第3部分 數(shù)據(jù)擬合

例1

某種合成纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)有直接的關(guān)系，表3.1是實(shí)際測(cè)定的24個(gè)纖維樣品的

強(qiáng)度與

分析：

3.1問題的提出及最小二乘原理表3.1設(shè)纖維的拉伸倍數(shù)為自變量，強(qiáng)度為因變量，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這24個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)

（）（每個(gè)點(diǎn)用小正方形表示），得到圖3.1，

這種圖叫散點(diǎn)圖.

相應(yīng)拉伸倍數(shù)的紀(jì)錄.第3部分

數(shù)據(jù)擬合法

團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

復(fù)習(xí)

插值法是求一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)去近似代替函數(shù)，并且滿足條件

即所求曲線過所有點(diǎn)（）問題如果這些點(diǎn)（）（）是通過試驗(yàn)或觀測(cè)得到的，如何找一個(gè)函數(shù)，近

似的反映給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì).

第3部分

數(shù)據(jù)擬合法

團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

從圖3.1看出，纖維的強(qiáng)度隨著拉伸倍數(shù)的增大

而提高，并且24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近，它

們大致呈線性關(guān)系.

3.1問題的提出及最小二乘原理圖3.1團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

3.1問題的提出及最小二乘原理設(shè)纖維的拉伸倍數(shù)和強(qiáng)度之間的關(guān)系為其中為待定的參數(shù)這時(shí)24個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（）的坐坐標(biāo)近似滿足方程組團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

3.1問題的提出及最小二乘原理如何選取一根最好的直線，較好的符合實(shí)際情況.什么是“最好”的標(biāo)準(zhǔn)？

如果用某種方法把確定下來，這時(shí)有了的值就可以算出的值，記為為誤差.稱

要確定“最好”的參數(shù)，通常使用最小二乘原理，也就是使誤差的平方和團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

3.1問題的提出及最小二乘原理達(dá)到最小.用數(shù)學(xué)分析的知識(shí)，令即此方程組成為正規(guī)方程組.

團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

3.1問題的提出及最小二乘原理解上述方程組得的值，要求的直線方程為

例1的求解過程：

根據(jù)給定的24個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（）的散點(diǎn)，設(shè)圖3.1并記由數(shù)據(jù)點(diǎn)（），計(jì)算

及（）的值，并求和.見表3.2團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

3.1問題的提出及最小二乘原理則正規(guī)方程組是

解正規(guī)方程組，得

因此這種纖維的強(qiáng)度與拉伸倍數(shù)之間的近似表達(dá)式為

擬合曲線的圖形與散點(diǎn)圖形的關(guān)系見圖3.2團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

3.1問題的提出及最小二乘原理對(duì)一組測(cè)定的數(shù)據(jù),找合適的數(shù)學(xué)公式的步驟：

（3）通過最小二乘原理，確定函數(shù)中的未

（1）

由觀測(cè)數(shù)據(jù)，點(diǎn)畫出函數(shù)粗略的圖形—散點(diǎn)圖；（2）從散點(diǎn)圖的形狀，確定近似公式的函數(shù)類型（含有參數(shù)）；

知參數(shù)，即求

的最小值點(diǎn).這一方法稱為數(shù)據(jù)擬合法.稱為擬合的函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)公式.團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

3.1問題的提出及最小二乘原理說明

：擬合的函數(shù)類型，可以是線性函數(shù)

（單變量、多變量），當(dāng)然也可以是非線性函數(shù).

問題：

（1）線性函數(shù)的正規(guī)方程組都是線性的？

非線性函數(shù)的正規(guī)方程組也是線性的？能否將所擬合

函數(shù)的正規(guī)方程組都轉(zhuǎn)化成線性的(線

性方程求解簡(jiǎn)單）？

（2）插值法和數(shù)據(jù)擬合法的區(qū)別是什么？

（3）一般情況下，在數(shù)學(xué)建模中插值方法和數(shù)據(jù)擬合方法如何使用？團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

水箱水流量問題

許多供水單位由于沒有測(cè)量流入或流出水箱流量的設(shè)備，而只能測(cè)量水箱中的水位。試通過測(cè)得一天的某時(shí)刻水箱中水位的數(shù)據(jù)，估計(jì)在任意時(shí)刻（包括水泵灌水期間）t流出水箱的流量f（t）。時(shí)間（秒s）水位（10–2E）時(shí)間（秒s）水位（10-2E）03175446363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水859683475394353550899533397433183445932703340數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例（一）（1）問題提出水箱水流量問題

給出上面原始數(shù)據(jù)表，其中長(zhǎng)度單位為E-英尺(1E=30.48cm）。水箱為正圓柱體，其直徑為57E。(2)

模型假設(shè)和符號(hào)說明

（1）影響水箱水流量的唯一因素是該區(qū)公眾對(duì)水的普通需求；（2）水泵的灌水速度為常數(shù)；（3）從水箱中流出水的最大流速小于水泵灌水速度；（4）每天的用水量分布都是相似的；（5）水箱的流水速度可用光滑曲線來近似；（6）當(dāng)水箱的水容量達(dá)到514.8×103G時(shí)，開始泵水；達(dá)到667.6×103G時(shí)，便停止泵水。V—水的容積；Vi—時(shí)刻ti（小時(shí)）水的容積（單位G-加侖，1G=3.785L（升）；

f（t）—時(shí)刻t流出水箱的水的流速，它是時(shí)間的函數(shù)（G/h）；

p—水泵的灌水速度G/h）。時(shí)間（小時(shí)h）水量（103G）時(shí)間（h小時(shí)）水量（103G）0606.112.954639.50.921593.713.876622.41.843583.014.982604.62.950571.615.904589.33.871562.616.826575.04.978552.117.932558.85.900544.119.038542.67.001533.649.959528.27.929525.420.839514.88.968514.822.015/9.981/22.958/10.926/23.880663.410.954677.624.987648.512.033657.725.908637.6

根據(jù)要求先將上表中的數(shù)據(jù)做變換，時(shí)間單位用小時(shí)（h），水位高度轉(zhuǎn)換成水的體積（V=πR2h,1E3=7.480507G），得右表。(2)模型假設(shè)和符號(hào)說明注：第一段泵水的始停時(shí)間及水量為

t始=8.968（h），v始=514.8χ103（G）

t末=10.926（h），v末=677.6χ103（G）

第二段泵水的始停時(shí)間及水量為

t始=20.839（h），v始=514.8χ103（G）

t末=22.958（h），v末=677.6χ103（G）

由于要求的是水箱流量與時(shí)間的關(guān)系，因此須由上表的數(shù)據(jù)計(jì)算出相鄰時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)及在時(shí)間區(qū)間內(nèi)水箱中流出的水的平均速度。由上表的數(shù)據(jù)計(jì)算出相鄰時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)及在時(shí)間區(qū)間內(nèi)水箱中流出的水的平均速度得下表：（3）模型建立和求解時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)值（h）平均流量（×103G/h）0.460614.01.38212.02.39610.03.4119.64.4259.65.4398.96.459.67.4688.98.44810.29.474/10.45/10.94/11.4918.612.4920.013.4219.014.4316.015.4416.016.3716.017.3814.018.4914.019.5016.020.4015.021.43/22.49/23.42/24.4314.025.4512.0其散點(diǎn)圖如下：誤差的平方和:29.8846（3）模型建立和求解6次多項(xiàng)式擬合f(t)=-1.2954×10-5t6

+9.5480×10-4t5

-2.566×10-2t4+29.67t3

-1.255t2+0.42597t

+13.6556次多項(xiàng)式擬合圖如下：誤差的平方和:13.29278次多項(xiàng)式擬合圖如下：（3）模型建立和求解(4)結(jié)論(分析）2004年6月至7月黃河進(jìn)行了第三次調(diào)水調(diào)沙試驗(yàn)，特黃河小浪底調(diào)水調(diào)沙問題：別是首次由小浪底、三門峽和萬家寨三大水庫(kù)聯(lián)合調(diào)度，采用接力式防洪預(yù)泄防水，形成人造洪峰進(jìn)行調(diào)沙試驗(yàn)獲得成功。整個(gè)試驗(yàn)期為20多天，小浪底從6月19日開始預(yù)泄放水，直到7月13日恢復(fù)正常供水結(jié)束。小浪底水利工程按設(shè)計(jì)攔沙量為75.5億m3,在這之前，小浪底共積泥沙達(dá)14.15億t，這次調(diào)水調(diào)沙試驗(yàn)一個(gè)重要目的就是由小浪底上游的三門峽和萬家寨水庫(kù)泄洪，在小浪底形成人造洪峰，沖刷小浪底庫(kù)區(qū)沉積的泥沙，在小浪底水庫(kù)數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例（二）（1）問題提出團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

陸續(xù)開閘放水，人造洪峰于29日先后達(dá)到小浪底，7月3日達(dá)到最大流量2700m3/s,使小浪底水庫(kù)的排沙量也不斷地增加。表1是由小浪底觀測(cè)站從6月29日到7月10日檢測(cè)到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型研究下面的問題:①

給出估算任意時(shí)刻的排沙量及總排沙量。②

確定含沙量與水流量的變化關(guān)系。開閘泄洪以后，從6月27日開始三門峽水庫(kù)和萬家寨水庫(kù)（1）問題提出團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

日期6.296.307.17.27.37.4時(shí)間8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量180019002100220023002400250026002650270027202650含沙量326075859098100102108112115116表1試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)單位：水流為m3/s，含沙量為kg/m3團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

續(xù)表1日期7.57.67.77.87.97.10時(shí)間8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量26002500230022002000185018201800175015001000900含沙量11812011810580605030262085（2）模型假設(shè)和符號(hào)說明①假設(shè)所給數(shù)據(jù)客觀準(zhǔn)確地反映了現(xiàn)實(shí)情況。②假設(shè)所給數(shù)據(jù)遵循一定規(guī)律變化，即關(guān)于時(shí)間是連續(xù)的。③假設(shè)模型中不需要考慮一些外在因素。例如，下雨、上游沖過來的泥沙等。④假設(shè)水流量和含沙量都是連續(xù)的。

時(shí)間點(diǎn)為t，依次為1,2，…，24，間隔為12小時(shí)。為計(jì)算方便，令

以xi為節(jié)點(diǎn)，其相應(yīng)的排沙量Vi（i=1,2，…，24）對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表（3）模型建立和求解t表示時(shí)間或時(shí)間點(diǎn).v=v(t)表示t時(shí)刻水流量.S表示總的排沙量.V=V（t）=v(t）y（t）表示t時(shí)刻排沙量.（2）模型假設(shè)和符號(hào)說明團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

y=y（t）表示t時(shí)刻含沙量.日期6.296.307.17.27.37.4時(shí)間ti8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00節(jié)點(diǎn)xi123456789101112水流量vi180019002100220023002400250026002650270027202650含沙量yi326075859098100102108112115116排沙量Vi57600114000157500187000207000235200250000265200286200302400312800307400（3）模型建立和求解團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

續(xù)表日期7.57.67.77.87.97.10時(shí)間ti8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00節(jié)點(diǎn)xi131415161718192021222324水流量vi26002500230022002000185018201800175015001000900含沙量yi11812011810580605030262085排沙量Vi3068003000002714002310001600001110009100054000455003000080004500（3）模型建立和求解節(jié)點(diǎn)xi123456789101112排沙量Vi57600114000157500187000207000235200250000265200286200302400312800307400（3）模型建立和求解團(tuán)結(jié)勤奮嚴(yán)謹(jǐn)樸實(shí)

節(jié)點(diǎn)xi131415161718192021222324排沙量Vi3068003000002714002310001600001110009100054000455003000080004500問題：①

已知數(shù)據(jù)表

給出估算任意時(shí)刻的排沙量及總排沙量。（3）模型建立和求解采用三次樣條插值函數(shù)V=V（x），滿足如下條件：總排沙量計(jì)算出三次樣條插值函數(shù)V=V（x）

？？？

排沙量的散點(diǎn)圖如右圖。注：用三次多項(xiàng)式函數(shù)分段擬合？？？

（3）模型建立和求解

任意時(shí)刻排沙量模型的圖如右圖（3）模型建立和求解問題：②

確定含沙量與水流量的變化關(guān)系數(shù)據(jù)表如下：含沙量與水流量關(guān)系的散點(diǎn)圖如下：水流量vi180019002100220023002400250026002650270027202650含沙量yi326075859098100102108112115116水流量vi26002500230022002000185018201800175015001000900含沙量yi11812011810580605030262085（3）模型建立和求解采用分段擬合的方法，擬合多項(xiàng)式函數(shù)。1-11個(gè)點(diǎn)為第一階段。（3）模型建立和求解第一階段含沙量與水流量的散點(diǎn)圖如右：（3）模型建立和求解誤差的平方和:72.8474誤差的平方和:180.9390誤差的平方和:66.102問題：（3）模型建立和求解②

確定排沙量與水流量的變化關(guān)系12-24個(gè)點(diǎn)為第二階段第二階段含沙量與水流量的散點(diǎn)圖如右：（3）模型建立和求解誤差的平方和:549.854誤差的平方和:860.669(4)結(jié)論(分析）（3）模型建立和求解第一階段含沙量和水流量之間的關(guān)系為誤差的平方和:72.8474.第二階段含沙量和水流量之間的關(guān)系為誤差的平方和:549.854表3.1編號(hào)拉伸倍數(shù)x

強(qiáng)度y（kg/mm2）編號(hào)拉伸倍數(shù)x強(qiáng)度y（kg/mm2）12345678910111