計(jì)算區(qū)域與控制方程離散-熱流問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算-課件-02

熱流問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算

NumericalSimulationsofThermal&FluidProblems第2章計(jì)算區(qū)域與控制方程離散主講李炎鋒2008年7月北京2.1空間區(qū)域的離散化(Domaindiscretization)2.1.1區(qū)域離散化的實(shí)質(zhì)和內(nèi)容

實(shí)質(zhì):用一組有限個(gè)離散的點(diǎn)代表原來(lái)的連續(xù)空間.實(shí)施過(guò)程:把所計(jì)算的區(qū)域劃分成許多個(gè)互不重疊的子區(qū)域（sub-domain），確定每個(gè)子區(qū)域的節(jié)點(diǎn)位置及該節(jié)點(diǎn)所代表的控制容積(controlvolume)。4種幾何要素:

節(jié)點(diǎn)（grid):需要求解的未知物理量的幾何位置.控制容積(controlvolume):應(yīng)用控制方程或守恒定律的最小幾何單位.界面(surface):與各節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的控制容積的分界面位置.網(wǎng)格線(gridline):沿坐標(biāo)軸方向聯(lián)結(jié)相鄰兩節(jié)點(diǎn)而形成的曲線簇。2.1.2兩類(lèi)設(shè)置節(jié)點(diǎn)的方法

1.外節(jié)點(diǎn)法（practiceA）：先節(jié)點(diǎn)后界面法。2.內(nèi)節(jié)點(diǎn)法(practiceB)：先界面后節(jié)點(diǎn)法(見(jiàn)表2-1)用P,N,E,W,S表示所研究的節(jié)點(diǎn)及相鄰的節(jié)點(diǎn)，用n,e,w,s表示相應(yīng)的界面。兩節(jié)點(diǎn)間的距離用x表示，x表示相鄰兩界面間的距離。2、非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（unstructuredgrid）：生成復(fù)雜，對(duì)不規(guī)則區(qū)域適應(yīng)性強(qiáng)；1、結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（structuredgrid）：生成簡(jiǎn)單，對(duì)不規(guī)則區(qū)域適應(yīng)性差；兩類(lèi)網(wǎng)格比較:2.1.3兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)設(shè)置方法的比較1、邊界節(jié)點(diǎn)代表的控制容積不同。外節(jié)點(diǎn)法中，位于非角頂上的邊界節(jié)點(diǎn)代表了半個(gè)控制容積；內(nèi)節(jié)點(diǎn)法中，則應(yīng)看成是厚度為零的控制容積的代表。2、當(dāng)網(wǎng)格不均勻時(shí)，內(nèi)節(jié)點(diǎn)法中節(jié)點(diǎn)永遠(yuǎn)位于控制容積的中心。外節(jié)點(diǎn)法則不然。

3、對(duì)一維問(wèn)題，當(dāng)節(jié)點(diǎn)不均勻布置時(shí)外節(jié)點(diǎn)法的離散誤差比較小，但對(duì)二維流動(dòng)問(wèn)題用四邊形網(wǎng)格來(lái)計(jì)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩種布置方法得出的結(jié)果幾乎相同。2.1.4關(guān)于網(wǎng)格生成的進(jìn)一步說(shuō)明2、同一坐標(biāo)方向上相鄰兩個(gè)子區(qū)域（或控制容積）的寬度應(yīng)保持在一個(gè)合適的范圍內(nèi)。

1、對(duì)每個(gè)控制容積在不同方向的寬度應(yīng)保持一個(gè)合適的比例。對(duì)橢圓型問(wèn)題，應(yīng)為接近1；對(duì)拋物型問(wèn)題或某個(gè)方向的變化率明顯大于另一個(gè)方向的橢圓型問(wèn)題，變化劇烈的方向應(yīng)取較小的寬度。對(duì)不均勻網(wǎng)格應(yīng)注意：守恒型:非守恒型:2.2.1一維模型方程2.2建立離散方程的Taylor展開(kāi)法及多項(xiàng)式擬合法2.2.2用Taylor展開(kāi)法導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的差分方程式得：由:的截?cái)嗾`差小于等于來(lái)代替其中，(x)稱(chēng)為截?cái)嗾`差（truncationerror），表示隨著x趨近于零，用(x2):中心差分(centraldifference)(x):向后差分(backwarddifference)(x):向前差分（forwarddifference）用一階精度的差分表達(dá)式來(lái)代替，為:2.2.3一維模型方程的離散C-N格式:每一時(shí)層上空間導(dǎo)數(shù)的差分按每一層的中間時(shí)刻之值計(jì)算.隱式:每一時(shí)層上空間導(dǎo)數(shù)的差分按每一層的終了時(shí)刻之值計(jì)算;顯式:每一時(shí)層上空間導(dǎo)數(shù)的差分按每一層的初始時(shí)刻之值計(jì)算;非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的三種格式：將一維模型方程的精確解在接點(diǎn)（i,n+1），（i+1,n）（i-1,n）上對(duì)節(jié)點(diǎn)（i,n）作Taylor展開(kāi)，取時(shí)間的向前差分，空間的中心差分，可得：用近似值代替精確解(i,n)，可得Taylor展開(kāi)法導(dǎo)出的一維模型方程的顯式離散格式為：2.2.4用多項(xiàng)式擬合法建立導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式

設(shè)x0=0,x0為點(diǎn)(i,n)的x坐標(biāo)，則有：設(shè)函數(shù)(x,t)在節(jié)點(diǎn)(i,n)附近對(duì)x的變化近似地成線性，則有：1.線性逼近原理：對(duì)未知函數(shù)的局部變化型線采用多項(xiàng)式逼近在點(diǎn)（i,n）的向前差分為：由上兩式得，由此得,有：2.二次曲線擬合:一、二階導(dǎo)數(shù)的差分逼近為：例題：設(shè)在如圖所示的情形中，已知區(qū)域內(nèi)部與邊界節(jié)點(diǎn)的溫度，物體導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，試用多項(xiàng)式擬合法確定穿過(guò)壁面的熱流密度。如果取溫度分布為二次曲線，yTi,1Ti,5Ti,4Ti,3Ti,2xy解：設(shè)壁面附近溫度T按線性變化，則

則有:該具有二階精度.于是得:由此得:2.3建立離散方程的控制容積積分法及平衡法1.將守恒型的控制方程在任一控制容積及時(shí)間間隔內(nèi)對(duì)空間和時(shí)間作積分；2.選定未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間及空間的局部分布曲線，即型線；3.對(duì)各個(gè)項(xiàng)按選定的型線作積分，并整理成關(guān)于節(jié)點(diǎn)上未知值的代數(shù)方程.2.3.1控制容積積分法的實(shí)施步驟及常用的型線主要步驟：分段線性分布（piecewiselinear）階梯式分布（stepwise）常用的型線：(2)(1)將上式對(duì)控制容積P在t時(shí)間間隔內(nèi)作積分，得:一維守恒型模型方程：2.3.2用控制容積積分法離散一維模型方程對(duì)對(duì)流項(xiàng)：選定隨t變化的型線為階梯式，得:對(duì)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)：選定隨x變化的型線為階梯式，得:(3)(4)(8)(7)(6)若取隨x呈分段線性變化，則式（4）（5）中界面的對(duì)流項(xiàng)(u)及擴(kuò)散項(xiàng)可表示為：(5)對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)：選取一階導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間作顯式階躍式變化，得:將式（3）-（9）代入（2）得:(9)對(duì)源項(xiàng)：假設(shè)S對(duì)t及x均呈階梯式變化，則：把物理上的守恒定律直接用于所研究的控制容積，并把節(jié)點(diǎn)看成是控制容積的代表，導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)上未知值間的代數(shù)關(guān)系式。2.3.3由控制容積平衡法導(dǎo)出離散方程注意：用控制容積積分法與用Taylor展開(kāi)法導(dǎo)出的離散方程不一定相同，計(jì)算結(jié)果的精確度也不一樣。

對(duì)一維問(wèn)題，則有在t時(shí)間間隔內(nèi)控制容積P中變量的增量，等于在同一時(shí)間間隔內(nèi)由流及擴(kuò)散作用進(jìn)入該控制容積的的凈值及源項(xiàng)所生之值的總和，有：2.3.4不同離散方法的比較Taylor展開(kāi)法與多項(xiàng)式擬合法側(cè)重于從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行推導(dǎo)，把控制方程中的各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差分表示式代替；優(yōu)點(diǎn):易于對(duì)離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析，缺點(diǎn)