C數(shù)學建模與誤差分析

化工數(shù)學高海麗福建農(nóng)林大學材料工程學院Email:haili_gao@課程特點以數(shù)學方法為主；低起點，大跨度；著重內(nèi)容的實用性和先進性課程考核方式本課程為考試課，考試形式為閉卷。評分標準（滿分：100分）,平時成績占50%，（作業(yè)：30分，課堂表現(xiàn)：20分）授課教材及主要參考書：教材：《化工數(shù)學》，周愛月，化學工業(yè)出版社，2011年9月，第三版。參考書1：《計算物理學講義》，劉金遠，大連理工大學物理與光電工程學院參考書2：《化工數(shù)學》，宋懷俊，鄭州大學出版社，2006年。參考書3：《AnIntroductiontoComputationalPhysics》,TaoPang，世界圖書出版社（影印版），2006年，第二版。參考書4：《計算物理學》，顧昌鑫主編，復旦大學出版社，2009年。參考書5：《高等工程數(shù)學》課件，趙彤，中科院研究生院。課程介紹目錄第一章數(shù)學建模與誤差分析第二章方程的數(shù)值解法*第三章數(shù)據(jù)處理*第四章常微分方程數(shù)值解法*第五章偏微分方程數(shù)值解法*第六章蒙特卡洛方法第一章數(shù)學建模與誤差分析

1.1化工數(shù)學概論

1.1.1數(shù)學模型1.1.2數(shù)學建模及其重要意義1.1.3化工問題的數(shù)學描述1.1.4計算機編程語言1.2數(shù)值方法與誤差分析*

1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

1.2.2誤差定義

1.2.3誤差的種類及其來源1.2.4數(shù)值計算應注意的問題第一章數(shù)學建模與誤差分析

1.1化工數(shù)學概論

1.1.1數(shù)學模型1.1.2數(shù)學建模及其重要意義1.1.3化工問題的數(shù)學描述1.1.4計算機編程語言1.2數(shù)值方法與誤差分析*

1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性1.2.2誤差定義

1.2.3誤差的種類及其來源

1.2.4數(shù)值計算應注意的問題1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型數(shù)學教學及學習中有兩種能力—“算數(shù)學”（計算、推導、證明，…）與“用數(shù)學”（實際問題建模及模型結(jié)果的分析、檢驗、應用）的培養(yǎng)應該并重1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型過去讓同學們用數(shù)學工具解決實際問題的困難（手工計算，高級語言編程，…）。計算機強大的運算、圖形功能和方便的數(shù)學軟件，使學生可以自由地選擇算法和軟件，在屏幕上通過數(shù)值的、幾何的觀察、聯(lián)想、類比，去發(fā)現(xiàn)線索，探討規(guī)律。1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型

1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型你需要——數(shù)學模型華羅庚先生曾說“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁……無一不可用數(shù)學來表達。”1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型1.《星際爭霸》“農(nóng)民采集飽和度建?！保M南師范學院，數(shù)學與計算機科學學院，08數(shù)本2班341000。2.《星際爭霸》中的運籌學應用。1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型此原理對男生有著重要的指導意義：強大的愛情攻勢有事不一定能達到

滿意的效果，反而不利與學業(yè)的成長；有時通過慢慢接觸，慢慢了解，再加上

適當?shù)淖非笮袆樱氖柽h度就會慢慢降低。學習成績也不會降低?。。。。。。?！1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型數(shù)學建模和最優(yōu)化的案例就在咱們周圍不去了解和利用數(shù)學技術(shù)解決身邊的問題，實在可惜！1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型需要事先說明的問題（丑話說在前面）：（1）數(shù)學模型是一種定量分析問題的工具，數(shù)學建模有一定的藝術(shù)性，否則問題的分析會變糟（2）定性分析是定量分析的基礎（3）定量分析是定性分析的支持（4）從數(shù)學模型中求解出來的最終答案，僅僅是為實際問題的系統(tǒng)處理提供了有用的可以作為決策基礎的信息。1.1化工數(shù)學概論1.1.1數(shù)學模型需要事先說明的問題：（課程定位）數(shù)學建模不是一朝一夕的事情，在做這件事情之前需要有一定的數(shù)學基礎。本課程將會向大家介紹這些數(shù)學基礎，為將來數(shù)學建模做準備數(shù)學建模過程現(xiàn)實世界現(xiàn)實問題的信息現(xiàn)實問題的解答數(shù)學模型的解答數(shù)學模型數(shù)學世界表述解釋驗證求解

？實踐實踐理論求解方法數(shù)值法演繹法數(shù)值解解析解1.1化工數(shù)學概論1.1.2數(shù)學建模過程及其重要意義數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構(gòu)成模型檢驗模型分析模型求解模型應用模型準備模型假設形成一個比較清晰的數(shù)學問題在合理與簡化之間作出折中了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設1.1化工數(shù)學概論1.1.2數(shù)學建模過程及其重要意義實際問題確保模型的合理性、適用性與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較模型應用模型檢驗模型分析模型求解模型構(gòu)成用數(shù)學的語言、符號描述問題盡量使用簡單的數(shù)學工具各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術(shù)如：結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析1.1化工數(shù)學概論1.1.2數(shù)學建模過程及其重要意義數(shù)學建模的意義作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，數(shù)學建模自然有著與數(shù)學同樣悠久的歷史。進入20世紀以來，隨著數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透，以及計算機的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，數(shù)學建模越來越受到人們的重視，數(shù)學建模在現(xiàn)實世界中有著重要意義。（1）在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學建模仍然大有用武之地（2）在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具。（3）數(shù)學迅速進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學建模開拓了許多新的領(lǐng)域。

美國科學院一位院士總結(jié)了將數(shù)學轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力過程中的成功和失敗，得出了“數(shù)學是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應用的技術(shù)”的結(jié)論，認為數(shù)學“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對加強經(jīng)濟競爭力是有重要意義”，因而“計算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學科學技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑”。1.1化工數(shù)學概論1.1.2數(shù)學建模過程及其重要意義1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述化學工程的基本研究對象是工業(yè)裝置的各類傳遞現(xiàn)象（動量傳遞、質(zhì)量傳遞、能量傳遞）和化學反應過程。早期的化學工程研究主要采用試驗方法，通過量綱分析和相似理論，將實驗室研究的結(jié)果外推到工業(yè)化。對于化學反應過程，試驗模型與工業(yè)原型之間一般難以滿足近似條件，致使相似放大的方法往往失敗。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)生了過程系統(tǒng)工程這一學科，以高度的模型化和數(shù)學化為其特征，在過程的模擬和系統(tǒng)的綜合方面發(fā)展出一系列有效的數(shù)學方法。1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述化工中的一般問題含有多個組分的兩相或多相物質(zhì)在某個給定的工程體系之中相互接觸，在一定條件下，每種組分可能發(fā)生相轉(zhuǎn)變，并伴隨著熱效應；也可能發(fā)生放熱或吸熱的化學反應。給定初始條件，要求確定系統(tǒng)在規(guī)定點的狀態(tài)（在一定的接觸時間以后），或者達到一定狀態(tài)裝置的尺寸大小。1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述(一）為了描述這種一般系統(tǒng)，通常要用到下述四種類型的關(guān)系（1）物料平衡：對每種組分有著不同的物料平衡關(guān)系；如果存在化學反應，還要使用相應的化學計量關(guān)系式。它所依據(jù)的是質(zhì)量守恒定律。（2）能量平衡：熱力學第一定律表明系統(tǒng)內(nèi)能的變化，等于加進系統(tǒng)內(nèi)的熱量與系統(tǒng)對外界所做功之差，即△U=Q-W。如果沒有熱量加進系統(tǒng)，系統(tǒng)對外也沒有做功，則熱力學第一定律可簡化為焓平衡。1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述（3）速率方程：當考慮時間因素時，就要應用速率方程，它包括傳遞速率和反應速率，例如各種相界面間的質(zhì)量傳遞，發(fā)生在不同相中的單個的化學反應等。（4）平衡關(guān)系：平衡狀態(tài)是指系統(tǒng)的壓力、溫度和濃度等不隨時間而變化的狀態(tài)。在多相系統(tǒng)中要考慮到從一相到另一相的傳遞凈速率問題，平衡一般發(fā)生在相間的邊界界面上。二、大多數(shù)化學與化工問題可以用微分方程進行數(shù)學描述，一般步驟是：（1）畫出示意圖，列出所給數(shù)據(jù)；（2）確定自變量和因變量：通?？瑟毩⑦x擇用來描述系統(tǒng)變化的量稱為自變量，而當自變量變化時，反映體系某些性質(zhì)的隨之變化的量稱為因變量。自變量和因變量是由不同的問題所決定的。對于非穩(wěn)態(tài)問題，時間一般選做自變量；（3）寫出系統(tǒng)規(guī)定的自變量及其對應的因變量的數(shù)值，這就是所謂的邊界條件或初始條件；（4）選用前述的四種關(guān)系式，列出問題的數(shù)學模型或方程式，其中要注意簡化問題時所采取的假設和近似的合理性；（5）求解數(shù)學模型，獲得合乎邏輯的解。1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述

1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述反應級數(shù)二、濃度與反應速率基元反應：反應物通過一步反應變成生成物；非基元反應：反應物通過多步，才能轉(zhuǎn)變成生成物。質(zhì)量作用定律：基元反應速率與濃度的相互關(guān)系。

1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述三、反應級數(shù)一級反應：如：如：零級反應：酶的催化反應，光敏反應往往也是零級反應。1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述二級反應：三級反應：如：如：

1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述催化作用：改變反應的自由能，不能改變反應方向。1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述例：氣凝膠熱導率的數(shù)值模擬

Two-dimensionalEnergyEquationwhere,Hisinternalheatgeneration.2.1X10-4mm1.3X10-4mmHotair:800CColdair:200CSolidclayAirCalculatedthermalconductivity:0.06495(W/Km)Testedthermalconductivity:0.04397(W/Km)1.1化工數(shù)學概論1.1.3化工問題的數(shù)學描述1.1化工數(shù)學概論1.1.4計算機編程語言工程數(shù)學是以計算方法為基礎，計算機為工具來解決工程問題。使用計算機室通過計算機編程語言實現(xiàn)的。工程數(shù)學常用的計算機編程語言是：Fortran語言，C，C++語言等。這些年來MATLAB軟件使用的愈來愈廣泛。下面簡單介紹一下Fortran語言和MATLAB軟件。

Fortran語言是世界上廣泛流行的、最適于數(shù)值計算的一種計算機語言，是世界上最早出現(xiàn)的高級程序設計語言。從1954年第一個Fortran語言版本問世至今，經(jīng)過多年在各個領(lǐng)域，特別是在科學工程計算領(lǐng)域，積累了大量成熟可靠的Fortran語言代碼。

現(xiàn)在常用的

Fortran語言的編譯版本是

CompaqVisualFortran6.5等，有

IMSL數(shù)學和統(tǒng)計庫可供直接調(diào)用，為開發(fā)和處理大型復雜計算提供了便利的手段。MATLAB

語言是當今國際上科學界最具影響力、也是最有活力的軟件。它起源于矩陣運算，并已經(jīng)發(fā)展成一種高度集成的計算機語言。它提供了強大的科學運算、靈活的程序設計流程、高質(zhì)量的圖形可視化與界面設計、便捷的與其他程序和語言接口的功能。MATLAB語言在各國高校與研究單位起著重大的作用。

MATLAB語言由美國TheMathWorks開發(fā)，2003年推出了其全新的MATLAB6.5.1正式版。目前MATLAB每年都有最新版本推出。1.1化工數(shù)學概論1.1.4計算機編程語言第一章數(shù)學建模與誤差分析

1.1化工數(shù)學概論

1.1.1數(shù)學模型1.1.2數(shù)學建模及其重要意義1.1.3化工問題的數(shù)學描述1.1.4計算機編程語言1.2數(shù)值方法與誤差分析*

1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

1.2.2誤差定義

1.2.3誤差的種類及其來源

1.2.4數(shù)值計算應注意的問題

數(shù)值方法已成為科學研究的第三種基本手段。所謂數(shù)值方法，是指將欲求解的數(shù)學模型（數(shù)學問題）簡化成一系列算術(shù)運算和邏輯運算，以便在計算機上求出問題的數(shù)值解，并對算法的收斂性和誤差進行分析、計算。這里所說的“算法”，不只是單純的數(shù)學公式，而且是指由基本的運算和運算順序的規(guī)定所組成的整個解題方案和步驟。一般可以通過框圖（流程圖）來直觀地描述算法的全貌。

選定適合的算法是整個數(shù)值計算中非常重要的一環(huán)，例如，當計算多項式

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

表數(shù)值方法與誤差分析1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

由表1.2.1可見，按不同算式和近似值計算出的結(jié)果各不相同，有的甚至出現(xiàn)了負值，這真是差之毫厘，謬以千里?？梢娊浦岛退惴ǖ倪x定對計算結(jié)果的精確度影響很大。因此，在研究算法的同時，還必須正確掌握誤差的基本概念、誤差在數(shù)值運算中的傳播規(guī)律、誤差分析的基本方法和算法的數(shù)值穩(wěn)定性。否則，一個合理的算法也可能會得出一個錯誤的結(jié)果。

衡量一個算法的好壞時，計算時間的多少是非常重要的一個標志。由于實際的執(zhí)行時間依賴于計算機的性能，因此所謂算法所花時間是用它執(zhí)行的所有基本運算的總次數(shù)來衡量的。這樣時間與運算的次數(shù)直接聯(lián)系起來了。當然，即使用一個算法計算同一類型的問題時，由于各問題的數(shù)據(jù)不同，計算快慢也會不同，一般是用最壞情況下所花的時間來作討論。什么叫做誤差？誤差的種類有哪些？1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性基本定義：1.誤差誤差是近似值與準確值之差，即：式中：表示誤差；表示準確值，又稱精確值、真值；表示近似值。

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義

按四舍五入取得的近似數(shù)都是有效數(shù)字。1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義

關(guān)于有效數(shù)字，有如下幾點結(jié)論：1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義數(shù)值計算過程中會出現(xiàn)各種誤差，可分為兩大類：1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.3誤差的種類及其來源1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.3誤差的種類及其來源1模型誤差在建模過程中，欲將復雜的物理現(xiàn)象抽象、歸納為數(shù)學模型，往往只得忽略一些次要因素的影響，而對問題作某些必要的簡化。這樣建立起來的數(shù)學模型實際上必定只是所研究的復雜客觀現(xiàn)象的一種近似的描述，它與真正客觀存在的實際問題之間有一定的差別，這種誤差稱為“模型誤差”。2觀測誤差在建模和具體運算過程中所用到的一些初始數(shù)據(jù)往往都是通過人們實際觀察、測量得來的，由于受到所用觀測儀器、設備精度的限制，這些測得的數(shù)據(jù)都只能是近似的，即存在著誤差，這種誤差稱為“觀測誤差”或“初值誤差”。3截斷誤差在不少數(shù)值運算中常遇到超越計算，如微分、積分和無窮級數(shù)求和等，它們需用極限或無窮過程來求得。然而計算機卻只能完成有限次算術(shù)運算和邏輯運算，因此需將解題過程化為一系列有限的算術(shù)運算和邏輯運算。這樣就要對某種無窮過程進行“截斷”，即僅保留無窮過程的前段有限序列而舍棄它的后段。這就帶來了誤差，稱它為“截斷誤差”或“方法誤差”。1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.3誤差的種類及其來源

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.3誤差的種類及其來源4舍入誤差