第10章-小波變換與多分辨率分析20160822

第十章小波變換與多分辨率分析

Chapter10Contents小波分析的發(fā)展簡史連續(xù)小波變換離散小波變換多分辨率分析與Mallat算法二維離散小波分析小波包變換小波變換在圖像處理中的應(yīng)用小波分析的發(fā)展簡史小波分析的發(fā)展簡史：20世紀50年代起，傅里葉變換一直是圖像頻域分析的基石，但它無法描述信號的局部頻率特征。為了研究信號在局部時間范圍的頻率特征，Gabor于1946年提出了短時傅里葉變換。20世紀80年代后期，小波變換應(yīng)運而生，它能夠?qū)λ沧儭⒎瞧椒€(wěn)、時變信號的頻率特征進行更細致的分析，彌補了短時傅里葉變換在信號分析中的不足。小波是一種定義在有限時間且幅度平均值為零的函數(shù)。顧名思義，小波具有小和波動2個特點：“小”，表現(xiàn)在小波具有時域局部性；“波動性”，表現(xiàn)小波函數(shù)在時域上是正負交替的波。小波函數(shù)示意圖連續(xù)小波變換小波與連續(xù)小波變換：對于函數(shù)

，如果

，則稱

是一個小波。連續(xù)小波：設(shè)

，其傅里葉變換為

,并滿足,則通過對小波函數(shù)

進行伸縮和平移來生成基函數(shù)

：式中，

稱為基本小波，

稱為尺度因子，

稱為平移因子。小波函數(shù)

具有以下性質(zhì)：由

，可知

，即

具有衰減性。特別地，

是局部非零緊支函數(shù)。由

，可知

，即

具有能量有限性。設(shè)

是小波，

是其傅里葉變換,若

在

連續(xù),根據(jù)傅里葉變換定義,由

，可知

具有波動性。由

，可知

具有帶通性。波形的尺度伸縮和時間平移(a)不同尺度的伸縮s=1、s=2和s=4(b)時間平移τ=1連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換：設(shè)

是平方可積函數(shù)

，

是基本小波，連續(xù)小波變換定義為，式中，

是連續(xù)小波，

表示

的共軛函數(shù)，

表示函數(shù)

和小波函數(shù)

的內(nèi)積，連續(xù)小波變換的系數(shù)也可記作

。連續(xù)小波變換的4個基本步驟：將小波函數(shù)

與待分析信號

的初始時刻對齊。計算當前時刻待分析信號與小波函數(shù)的小波變換系數(shù)

，該系數(shù)反映當前時刻的信號與小波函數(shù)的相似程度。將小波函數(shù)沿著時間軸向右平移時間

，產(chǎn)生小波函數(shù)

，重復(fù)步驟1和2，直至完成整個時間軸上的小波變換系數(shù)的計算。對小波函數(shù)

尺度

進行伸縮，產(chǎn)生小波函數(shù)為

，重復(fù)步驟1、2和3，計算所有尺度下的小波變換系數(shù)。

(a)步驟1和2(b)步驟3

(c)步驟4

(d)尺度為1的小波系數(shù)(e)尺度為1的小波系數(shù)連續(xù)小波變換的過程連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換

(a)分段正弦信號(a)多普勒頻移正弦信號(a)分形信號分段正弦信號及其變換系數(shù)圖多普勒頻移正弦信號及其連續(xù)小波變換系數(shù)圖分形信號連續(xù)小波及其連續(xù)小波變換系數(shù)圖

(b)連續(xù)小波變換系數(shù)圖(b)連續(xù)小波變換系數(shù)圖(b)連續(xù)小波變換系數(shù)圖連續(xù)小波變換連續(xù)小波逆變換：對于小波變換而言，基本小波

滿足允許條件(admissiblecondition)時：逆變換才存在。此時，才能由

反演原函數(shù)

：小波變換在頻域上的解釋：設(shè)，

，根據(jù)傅里葉變換的尺度性，

，利用卷積定理，連續(xù)小波變換的等效頻域定義為，從頻域上看，連續(xù)小波變換相當于用不同尺度的一組帶通濾波器·對信號進行分解濾波，將待分析信號分解為一系列頻帶上的信號，而連續(xù)小波逆變換則是從分解到各個頻帶的信號重建原信號。多普勒信號的連續(xù)小波變換近似(a)連續(xù)小波變換系數(shù)連續(xù)小波變換(b)用前10個系數(shù)重建的信號(c)用后10個系數(shù)重建的信號連續(xù)小波變換小波函數(shù)的傅里葉分析：設(shè)

，

，根據(jù)傅里葉變換的尺度性和時移性，可知

與

的關(guān)系為，Marr小波的表達式為，

它的傅里葉變換為，尺度因子s小的小波函數(shù)頻率高，帶寬展寬，而時間縮短，適合于對信號的高頻成分進行分析；尺度因子s大的小波函數(shù)頻率低，帶寬收窄，而時間伸長，適合于對信號的低頻成分進行分析。不同尺度因子的小波函數(shù)及其傅里葉變換連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換的時頻分析：小波變換是一種信號時頻分析的重要工具。沿著時間軸來看，它的時頻窗在低頻部分展寬，時間分辨率降低，而在高頻部分收窄，時間分辨率提高。沿著頻率軸來看，在高頻部分展寬，頻率分辨率降低，而在低頻部分收窄，頻率分辨率提高。對于信號中很短的瞬時高頻現(xiàn)象，小波變換能夠比短時傅里葉變換更好地“移近”觀察，因此，小波變換具有“數(shù)學顯微鏡”之稱。小波函數(shù)的窗寬、帶寬與時間中心、頻率中心之間的關(guān)系連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換的性質(zhì)：線性疊加性:若

、的小波變換為

、，

則有，尺度共變性:若

的小波變換為

,有,這表明當信號

做某一倍數(shù)的伸縮時其小波系數(shù)

在尺度和時間軸上做同一倍數(shù)的伸縮，不會發(fā)生失真變形，這就是小波變換稱為“數(shù)學顯微鏡”的重要依據(jù)。時移不變性:若的

小波變換為

，則，尺度與頻率之間的關(guān)系:小波變換的尺度所對應(yīng)的頻率實際上稱為偽頻率(Pseudo-frequency)更為合適，偽頻率

與尺度s之間的關(guān)系為，

式中，

為采樣周期，

為小波的頻率中心。(a)db2(頻率中心為)

(b)db7(頻率中心為)(c)coif1(頻率中心為)

(d)gaus4(頻率中心為)小波函數(shù)的頻率中心及相關(guān)聯(lián)的純周期信號連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換小波變換與傅里葉變換、短時傅里葉變換的比較傅里葉變換：當用傅里葉變換表示一個信號時，只有頻率分辨率而沒有時間分辨率，這就是說，利用傅里葉分析只能獲得信號的整個頻譜，確定信號中包含的所有頻率成分，而不能確定具有這些頻率的信號在時間軸上出現(xiàn)的位置。因而，傅里葉分析無法表達瞬變信號、非平穩(wěn)信號或者時變信號的局部時頻特性。信號的傅里葉分析(a)一維函數(shù)(b)圖(a)的傅里葉變換展開的基函數(shù)連續(xù)小波變換信號的短時傅里葉分析短時傅里葉變換：短時傅里葉變換的固有局限在于使用固定尺寸和形狀的時間窗，這對分析時變信號是不利的。高頻信號一般持續(xù)時間較短，適合使用小尺寸的時間窗，相對小時間間隔可以給出較高的精度；而低頻信號一般持續(xù)時間較長，適合使用大尺寸的時間窗，相對大時間間隔可以給出完全的信息。因此，對于非平穩(wěn)信號，當信號變化劇烈時，則要求窗函數(shù)有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率；而波形變化平緩時，則需要窗函數(shù)有較低的時間分辨率和較高的頻率分辨率。連續(xù)小波變換常用小波：所有滿足小波條件的函數(shù)均可作為小波函數(shù)，不同的實際應(yīng)用中選擇不同的小波函數(shù)。小波函數(shù)的名稱多以構(gòu)造者的名字命名。例如，Morlet小波是Grossman和Morlet構(gòu)造的，Daubechies系列小波由著名小波學者Daubechies構(gòu)造的幾種小波之一，Meyer小波是Meyer構(gòu)造的。當然，也有例外，Symlets系列小波也是由Daubechies構(gòu)造的，Symlets的名字由來是對稱小波，Coiflets系列小波是應(yīng)Coifman的請求，由Daubechies構(gòu)造的。連續(xù)小波變換Haar(哈爾)小波：Haar小波是小波分析發(fā)展中最早也是最簡單的小波函數(shù)，它本身是一個階躍函數(shù)，其小波函數(shù)與尺度函數(shù)可以用解析形式表達為，Haar小波函數(shù)及其尺度函數(shù)dbN小波系的小波函數(shù)及其尺度函數(shù)(a)db2小波函數(shù)(b)db4小波函數(shù)(c)db15小波函數(shù)連續(xù)小波變換Daubechies小波系(dbN)

：db1小波等價于Haar小波，其余的db系列小波函數(shù)沒有解析式。Daubechies小波系是正交的，也是雙正交的，存在緊支集，可做離散小波變換和連續(xù)小波變換。它的緊支集長度為2N-1，濾波器長度為2N，小波函數(shù)

的消失矩為N。當N≠1時，dbN小波函數(shù)不具有對稱性。Daubechies小波系在給定緊支集長度下具有最大消失矩。symN小波系的小波函數(shù)及其尺度函數(shù)(a)sym2小波函數(shù)(b)sym4小波函數(shù)(c)sym15小波函數(shù)連續(xù)小波變換Symlets小波系(symN)

：symN小波在保持dbN小波特征的基礎(chǔ)上提高了小波的對稱性。盡管它們不是完全對稱，但是在給定緊支撐設(shè)計下具有最小不對稱性和最大消失矩。Symlets系列小波是正交的，也是雙正交的，存在緊支集，可做離散小波變換和連續(xù)小波變換。它的緊支集長度為2N-1，濾波器長度為2N，最大程度上接近對稱性，小波函數(shù)

的消失矩為N。coifN小波系的小波函數(shù)及其尺度函數(shù)(a)coif2小波函數(shù)(b)coif4小波函數(shù)(c)coif5小波函數(shù)連續(xù)小波變換Coiflets小波系(coifN)

：Coiflets系列小波函數(shù)是正交的，也是雙正交的，存在緊支集，可做離散小波變換和連續(xù)小波變換。它的緊支集長度為6N-1，濾波器長度為6N，接近對稱性，小波函數(shù)

的消失矩為2N

，尺度函數(shù)的消失矩為2N-1。連續(xù)小波變換雙正交樣條小波系(bior)

：雙正交樣條系小波是雙正交小波，不具有正交性，存在緊支集，可做離散小波變換和連續(xù)小波變換。重建小波的緊支集長度為2Nr-1，分解小波的緊支集長度為2Nd-1。具有對稱性，小波分解函數(shù)

的消失矩為Nr。bior小波系的小波函數(shù)及其尺度函數(shù)

(a)bior4.4小波分解函數(shù)(c)bior5.5小波分解函數(shù)(e)bior6.8小波分解函數(shù)

(b)bior4.4小波重建函數(shù)(d)bior5.5小波重建函數(shù)(f)bior6.8小波重建函數(shù)(a)為偶數(shù)(b)為奇數(shù)連續(xù)小波變換Gaussian小波函數(shù)Gaussian小波：Gaussian小波定義為高斯概率密度函數(shù)的導數(shù)：

式中，

滿足

的2-范數(shù)等于1。Gaussian小波不存在尺度函數(shù)，不具備正交性和雙正交性，也不存在緊支集。它滿足連續(xù)小波的允許條件，可做連續(xù)小波變換，但不可做離散小波變換。支撐長度為∞，有效支撐域為[-8,8]

。Gaussian小波是對稱小波，n為偶數(shù)時，具有對稱性；n為奇數(shù)時，具有反對稱性。連續(xù)小波變換Marr小波函數(shù)Marr小波(墨西哥草帽小波)：Marr小波簡寫為mexh，是一個具有解析表達式的小波函數(shù)。Marr小波定義為高斯概率密度函數(shù)的二階導數(shù)：式中，

為歸一化因子。Marr小波的截面類似墨西哥草帽，因此也被稱為墨西哥草帽小波。Marr小波不存在尺度函數(shù)，也不具有正交性，不存在緊支集，也不可做離散小波變換，支撐長度為∞，有效支撐域為[-5,5]，是對稱小波。Marr小波是以高斯概率密度函數(shù)的n階導數(shù)定義的Gaussian小波中n=2時的特例。連續(xù)小波變換Morlet小波函數(shù)Morlet小波：Morlet小波簡寫為morl，是一個具有解析表達式的小波函數(shù)，Morlet小波的解析表達式為：Morlet小波不存在尺度函數(shù)，不具備正交性和雙正交性，也不存在緊支集，滿足連續(xù)小波的允許條件，可做連續(xù)小波變換，但不可做離散小波變換。支撐長度為∞，有效支撐域為[-5,5]

，具有對稱性。連續(xù)小波變換Meyer小波函數(shù)及其尺度函數(shù)離散Meyer小波函數(shù)及其尺度函數(shù)Meyer小波：Meyer小波簡寫為meyr，它的小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻域中定義的。Meyer小波是正交小波，也是雙正交小波，不存在緊支集?？梢宰鲭x散小波變換和連續(xù)小波變換，但是，沒有快速小波變換。支撐長度為∞，有效支撐域為[-8,8]

，具有對稱性。離散Meyer小波：離散Meyer小波簡寫為dmey，是Meyer小波的FIR近似。離散Meyer小波具有正交性和雙正交性，存在緊支集，可做快速小波變換。離散小波變換離散小波變換：連續(xù)小波變換實際上是使用離散的數(shù)據(jù)進行計算的，只是所用的尺度因子和平移因子是連續(xù)的，計算量龐大。為了解決計算量的問題，離散小波變換使用離散的尺度因子和平移因子。二進小波變換：尺度的離散化：對尺度按冪級數(shù)做離散化，即尺度因子只取整數(shù)次冪

。位移的離散化是與尺度的離散化密切相關(guān)的，當j=0時，

以某一基本間隔

做均勻采樣。在其余各尺度下由于·的寬度是

的

倍，因此采樣間隔可以擴大

倍。也就是說，在尺度j下沿

軸以

為間隔做均勻采樣仍可保證不丟失信息。這樣，相應(yīng)的離散小波函數(shù)可表示為，二進小波通過對基本小波的二進伸縮和整數(shù)平移來構(gòu)成基函數(shù)，二進小波變換系數(shù)圖(a)分段正弦信號(b)多普勒頻移正弦信號(c)分形信號離散小波變換平面的二進柵格離散小波變換小波框架：在離散小波變換中，能否由二進小波系數(shù)

數(shù)值穩(wěn)定地完全重建

，可利用小波框架加以研究。小波框架定義：當由基本小波

經(jīng)伸縮和平移引出的小波函數(shù)族·具有下述性質(zhì)時，則稱

構(gòu)成一個框架：式中，A和B為框架的上下界。若框架界A=B，則稱框架為緊框架。對于緊框架，可由下式完全重建原函數(shù)：若A=B=1，

是一組正交基；若還滿足

，則是一組標準正交基；上式稱為離散小波逆變換。在非緊框架的情形下，原函數(shù)可由下式重建：其中，

是

的對偶框架。離散小波變換時頻分辨率：根據(jù)離散小波變換的Parseval定理，信號的能量是平移因子k和尺度因子j的函數(shù)：為了定性描述二進小波變換，根據(jù)二進小波變換中的k和尺度因子j將時間頻率平面剖分為塊。在低頻部分(對應(yīng)大尺度j)，塊較寬(平移k較大)且較短，時間分辨率較低而頻率分辨率較高；而在高頻部分(對應(yīng)小尺度

j)

，塊較窄(平移k較小)且較長，時間分辨率較高而頻率分辨率較低。二進小波基函數(shù)短時傅里葉變換基函數(shù)—寬窗短時傅里葉變換基函數(shù)—窄窗傅里葉變換基函數(shù)多分辨率分析與Mallat算法多分辨率分析與Mallat算法：小波是一種能夠自動適應(yīng)各種頻率成分的有效信號分析工具，這種由粗到細的逐級分析稱為多分辨率分析。多分辨率分析：Mallat和Meyer從函數(shù)的多分辨率空間分解概念出發(fā)，在小波變換與多分辨率空間分解之間建立聯(lián)系。平方可積函數(shù)空間

的一個多分辨率分析是一系列嵌套閉子空間序列：且滿足以下4個條件：完備性：當

時，;當

時，

。平移不變性：若

，則有尺度相似性：若

，則有正交基存在性：存在平方可積函數(shù)

，它的所有整數(shù)平移

構(gòu)成

空間的標準正交基，即，

式中，符號上方的直線表示閉空間。多分辨率分析與Mallat算法稱為多分辨率分析的尺度函數(shù)，稱為尺度j下的尺度空間。由大尺度的尺度函數(shù)張成的閉子空間嵌套在由小尺度函數(shù)張成的閉子空間內(nèi)，由此，多分辨率分析也稱為多尺度分析。

為閉子空間

的標準正交基，根據(jù)多分辨率分析的尺度相似性，可知，

必為閉子空間

的標準正交基，若

，則可以用

線性展開表示為，由尺度函數(shù)張成的嵌套閉子空間多分辨率分析與Mallat算法小波函數(shù)與小波空間：給定滿足多分辨率要求的尺度函數(shù)，定義相鄰兩個尺度空間

和

的差空間為小波空間

,并構(gòu)造小波函數(shù)使其經(jīng)過二進尺度伸縮后的所有整數(shù)平移能夠張成小波空間

。則在尺度函數(shù)的子空間

中，尺度函數(shù)和小波函數(shù)的子空間

和

互為補空間，

是

中

的正交補空間，

，即子空間

的所有函數(shù)與子空間

中的所有函數(shù)都是正交的：以j=0開始，嵌套子空間可寫為，尺度與小波函數(shù)空間關(guān)系多分辨率分析與Mallat算法由于小波函數(shù)屬于由相鄰雙倍分辨率尺度函數(shù)張成的空間中，也就是，

包含于

中，所以，子空間中的小波函數(shù)可以表示為子空間

的尺度函數(shù)的線性展開，式中，

為小波函數(shù)系數(shù)，或者小波向量。任意相鄰尺度空間與小波空間

的基函數(shù)的關(guān)系可表示為，根據(jù)尺度函數(shù)和小波函數(shù)的互補性，對于任意函數(shù)

，可由小波函數(shù)

和尺度函數(shù)

線性展開為：

式中，

稱為j級近似系數(shù)，

稱為j級細節(jié)系數(shù)。若滿足正交小波條件，則展開系數(shù)的計算如下：若滿足雙正交小波條件，則展開系數(shù)的計算如下：多分辨率分析與Mallat算法Haar尺度空間

中的基函數(shù)Haar尺度函數(shù)和小波函數(shù)分解多分辨率分析與Mallat算法凹凸函數(shù)凹凸函數(shù)在Haar各級尺度空間

中的投影

凹凸函數(shù)投影在各個尺度空間中凹凸函數(shù)投影在各個小波空間中多分辨率分析與Mallat算法正交子空間的直和多分辨率分析與Mallat算法多分辨率分析與Mallat算法雙尺度方程與多分辨率分析：多分辨率分析的核心是選擇尺度空間

的一組標準正交基

，并由小波空間構(gòu)造出小波函數(shù)的一組標準正交基。雙尺度方程：雙尺度方程是多分辨率分析賦予尺度函數(shù)

和小波函數(shù)

的基本特性，它描述了相鄰兩個尺度空間

和

的基函數(shù)·和

，以及相鄰的尺度空間

和小波空間

的基函數(shù)·和

之間的關(guān)系。由于，

可見，雙尺度方程中的尺度函數(shù)系數(shù)

和小波函數(shù)系數(shù)

與尺度級j無關(guān)，多分辨率分析的雙尺度方程描述的是任意相鄰兩級分辨率空間之間的關(guān)系。多分辨率分析與Mallat算法雙尺度方程中系數(shù)的性質(zhì)：在雙尺度方程中，尺度函數(shù)系數(shù)

和小波函數(shù)系數(shù)

滿足如下3點性質(zhì)。尺度函數(shù)系數(shù)之和滿足

，其范數(shù)滿足

；小波函數(shù)系數(shù)之和滿足，其范數(shù)滿足和本身都具有偶次移位的標準正交性：與之間具有偶次移位的正交性：多分辨率分析與Mallat算法正交小波分解與重建：Mallat于1989年提出了一種實現(xiàn)二進小波變換快速計算的快速小波變換，推導出相鄰兩級分辨率尺度系數(shù)與小波系數(shù)之間的遞推關(guān)系，也稱為Mallat算法。Mallat算法：快速小波變換的Mallat算法是將信號分解為尺度系數(shù)和小波系數(shù)，這一過程稱為小波分解?？焖傩〔孀儞Q是利用信號的小波分解系數(shù)來恢復(fù)原信號，這一過程稱為小波重建。Mallat小波分解：是將子高一級空間

的尺度系數(shù)

分解為更低一級子空間

的尺度系數(shù)

和子空間

的小波系數(shù)

，

由

分解為

和

的過程完全、相同。Mallat小波重建：是逆向推導由低一級子空間

的尺度系數(shù)

和子空間

的小波系數(shù)

重建高一級子空間

的尺度系數(shù)

，

由

和

重建

的過程完全相同。多分辨率分析與Mallat算法頻譜分解：Mallat小波分解和重建過程是在任意相鄰的兩個尺度空間中推導的，因此可以表示為小波展開系數(shù)的一般形式

和

。當討論離散小波變換時，利用離散小波變換系數(shù)

和

來表示小波分解式為，由此可見，可以通過卷積和下采樣操作來實現(xiàn)小波分解。首先將尺度級j的近似系數(shù)

分別與時序反轉(zhuǎn)的尺度向量

和小波向量

做卷積，然后以因子2對卷積結(jié)果進行下采樣，計算得出尺度級j+1的尺度系數(shù)

和小波系數(shù)

。多分辨率分析與Mallat算法小波分解方框圖頻譜分解三尺度小波分解方框圖頻譜分解這些系數(shù)可用多采樣率濾波器組形式表現(xiàn)出來。通過尺度向量

和小波向量

，將高一級分辨率的尺度系數(shù)分解為近似成分的尺度系數(shù)

和細節(jié)成分的小波系數(shù)

，和

構(gòu)成分析濾波器組。多分辨率分析與Mallat算法小波重建方框圖三尺度小波重建方框圖可通過上采樣和卷積操作來實現(xiàn)小波重建。首先對小波系數(shù)

和尺度系數(shù)

進行因子2的上采樣，并分別與小波向量

和尺度向量

做卷積，然后相加產(chǎn)生高一級分辨率尺度系數(shù),

和

構(gòu)成合成濾波器組。多分辨率分析與Mallat算法使用Haar小波分析濾波器組的快速小波變換使用Haar小波合成濾波器組的快速小波逆變換多分辨率分析與Mallat算法正交濾波器組：通過離散小波變換實現(xiàn)多分辨率分析的有效途徑是使用多采樣率濾波器組，本節(jié)討論雙通道正交濾波器組的完全重建問題。插值和抽取是多采樣率信號處理的兩個基本環(huán)節(jié)，設(shè)

為輸入序列，·為輸出序列，插值(上采樣)的時域關(guān)系和Z變換的關(guān)系分別為，

抽取(下采樣)的時域關(guān)系和Z變換的關(guān)系分別為，

因子2的上采樣因子2的下采樣多分辨率分析與Mallat算法根據(jù)Z變換域中卷積、插值和抽取的輸出與輸入之間的關(guān)系，可知，輸出

與輸入

之間的關(guān)系為，根據(jù)前一節(jié)Mallat小波分解中的定義，

可得分解與重建濾波器組之間的Z變換域關(guān)系滿足，可以證明，在此分解與重建濾波器組下，，這就是說，能夠完全重建。雙通道濾波器組分解與重建濾波器組的頻率響應(yīng)特性多分辨率分析與Mallat算法(a)4階Daubechies小波(db4)

(b)4階Symlets小波(sym4)從尺度函數(shù)的FIR濾波器

，可以定義4個階數(shù)為N的FIR濾波器，它們是分解濾波器

和

、重建濾波器

和

。4個濾波器的計算關(guān)系多分辨率分析與Mallat算法在使用正交濾波器組執(zhí)行快速小波變換和逆變換的三尺度小波分解和重建過程中，小波分解包括濾波和抽取兩個過程，小波分解濾波器組由低通分解濾波器

和高通分解濾波器

構(gòu)成。低通濾波器輸出的近似系數(shù)是以更低分辨率對待分析信號的平滑近似，保留了待分析信號的低頻成分，因而集中了大部分能量，而高通濾波器輸出的細節(jié)系數(shù)就是二進柵格上各點的離散小波變換，是待分析信號的高頻成分。小波重建包括插值和濾波兩個過程，小波重建濾波器組由低通重建濾波器

和高通重建濾波器

構(gòu)成。使用正交濾波器組的三尺度小波分解和重建過程純頻率混合正弦波的5級小波分解(a)純頻率混合正弦波(b)各尺度的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)多分辨率分析與Mallat算法加性噪聲正弦波的5級小波分解(a)加性噪聲正弦波(b)各尺度的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)多分辨率分析與Mallat算法二維離散小波分析二維離散小波分析：由于小波變換具有好的局部時頻分析能力，利用小波的多分辨率分析特性可以聚焦到圖像的任意細節(jié)，既可以描述圖像的平坦區(qū)域，又可以描述圖像的局部突變。二維離散小波變換：張量積方法是最簡單且常用的構(gòu)造多維小波基的方法，這種方法可將一維多分辨率分析很容易地擴展到二維多分辨率分析。設(shè)

是嵌套子空間序列的一個子空間，表示張量積，則

是

的多分辨率分析的充要條件是

為

的一個多分辨率分析。這里只討論可分離的二維多分辨率分析，即二維函數(shù)是可分離的兩個一維函數(shù)的積。在二維情況下，需要1個二維尺度函數(shù)

和3個三個方向敏感的二維小波函數(shù)

、

和

，分別對應(yīng)列、行和對角方向上的灰度變化。(a)

(b)

(c)

(d)

4階Daubechies小波(db4)的二維小波變換二維離散小波分析(a)

(b)

(c)

(d)

4階Symlets小波(sym4)的二維小波變換二維離散小波分析二維離散小波分析與一維多分辨率分析類似，在二維情況下二維尺度函數(shù)

的尺度伸縮和時間平移

構(gòu)成二維尺度空間的標準正交基：二維小波函數(shù)

的尺度伸縮和時間平移

構(gòu)成二維小波空間的標準正交基：對于二維函數(shù)

，相應(yīng)的二進小波變換定義為，其中，構(gòu)成函數(shù)

的二維正交分解，分別代表在最低分辨率下的尺度系數(shù)以及三個方向上的小波系數(shù)。二維離散小波分析二維小波分解濾波器組圖像分解過程二維小波重建濾波器組二維快速小波變換的頻譜分解二維離散小波變換(a)灰度圖像(b)行變換(c)列變換二維離散小波分析二維離散小波分析二維離散小波多尺度分析：通常低分辨率圖像用于分析大的結(jié)構(gòu)或圖像的整體內(nèi)容，而高分辨率圖像用于分析單個目標的細節(jié)特性，這樣由粗到細的分析策略就是多分辨率分析。將輸入圖像

作為最高分辨率的近似系數(shù)，即

。對于

的寬高最小值為

的情況，這個過程最多可以執(zhí)行K次迭代而生成尺度為

的K尺度快速小波變換。需要注意的是邊界延拓問題。由于濾波器在卷積過程中會落在圖像的外部，不可避免地發(fā)生信號的邊界失真問題。因此，在進行小波分解前，需要對信號的邊界進行延拓，主要有對稱延拓、周期延拓、平滑延拓、零延拓等延拓方式。二尺度小波分解表示二維離散小波三尺度分解(a)一級小波分解(b)二級小波分解(c)三級小波分解二維離散小波分析二維離散小波分析三級小波分解樹小波包變換小波包變換：小波包變換不僅對信號的低頻成分進行連續(xù)分解，而且對高頻成分也進行連續(xù)分解，這樣不僅可獲得許多較低分辨率的低頻成分，也可獲得許多較低分辨率的高頻成分。小波包變換：將三尺度小波分解表示二叉樹的形式，稱為小波分析樹。小波分析樹所示的帶寬之間呈以2為底對數(shù)關(guān)系的頻譜分解，以及時間頻率平面剖分。如同對低通尺度函數(shù)分支，對高通小波函數(shù)分支同樣地迭代使用Mallat算法，從而生成允許在高頻成分進行多尺度分解的基函數(shù)。三尺度小波包分析樹是完全二叉樹結(jié)構(gòu)，完全二叉樹結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生間隔完全均勻的頻率分辨率?？焖傩〔ㄗ儞Q的時間復(fù)雜度為

，而快速小波包變換的浮點運算次數(shù)為

，這個過程類似于快速傅里葉變換。小波包變換在某種程度上與短時傅里葉變換類似，小波包因此得名。小波包變換小波變換小波包變換小波包分解頻譜分解三尺度小波和小波包分析樹三尺度小波包分解及其頻譜分解小波包變換正交小波的小波包生成過程：設(shè)FIR濾波器

和

的長度均為2N，通過下面的遞推定義函數(shù)序列

：式中，

是尺度函數(shù)，

是小波函數(shù)。對于小波包序列

，小波包的分析函數(shù)族可表示為，

式中，j、k為尺度與時間參數(shù)，n為頻率階數(shù)。集合

稱為小波包；對于正整數(shù)j和n，小波包可以表示為樹結(jié)構(gòu)。由

張成的子空間表示為：函數(shù)族

是子空間

中正交基。

可以分解為兩個子空間：

張成的子空間

和

張成的子空間

，這給出了小波包結(jié)構(gòu)樹分解的解釋。小波包變換小波包正交基的每一級下具有不同的時間頻率剖分，各塊的面積仍是相等的。不同于小波變換僅對低頻成分做更細致的分解，小波包變換對高頻成分和低頻成分都做更細致的分解，因而，小波包基函數(shù)具有均勻的時間頻率平面剖分。在最細的尺度階段，本質(zhì)上是時域基函數(shù)——單位脈沖函數(shù)。在小波包逐級分解的過程中，沿著頻率軸看，第1級分解將頻譜帶寬分解為高頻子帶和低頻子帶，第2級分解將已分解的高頻帶寬和低頻帶寬進一步分解為兩個部分，依此類推。小波包變換基函數(shù)的時間頻率剖分小波包變換按照小波包基函數(shù)的頻率次序，從底部的高頻率到頂部的低頻率繪制小波包系數(shù)，可以看出，1)小波包變換系數(shù)在不同頻率具有均勻的時間間隔；2)隨著分解級數(shù)的增加，頻率分辨率增大，而時間分辨率減小。L尺度小波變換能夠提供L種惟一的空間分解，三尺度小波分析樹有如下三種可能的空間分解，分別單尺度、二尺度和三尺度小波分解：、和。四尺度小波包分解五尺度小波包分解六尺度小波包分解完全不重疊時間窗的短時傅里葉變換小波包變換與短時傅里葉變換的比較小波包變換小波包分解小波包分析樹最優(yōu)小波包基函數(shù)的時間頻率剖分某種準則下的三尺度最優(yōu)小波包分解小波包變換Haar小波包分解4階Daubechies小波(db4)小波包基函數(shù)小波包變換小波包變換二維小波包分解：二維小波包分解用四叉樹表示。對于二維完全小波包分析樹，設(shè)根節(jié)點的層數(shù)為0，第l層的節(jié)點數(shù)為4l

，當n=0,1,2,3時，·，

，

和。L尺度的二維小波包變換支持P(L)=P(L-1)4+1種惟一的空間分解。顯然，二維小波包變換可能的分解個數(shù)隨著尺度L的增大更加迅速地增長。單尺度分解二尺度完全小波包分解二維完全小波包分析樹二維完全小波包分解(a)單尺度(b)二尺度(c)三尺度小波包變換小波包變換最優(yōu)小波包的選?。盒〔ò治鰳浯嬖诙喾N分解選擇，無法列舉每一種分解來逐一檢驗最優(yōu)性，需要找到一種有效的準則來實現(xiàn)最優(yōu)分解。加法類型的函數(shù)能夠很好地適用于二叉樹和四叉樹結(jié)構(gòu)的搜索。經(jīng)典的熵準則是加法代價函數(shù)，4種常用的熵函數(shù)是非歸一化香農(nóng)熵、

范數(shù)、對數(shù)能量熵和閾值熵。設(shè)

表示二維函數(shù)在正交基下的系數(shù)，非歸一化香農(nóng)熵定義為，；

范數(shù)定義為，。對于非葉子節(jié)點p以及特定熵準則

，最優(yōu)子樹剪枝方法可描述為：計算父節(jié)點和4個子節(jié)點的熵函數(shù)和，父節(jié)點是二維近似系數(shù)或細節(jié)系數(shù)，4個子節(jié)點是父節(jié)點分解輸出的二維近似系數(shù)與水平、垂直、對角細節(jié)系數(shù)。設(shè)

為最優(yōu)熵值，初始狀態(tài)時對每個葉子節(jié)點c賦值

。若子節(jié)點熵之和小于父節(jié)點的熵，則分析樹中包含這些子節(jié)點，并設(shè)置；若子節(jié)點熵之和大于父節(jié)點的熵，則裁剪掉這些子節(jié)點而只保留父節(jié)點，并設(shè)置

。該父節(jié)點稱為最優(yōu)分析樹中的葉子節(jié)點。三尺度完全小波包分解小波包變換(b)小波包系數(shù)(a)小波包分析樹(c)系數(shù)標記某種準則下的一種三尺度最優(yōu)小波包分解小波包變換(b)小波包系數(shù)(a)小波包分析樹(c)系數(shù)標記小波變換在圖像處理中的應(yīng)用小波變換在圖像處理中的應(yīng)用：小波變換是以不同分辨率來描述圖像的數(shù)學工具。多尺度小波分解廣泛應(yīng)用于金字塔表示、邊緣檢測、圖像去噪、圖像數(shù)據(jù)壓縮和漸進傳輸?shù)阮I(lǐng)域。由于快速小波變換中尺度向量和小波向量相當于低通濾波器和高通濾波器，小波變換在圖像處理中的應(yīng)用基本上與傅里葉變換等同，其基本方法由三個步驟構(gòu)成：(1)計算二維快速小波變換；(2)修改變換系數(shù)；(3)計算二維快速小波逆變換。這里，使用這三步處理過程給出快速小波變換在邊緣檢測、圖像降噪、