第13章 彎曲應(yīng)力

第13章彎曲應(yīng)力1純彎曲：橫力彎曲：§13-1純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力一.純彎曲：2在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素σdA才能合成彎矩M，只有切向內(nèi)力元素τdA才能合成剪力FS3彎曲變形動畫4變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系三個方面:一.幾何變形(1)aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長(2)mm、nn變形后仍保持為直線，且仍與變?yōu)榛【€的aa，bb正交；(3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長。51.平面假設(shè)：梁各個橫截面變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個角度。2.單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。6

梁在彎曲變形時，凹面部分縱向纖維縮短，凸面部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層.中性層中性軸中性層中性層與橫截面的交線稱為中性軸7幾何方程二.物理關(guān)系一點的正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比。dx8三.靜力學(xué)方程橫截面對Z軸的靜矩設(shè)中性軸為zyzM9截面的慣性積（y為對稱軸）截面對z軸的慣性矩中性層的曲率公式10橫截面上的最大正應(yīng)力當中性軸是橫截面的對稱軸時：正應(yīng)力Wz稱為抗彎截面模量111）沿y軸線性分布，同一坐標y處，正應(yīng)力相等。中性軸上正應(yīng)力為零。2）中性軸將截面分為受拉、受壓兩個區(qū)域。3）最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠處。3.簡單截面的抗彎模量(1)矩形：y12(2)圓：(3)圓環(huán)yxDdZy0D13二.橫力彎曲時的正應(yīng)力三.梁彎曲正應(yīng)力強度條件上式是在平面假設(shè)和單向受力假設(shè)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的，實驗證明在純彎曲情況下這是正確的。對于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。理論證明在L/h大于5時該式的精度能滿足工程要求。14利用上式可以進行三方面的強度計算：①已知外力、截面尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強度；②已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計截面尺寸;③已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷15[例]：兩矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放置分別如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強度條件確定兩者許可載荷之比P1／P2＝？解：16

[例]主梁AB，跨度為l，采用加副梁CD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長度a為多少？解：主梁AB:MAB17PaCD副梁CD:由得M18[例]受均布載荷的外伸梁材料許用應(yīng)力

校核該梁的強度。解：由彎矩圖可見該梁滿足強度條件，安全19[例]圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，試校核此梁的強度。C截面B截面2.54＜＜＜＜20§13-2梁橫截面上的切應(yīng)力21ts1MFSts2M+dMFS一.矩形截面梁的剪應(yīng)力22在hb的情況下23結(jié)論：243.切應(yīng)力分布規(guī)律bhyzFSy25二.工字形截面梁的剪應(yīng)力腹板翼緣在腹板上：26

在翼緣上，有平行于FS的剪應(yīng)力分量，分布情況較復(fù)雜，但數(shù)量很小，并無實際意義，可忽略不計。

在翼緣上，還有垂直于FS方向的剪應(yīng)力分量，它與腹板上的剪應(yīng)力比較，一般來說也是次要的。

腹板負擔(dān)了截面上的絕大部分剪力，翼緣負擔(dān)了截面上的大部分彎矩。對于標準工字鋼梁：27三.圓及圓環(huán)截面梁的剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力：1.圓截面2.圓環(huán)截面最大剪應(yīng)力：28四.彎曲剪應(yīng)力強度條件[例]圓形截面梁受力如圖所示。已知材料的許用應(yīng)力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，試求最小直徑dmin（第二個強度條件）29解：由正應(yīng)力強度條件：由剪應(yīng)力強度條件：-40kN40kN30§13-3提高梁強度的主要措施31控制梁彎曲強度的主要因素是正應(yīng)力設(shè)計梁的原則應(yīng)使Mmax盡可能地小，使WZ盡可能地大。一.合理的布置支座位置載荷和合理加載1.合理布置支座位置ACB32ACB2.合理布置載荷33合理的截面形狀應(yīng)使截面積較小而抗彎截面模量較大。W要大同時A要小，W/A最大為好。341）對于[t]=[c]的材料，可用與中性軸對稱的截面，使截面上、下邊緣σtmax=σcmax2）對于[t]≠[c]的材料，如鑄鐵[t]＜[c]，宜用中性軸偏于受拉邊的截面。35三、采用變截面梁、等強度梁的概念梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力例如：矩形截面梁，跨中C處受集中力P,截面高h為常數(shù)，寬度b可變化，b=b（x）,求b（x）［σ］