哈工大考研自動控制5

自動控制原理

第五章

線性系統(tǒng)的頻域分析

1基本概念

2乃氏圖及伯特圖的繪制

3乃氏判劇的八種形式退出4穩(wěn)定欲度5閉環(huán)頻率特性性能指標(biāo)退出線性系統(tǒng)的時域分析綜述頻率特性是研究自動控制系統(tǒng)的一種工程方法。應(yīng)用頻率特性可以間接地分析系統(tǒng)的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。頻率特性法的突出優(yōu)點是組成系統(tǒng)的元件及被控對象的數(shù)學(xué)模型若不能直接從理論上推出和計算時，可以通過實驗直接求得頻率特性來分析系統(tǒng)的品質(zhì)。其次，應(yīng)用頻率特性法分析系統(tǒng)可以得出定性和定量的結(jié)論，并且有明顯的物理意義。在應(yīng)用頻率特性法分析系統(tǒng)時，可以利用曲線，圖表及經(jīng)驗公式，因此，用頻率特性法分析系統(tǒng)是很方便的。

退出本章是本書的重點，本章的重點有：乃氏圖的繪制；伯德圖的繪制；乃奎斯特穩(wěn)定判??；系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

退出退出基本概念1何謂乃氏（Nyquist）圖在復(fù)平面上，當(dāng)由變化時，向量端點的軌跡，稱為幅相頻率特性圖即乃奎斯特圖通常又稱為極坐標(biāo)圖，簡稱乃氏圖乃氏圖的優(yōu)點：它可以在一張圖上描繪出整個頻域的頻率響應(yīng)。不足之處是，不能明顯地表示出開環(huán)傳遞函數(shù)中每個單獨因子的作用。0～

退出退出2何謂尼氏（Nichols）圖尼氏圖又稱為對數(shù)幅相圖，對數(shù)幅相圖采用直角坐標(biāo)系，其中取幅頻特性的對數(shù)為縱坐標(biāo)，單位為分貝（dB），線性分度，取相頻特性做橫坐標(biāo)單位為度（），線性分度，對數(shù)幅相圖是以頻率為參變量的。

退出退出3何謂伯德（Bode）圖對數(shù)幅頻特性曲線以頻率為橫坐標(biāo)，并采用對數(shù)分度；縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)，單位為分貝（dB），線性分度，對數(shù)相頻特性曲線的橫坐標(biāo)與對數(shù)幅頻特性曲線相同；縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值單位為度（）線性分度，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性組成的對數(shù)坐標(biāo)圖，稱之為伯德圖。退出退出4何謂頻率響應(yīng)系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。開環(huán)系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為開環(huán)頻率響應(yīng)；閉環(huán)系統(tǒng)對正弦輸入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為閉環(huán)頻率響應(yīng)；退出退出（1）其穩(wěn)態(tài)輸出也是與輸入信號頻率相同的正弦信號；（推倒P129）（2）穩(wěn)態(tài)輸出信號的幅值為，得稱為系統(tǒng)的幅頻特性；（3）穩(wěn)態(tài)輸出相對正弦輸入的相移為稱為系統(tǒng)的相頻特性，稱為相位滯后，稱為相位超前。在線性定常系統(tǒng)中，系統(tǒng)或元部件的正弦輸入信號為，當(dāng)頻率由0變化到時，則其輸出量的穩(wěn)態(tài)分量的復(fù)數(shù)形式與輸入量的復(fù)數(shù)形式之比，稱為頻率特性。記為

退出5何謂最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)在s平面右半部沒有極點和零點的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)；反之，在s平面右半部有極點和零點的傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)；反之，稱為非最小相位系統(tǒng)。退出退出退出6何謂幅角定理在s平面上任選一封閉曲線，并使上每個點不包含的零點與極點，則映射到平面上也是一條封閉曲線。當(dāng)s順時針沿變化一周時，向量端點軌跡按順時針圍繞原點總?cè)?shù)等于封閉曲線內(nèi)包圍的零點數(shù)目與極點數(shù)目之差，其中，與是指在內(nèi)的零點數(shù)與極點數(shù)。退出退出

對的分析退出7何謂負穿越在乃氏圖上，開環(huán)頻率特性，從上半部分穿過負實軸的段到實軸的下半部分，稱為正穿越；開環(huán)頻率特性從下半部穿過負實軸的段到實軸的上半部分，稱為負穿越；起始于（或終止于）段的負實軸的正、負穿越稱為正負半穿越；在伯特圖上，在幅值的區(qū)域內(nèi)，當(dāng)角頻率增加時，相頻特性曲線從下向上穿越線稱為正穿越；相頻特性曲線從上向下穿越線稱為負穿越；退出8何謂控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性在控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，進一步表征其穩(wěn)定程度高低的概念，稱為控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。退出5.2乃氏圖及伯特圖的繪制頻率響應(yīng)法是一種圖解法，因而簡捷而準(zhǔn)確地作出滿足工程分析和設(shè)計需要的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線是非常重要的。幅相曲線主要用于判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故只需要概略地繪制，而對于對數(shù)頻率特性——伯特圖，工程上采用簡便作圖法，即利用對數(shù)運算的特點和典型環(huán)節(jié)的頻率特性，繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性?！顺?乃氏圖的繪制（1）基本法1）作表格2）在復(fù)平面上找到相應(yīng)的點，用光滑曲線連起來。表5-1

幅相表………………退出（2）求實部、虛部分別計算的實部和虛部，在復(fù)平面上找到相應(yīng)點，用光滑曲線連起來。退出（3）找特殊點找到幾個特殊點繪制大致圖形若存在漸近線，找出漸近線，繪出幅相頻率特性圖，如果需要另半部分，可以用鏡像原理，做出全頻段的幅像特性圖

退出

典型環(huán)節(jié)的乃氏圖（幅相頻率圖）的繪制1比例環(huán)節(jié)退出

2積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)退出

3慣性環(huán)節(jié)和一階環(huán)節(jié)退出

證明寫出實部與虛部各自的參量方程如下：退出

退出

4型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

退出

退出

退出

退出

退出2伯特圖的繪制（1）將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)化為典型環(huán)節(jié)的連乘積形式；（2）找出每一個典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性的交接頻率與斜率；（3）在處作20lgk，在此基礎(chǔ)上作積分環(huán)節(jié)，然后按轉(zhuǎn)折頻率由小至大依次作出其它環(huán)節(jié)；（4）進行必要的修正說明：在繪制Bode圖時，一般慣性環(huán)節(jié)無特殊說明不需要修正；而振蕩環(huán)節(jié)需要修正。退出（5）分別作出每個典型環(huán)節(jié)的相頻特性，然后疊加；或者先作對數(shù)相移計算表，然后在半對數(shù)坐標(biāo)紙上找到相應(yīng)點再用平滑曲線連接而成。退出1比例環(huán)節(jié)退出2積分環(huán)節(jié)退出3慣性環(huán)節(jié)退出4振蕩環(huán)節(jié)退出4振蕩環(huán)節(jié)退出退出4其他環(huán)節(jié)退出退出5.3乃氏判劇的八種形式1形式Ⅰ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)由變到時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性按逆時針方向包圍（-1，j0）點P周，P為位于s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)目。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。退出退出退出退出退出7何謂負穿越在乃氏圖上，開環(huán)頻率特性，從上半部分穿過負實軸的段到實軸的下半部分，稱為正穿越；開環(huán)頻率特性從下半部穿過負實軸的段到實軸的上半部分，稱為負穿越；起始于（或終止于）段的負實軸的正、負穿越稱為正負半穿越；在伯特圖上，在幅值的區(qū)域內(nèi)，當(dāng)角頻率增加時，相頻特性曲線從下向上穿越線稱為正穿越；相頻特性曲線從上向下穿越線稱為負穿越；退出退出退出綜上所述，乃氏判據(jù)判穩(wěn)時可能發(fā)生的情況為：（Ⅰ）不包圍（-1，j0）點，若則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；（Ⅱ）逆時針包圍（-1，j0）點次，若則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；（Ⅲ）順時針包圍（-1，j0）點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。退出問題：1在引入Nyquist判劇時，為什么只就開環(huán)極點在虛軸上的分布情況進行討論而沒有就開環(huán)零點的情況進行討論？2原點處有開環(huán)極點時為什么要補作一條虛線，虛線在實際中是否存在？補作虛線與開環(huán)傳函中的那一個環(huán)節(jié)有關(guān)系，在給出的Nyquist 判劇形式Ⅰ與形式Ⅱ中的具體關(guān)系是什么？3根據(jù)Nyquist判劇給出如下情況的分析：對于P=0的開環(huán)系統(tǒng)，若其開環(huán)頻率響應(yīng)通過（-1，j0）點，則系統(tǒng)處于什么狀態(tài)？退出2形式Ⅱ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)角頻率由0變化到＋∞時，開環(huán)頻率特性正、負穿越平面負實軸上（-1，-∞

）段的次數(shù)差為，這里是開環(huán)傳遞函數(shù)極點中處于s平面右半部的數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。退出3形式Ⅲ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性不為負值的所有頻段內(nèi)，對數(shù)相頻特性與線的正穿越與負穿越次數(shù)差為，這里是開環(huán)傳遞函數(shù)位于s平面右半部的極點數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

退出退出4形式Ⅳ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在Nichols圖0dB線上方，開環(huán)頻率響應(yīng)的對數(shù)幅相特性對線的正、負穿越次數(shù)差應(yīng)等于，其中為s平面右半部含有的開環(huán)傳遞函數(shù)極點的數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。退出退出5形式Ⅴ對于最小相位系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，；否則不穩(wěn)定。

6形式Ⅵ乃氏判據(jù)左手定則。乃氏判據(jù)左手定則的內(nèi)容如下：將左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面內(nèi)垂直且指尖向上，對于最小相位系統(tǒng)，將左手放在系統(tǒng)開環(huán)頻率特性即將包圍（-1，j0）點的最里層上，且四指指尖與系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的方向相同，若手背朝向（-1，j0）點，則該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。

退出退出7形式Ⅶ若系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)的開環(huán)增益增加大于原來倍，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

8形式Ⅷ若系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)對頻率為的信號的相角增加大于，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。退出5.4穩(wěn)定裕度設(shè)計控制系統(tǒng)，要求它必須穩(wěn)定，這是控制系統(tǒng)賴以正常工作的必要條件。除此之外，還要求控制系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)南鄬Ψ€(wěn)定性。相對穩(wěn)定性的概念：基于Nyquist判劇，當(dāng)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部無極點時，其開環(huán)頻率響應(yīng)若通過點（-1，j0），則控制系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定邊緣。在這種情況下若控制系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生漂移，便有可能使控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)包圍點（-1，j0），從而造成控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，在Nyquist

圖上，開環(huán)頻率響應(yīng)與點（-1，j0

）的接近程度可直接表征控制系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。退出其定性關(guān)系是：在Nyquist圖上，不包圍點（-1，j0）的情況下，若離點（-1，j0）越遠，說明具有P=0的控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性程度越高；反之，越靠近點（-1，j0），則上述系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。在控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，進一步用以表征其穩(wěn)定程度高、低的概念，便是通常所謂的控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。退出穩(wěn)定裕度是衡量系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的指標(biāo)，有相角裕度和幅值裕度1相角裕度當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值為1時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性相角與的和定義為相角裕度，所對應(yīng)的頻率稱系統(tǒng)的剪切頻率，即式中滿足退出2幅值裕度當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為時，系統(tǒng)開環(huán)頻率幅值的倒數(shù)定義為幅值裕度，所對應(yīng)的頻率稱相位交界頻率，即如果以分貝為單位來表示幅值裕度時，有保持適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕度，可以預(yù)防系統(tǒng)中元件性能變化等可能帶來的不利影響。為了得到較滿意的暫態(tài)響應(yīng)，一般相角裕度應(yīng)當(dāng)為在到之間，而幅值裕度應(yīng)大于退出退出退出5.5閉環(huán)頻率特性性能指標(biāo)常用的指標(biāo)有諧振峰值，系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率。1諧振峰值諧振峰值是指系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性幅值的最大值2系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率設(shè)為系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，當(dāng)幅值特性下降到時，對應(yīng)的頻率稱為帶寬頻率。頻率范圍稱為系統(tǒng)帶寬。

退出5.6頻率域指標(biāo)的計算對于典型二階系統(tǒng)，頻域指標(biāo)可解析計算；高階系統(tǒng)頻域指標(biāo)一般由經(jīng)驗公式計算。1典型二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為有阻尼自振角頻率剪切頻率相角裕度退出帶寬頻率諧振頻率諧振峰值典型二階系統(tǒng)的幅值裕度為無窮大退出2高階系統(tǒng)諧振峰值的確定，工程上常采用下述經(jīng)驗公式式中中間頻段退出例題1（教材P185，5-8）

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相特性與對數(shù)頻率特性。退出解：慣性環(huán)節(jié)的交接頻率為找漸近線退出則退出

乃氏圖退出伯特圖退出例題2（教材P186，5-17）如圖題5-17所示的乃氏曲線中，判別哪些是穩(wěn)定的，哪些是不穩(wěn)定的。

退出解：所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定退出所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)穩(wěn)定退出例題3（教材P187，5-25）已知最小相位開環(huán)系統(tǒng)的漸近對數(shù)幅頻特性如圖題5-25所示。試寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。繪制相應(yīng)的相頻特性圖并判斷其閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。