．[解](1)設A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝，P(B)＝eq\f(120,1000)＝，由于投保額為2800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3000元和4000元，A與B互斥，所以所求概率為P(A)＋P(B)＝＋＝.(2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機的有×1000＝100(位)，而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機的有×120＝24(位)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝，由頻率估計概率得P(C)＝.游戲的公平性例3如圖所示，有兩個可以自由轉動的均勻轉盤A，B，轉盤A被平均分成3等份，分別標上1,2,3三個數(shù)字；轉盤B被平均分成4等份，分別標上3,4,5,6四個數(shù)字．現(xiàn)為甲、乙兩人設計游戲規(guī)則：自由轉動轉盤A和B，轉盤停止后，指針指上一個數(shù)字，將指針所指的兩個數(shù)字相加，如果和是6，那么甲獲勝，否則乙獲勝，你認為這個規(guī)則公平嗎？思路點撥：先將轉盤A，B指針所得的結果都列表出來，然后觀察和是6的情況有幾種，即得甲獲勝的概率，那么，乙獲勝的概率便知；再判斷兩者是否相等即可.【解析】列表如下：BA3456145672567836789由表可知,可能的結果有12種，和為6的結果只有3種．因此，甲獲勝的概率為eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，乙獲勝的概率為eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)，甲、乙獲勝的概率不相等，所以這個游戲規(guī)則不公平.方法總結游戲公平性的標準及判斷方法(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的．(2)具體判斷時，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進行比較．當堂練習3在本例中，若將游戲規(guī)則改為：自由轉動轉盤A和B，轉盤停止后，兩個指針指向的兩個數(shù)字相乘，如果是偶數(shù)，那么甲獲勝，否則乙獲勝，游戲規(guī)則公平嗎？解析：列表如下：BA345613456268101239121518由表格可知，積為偶數(shù)的有8個，積為奇數(shù)的有4個，所以甲獲勝的概率為eq\f(8,12)＝e