第4章 動能和勢能gai

第三章基本知識小結(jié)⒈牛頓運動定律慣性系、質(zhì)點

牛頓第二定律適用范圍：核心：分量式：矢量式：2.

非慣性系中的牛頓第二定律矢量式：真實力慣性力物體相對于非慣性系的加速度在直線加速參考系中：在轉(zhuǎn)動參考系中：3.動量定理

慣性系、質(zhì)點、質(zhì)點系

適用范圍：積分形式：導(dǎo)數(shù)形式：微分形式：4.動量守恒定律

慣性系、質(zhì)點、質(zhì)點系

適用范圍：若作用于質(zhì)點或質(zhì)點系的外力的矢量和始終為零，則質(zhì)點或質(zhì)點系的動量保持不變。即注意分量式5.

質(zhì)心和質(zhì)心運動定理質(zhì)心質(zhì)心運動定理質(zhì)心坐標(biāo)系——以質(zhì)心為原點，坐標(biāo)軸總與基本參考系平行.*質(zhì)點系相對于質(zhì)心系的動量質(zhì)點系相對質(zhì)心坐標(biāo)系的動量（質(zhì)心系中質(zhì)心位置矢量）即質(zhì)點系相對質(zhì)心坐標(biāo)系的動量總為零.而第四章動能和勢能§1能量(自閱)能量概念發(fā)展史簡介(1)伽利略對擺的論證——為認(rèn)識機械能守恒開辟一途徑.(2)萊布尼茲提出的物體運動的量與物體速度平方成正比被科里奧利稱為“活力”.(3)英國物理學(xué)家楊將mv2/2稱作能量.(4)熱學(xué)中永動機不可能實現(xiàn)的確認(rèn)和各種物理現(xiàn)象之間的普遍聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致了能量守恒定律的最終確立.(5)能量守恒定律的發(fā)現(xiàn)最重要的貢獻者當(dāng)推邁耶、焦耳、亥姆霍茲三位偉大的科學(xué)家.(6)能量守恒是自然界的基本規(guī)律.自然界的一切過程都必須滿足能量守恒，反之，不一定成立。(7)經(jīng)典物理認(rèn)為物體的能量是連續(xù)值.量子物理中物體的能量是不連續(xù)的.(8)在相對論中,能量和質(zhì)量是等價的，E=mc2

稱質(zhì)能關(guān)系.§2功的表示1.1恒力的功功——力對空間的積累作用，力在受力質(zhì)點位移上的投影與位移的乘積1功的一般表示1.2變力的功ba

物體在變力的作用下從a運動到b。怎樣計算這個力的功呢？采用微元分割法第i段近似功：總功近似：第2段近似功：第1段近似功：ba

當(dāng)時,可用表示,稱為元位移;用表示,稱為元功。微分形式：積分形式：總功精確值：

在數(shù)學(xué)形式上，力的功等于力沿路徑L從a到b的線積分。在SI中功的單位為焦耳質(zhì)點受n個力共同作用時合力(1)功是標(biāo)量,但有正負(fù),與力和位移的夾角有關(guān).(2)功是力對空間的積累,是過程量,一般與路徑有關(guān).說明注意：※功率平均功率瞬時功率功率——力在單位時間內(nèi)所做的功.額定功率——最大輸出功率若質(zhì)點沿x軸運動，且力僅僅是x的函數(shù)，則力所做的功為：2.1平面直角坐標(biāo)系（重點掌握）2功在不坐標(biāo)系中的表示dxdy

xyr0r1ab（L指從a沿曲線到b）2.2平面自然坐標(biāo)（理解）Os0s1abOA(r,)

2.3平面極坐標(biāo)（了解）極軸xOx[例題1]彈簧一端固定，另一端與質(zhì)點相連.彈簧勁度系數(shù)為k，求質(zhì)點由x0運動至x1時彈簧彈性力所做的功.彈性力x0

x1為任意起始位置，與路徑無關(guān).[解]

彈簧原長時質(zhì)點所在位置為坐標(biāo)原點，水平向右為x軸正方向.[例題2]馬拉雪橇水平前進，自起點

A

沿某一長為L

的曲線路徑拉至終點B.雪橇與雪地間的正壓力為FN

，摩擦因數(shù)為

.求摩擦力的功.[解]沿雪橇軌跡取自然坐標(biāo)，雪橇前進方向為自然坐標(biāo)增加的方向摩擦力的功摩擦力的功與路徑有關(guān).[例題3]

從10m深的井中把10kg的水勻速上提,若每升高1m漏去0.2kg的水.(1)畫出示意圖,設(shè)置坐標(biāo)軸后,寫出力所做元功的表達式.(2)計算把水從井下勻速提到井口外力所做的功.[解](1)建立坐標(biāo)并作示意圖如右,(2)ab§3質(zhì)點和質(zhì)點系動能定理1質(zhì)點的動能定理物體在合力作用下,由ab定義單位與功同.——物體的動能即：合力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量.——動能定理則：(2)Ek是狀態(tài)量Ek,A>0;Ek,A<0，

動能是狀態(tài)量，

與過程無關(guān).而功與過程有關(guān).(3)動能定理只適用于慣性系.(1)質(zhì)點的動能定理中的功永遠(yuǎn)是合力的功.幾點說明:

動能定理對于物體運動所能提供的信息比牛頓運動定律少.(1)選取研究對象，明確它的運動過程.(2)建立坐標(biāo)系或規(guī)定正方向.(3)分析研究對象的受力情況和各個力的做功情況：受哪些力？每個力是否做功？做正功還是負(fù)功？做多少功？然后求各個外力做功的代數(shù)和.(4)明確物體在過程始末狀態(tài)的動能EK1和EK2.(5)列出動能定理方程A=EK2-EK1及其他的解題方程，進行求解.質(zhì)點的動能定理解題的一般步驟[例題1]如圖,物塊質(zhì)量m置于粗糙水平面上,用橡皮繩系于墻上,橡皮繩原長a，拉伸時相當(dāng)于勁度系數(shù)為k的彈簧,現(xiàn)將物塊向后拉伸至橡皮繩長為b后再由靜止釋放.求物塊擊墻的速度.物塊與水平面間的摩擦系數(shù)為..[解]建立坐標(biāo)系如圖Oxxabm由動能定理有：(

v0=0)

例題2利用動能定理解

解：如圖所示，細(xì)棒下落過程中，合外力對它作的功為應(yīng)用動能定理，xxlGB

以兩質(zhì)點系m1

和m2

為例一對內(nèi)力元功之和：2.1內(nèi)力的功2質(zhì)點系的動能定理Oxyz

是質(zhì)點2相對質(zhì)點1的元位移(1)內(nèi)力的總功一般不為零.幾點說明（2）內(nèi)力是成對出現(xiàn)的，即一對作用力和反作用力，它們所作的總功具有與參考系選擇無關(guān)。（3）我們以后遇到的內(nèi)力一般是恒力且相互作用的兩物體作相對直線運動或者是后面要講的保守力(計算特別簡單)，有時摩擦力也是一個系統(tǒng)的內(nèi)力，但這個力比較好計算。2.2質(zhì)點系的動能定理n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)，對第i個質(zhì)點用動能定理即：所有外力對質(zhì)點系做的功和內(nèi)力對質(zhì)點系作的功代數(shù)和等于質(zhì)點系總動能的增加——質(zhì)點系動能定理.n個質(zhì)點省去腳標(biāo)i,除去求和號

(1)選取一個質(zhì)點系，明確它們的運動過程.(2)建立坐標(biāo)系或規(guī)定正方向.(3)分析質(zhì)點系的受力情況和各個力的做功情況：外力和內(nèi)力做功如何？(4)明確質(zhì)點系在過程始末狀態(tài)的動能EK1和EK2.(5)列出動能定理方程A總=EK2-EK1及其它解題方程，進行求解.質(zhì)點系的動能定理解題的一般步驟[例題1]如圖，質(zhì)量為m0的卡車載一質(zhì)量為m的木箱，以速率v

沿水平路面行駛.因故突然剎車，車輪立即停止轉(zhuǎn)動，卡車滑行一定距離后靜止，木箱在卡車上相對于卡車滑行了l距離.卡車滑行了L距離.求L和l.已知木箱與卡車間的摩擦系數(shù)為

1,卡車與地面的動摩擦因數(shù)為

2.lL[解]1.用質(zhì)點動能定理求解受力分析如圖，只有力,和做功根據(jù)質(zhì)點動能定理得2.用質(zhì)點系動能定理求解（中間必有質(zhì)點的動能定理）視卡車與木箱為一質(zhì)點系按質(zhì)點系動能定理和質(zhì)點的動能定理，有聯(lián)立上兩式得與上法相同結(jié)果.§4保守力與非保守力·勢能1場力力場均勻力場中場力的分布質(zhì)點所受到的力僅與質(zhì)點的位置有關(guān)——場力.力場——存在場力的空間.質(zhì)點所受作用力的作用線總通過某一點的力，它的大小只是質(zhì)點到該點距離r的函數(shù)，該點稱力心.一般情況下，質(zhì)點所受到的外力可表現(xiàn)為：——有心力2保守力與非保守力2.1

幾種力的功(1)重力的功在重力作用下,質(zhì)點m經(jīng)任一路徑由a到b

由此可見，重力作功僅與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。a（xa,ya）xyb（xb,yb）（2）彈性力的功

彈簧勁度系數(shù)為k

，一端固定于墻壁，另一端系一質(zhì)量為m的物體，置于光滑水平地面。設(shè)兩點為彈簧伸長后物體的兩個位置，和分別表示物體在兩點時距點的距離。設(shè)彈簧原長為l。OrbraabXx

Orr0abX彈性力作功也僅僅與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。（3）萬有引力的功兩個物體的質(zhì)量分別為M和m，它們之間有萬有引力作用。M靜止，以M為原點O建立坐標(biāo)系，研究m相對M的運動。萬有引力作功也僅僅與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。保守力——做功與路徑無關(guān),只與相互作用的相對位置有關(guān)的力.2.2保守力與非保守力即：力沿閉合路徑的功等于零.非保守力——力所做的功與質(zhì)點所經(jīng)路徑有關(guān).保守力場——存在保守力的空間.如何判斷一個力是保守力？如何判斷一個力場是保守力場？

無旋場判斷方法:(1)場矢量的旋度為零

(2)力做功與路徑無關(guān)，僅與物體始末位置有關(guān)。1、對于一維運動，凡是位置X單值函數(shù)的力都是保守力。例如服從胡克定律的彈性力f=f(X)=-k(X-X0)是X的單值函數(shù)，故它是保守力2、對于一維以上運動，大小和方向都與位置無關(guān)的力，如重力G=mg，是保守力3、若在空間中存在某個中心O，物體（質(zhì)點）P在任何位置上所受的力f都與“向量OP”方向相同（排斥力），或相反（吸引力），其大小是距離r=標(biāo)量OP的單值函數(shù)，則這種力叫做“有心力”，例如萬有引力就是有心力，凡有心力都是保守力

[例題]質(zhì)點在力的作用下由位置運動到,經(jīng)過的路程為s,

如果力函數(shù)分別為,其中k為常數(shù),

分別是沿矢徑和速度方向的單位矢量(1)分別求兩種力在該過程所做的功.(2)說明哪個是保守力.[解]abO保守力非保守力3勢能3.1勢能定義是物體相對位置的函數(shù).用Ep表示。成對保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢能的減少（或勢能增量的負(fù)值）(1)只有保守力才能引進勢能的概念.(2)勢能與零點選擇有關(guān),勢能只有相對意義。勢能零點可根據(jù)問題的需要來選擇。但勢能差具有一定的量值，它可用成對保守力作的功來衡量。3.2幾點說明重力勢能彈性勢能萬有引力勢能(3)勢能屬于保守力相互作用著的整個系統(tǒng)，是一種相互作用能.(4)保守力與勢能的微分關(guān)系（5）若一個系統(tǒng)中的所有非保守力都不做功，該系統(tǒng)就被稱為保守系1質(zhì)點系功能原理質(zhì)點系的動能定理§5功能原理和機械能守恒定律機械能系統(tǒng)外力和非保守內(nèi)力做功的代數(shù)和等于體系機械能的增量?！δ茉肀７潜１７潜７潜?機械能守恒定律1.當(dāng)A外=0時，若A內(nèi)非保

>0，則

E

增加.例如爆炸.是其它形式的能量（化學(xué)能、生物能）向機械能的轉(zhuǎn)化.2.當(dāng)A外=0時，若A內(nèi)非保

<0，則

E減少,力為耗散力.機械能向其它形式能量轉(zhuǎn)換.4.若A外+A內(nèi)非保

≡

0

即體系始終只有保守力作功?！獧C械能守恒定律非保3.若A外+A內(nèi)非保

=0,系統(tǒng)始末狀態(tài)的機械能相等。(2)動能與勢能可相互轉(zhuǎn)換.動能的增量等于勢能的減少量.關(guān)于機械能守恒定律的幾點說明：(1)守恒條件：A外+A內(nèi)非保

≡

0或始終只有保守力做功機械能守恒定律：如果一個系統(tǒng)內(nèi)始終只有保守內(nèi)力做功，或者非保守內(nèi)力與外力的總功始終為零，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)換，但機械能的總值保持不變。這一結(jié)論稱為機械能守恒定律。(3)機械能守恒定律解題的方法和步驟①明確研究對象，建立坐標(biāo)系；②分析研究對象在運動過程中的受力情況以及各力做功的情況，判斷系統(tǒng)的機械能是否守恒；③確定運動的始末狀態(tài)，選取零勢能面，并確定研究對象在始、末狀態(tài)時的機械能；④根據(jù)機械能守恒定律列出方程，或再輔之以其他方程，進行求解。[例題1]一輕彈簧與質(zhì)量為和的兩個物體相聯(lián)結(jié)，如圖所示.至少用多大的力向下壓才能在此力撤除后彈簧把下面的物體帶離地面？（彈簧質(zhì)量不計.）m1m2m1m2y2y1Oy

m1m2[解]受力分析如圖m2剛能被提起的條件為即(2)將坐標(biāo)原點視作彈性勢能和重力勢能的零點(3)聯(lián)立求得m1m2m1m2y2y1Oy

m1平衡時即(1)[例題2]一粗細(xì)均勻的柔軟繩子,一部分置于光滑水平桌面上,另一部分自桌邊下垂,繩全長為l

。開始時,下垂部分長為d，初速為零,求整個繩全部離開桌面時瞬間的速度大小(設(shè)繩不可伸長).本題將分別用牛頓定律、動能定理、機械能守恒定律分別求解.解一:用牛頓定律求解；用隔離體法：繩分成兩部分,桌上:AB,下垂:BC,t時刻：牛頓第二定律,列方程：AB:yBC:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解方程組可得所以,繩全部離開桌面的速度方向向下,大小y解二:用動能定理求解；

系統(tǒng):整個繩子,繩分成兩部分,桌上：AB,下垂：BC,受力如圖.(力與位移方向垂直)系統(tǒng)動能：由動能定理，有：系統(tǒng):整個繩子和地球.系統(tǒng)機械能守恒.解三:用機械能守恒定律求解；設(shè)水平桌面處重力勢能.d比較三種方法：①牛頓定律方程兩端：均為瞬時值，需對方程兩端積分；②動能定理方程兩端：功的一側(cè)為過程量，動能一側(cè)為狀態(tài)量，僅需對過程量積分；③機械能守恒定律方程兩端：功的一側(cè)由勢能改變?nèi)〈?，不需再求積分，所以，最簡單。物體在運動過程中的受到力變力[例題2]制作半導(dǎo)體時，需向單晶硅或其它晶體中攙入雜質(zhì).單晶硅內(nèi)的原子是規(guī)則排列的.在兩層原子間有一定間隙，形成溝道.假設(shè)注入的雜質(zhì)是硼的正離子.若硼離子能沿溝道射入晶體內(nèi)，就叫溝道離子.射入的離子不可能與溝道的縱軸完全平行.若偏離一定角度.例如，如圖(a)那樣進入溝道時向上偏轉(zhuǎn)，則離子將受到原子層原子核向下的斥力.這時斥力做負(fù)功，使離子一部分動能轉(zhuǎn)化為電磁能.一旦離子失去向上運動的速度，便在斥力作用下朝反方向偏離；同樣道理，當(dāng)離子接近下面原子核時，又在斥力作用下向上偏轉(zhuǎn).于是入射離子在溝道內(nèi)沿曲線前進.顯然，入射角越大，上下擺動的幅度越大.不難判斷，對于一定能量的離子，存在一個臨界角，一旦入射角大于，入射離子將沖出溝道，不能成為溝道離子.計算時常用下述方法處理：如圖(a)在離原子層一定距離處各劃一條平行于原子層的虛線，在兩條虛線范圍內(nèi)的空間，可以認(rèn)為電磁場沿溝道軸線方向上的分布是均勻的.已知入射硼離子的能量為，離子接近上下晶面的最大電磁能為，求臨界角.(a)(b)Oxy[解]選坐標(biāo)系如圖(b)所示。離子受到的斥力與x軸垂直離子入射總動能不變,將逐步轉(zhuǎn)變?yōu)殡姶拍?得故即臨界角為2.4°.即將代入§6對心碰撞碰撞——兩個或兩個以上物體相遇(相互接近),在極短的時間內(nèi)發(fā)生較強的相互作用.F外<<F內(nèi),相碰撞物體可視為系統(tǒng).可用動量守恒.正碰(對心碰撞)——碰前速度沿兩球中心連線，碰后沖力及兩球速度也沿這一直線,所以正碰的矢量問題簡化為標(biāo)量問題.接觸碰撞——兩個物體直接接觸.接觸前后沒有相互作用,接觸時相互作用極為強烈,接觸時間極短.非接觸碰撞——兩個物體沒有直接接觸.接觸前、“中”、后均有相互作用如：微觀粒子間的散射.1碰撞的幾個概念設(shè)兩球碰前速度v10

，v20,碰后v1

，v2,以球心連線為坐標(biāo)軸,以v10的正方向為軸的正方向.則2對心碰撞的基本公式碰撞后碰撞前碰撞時定義恢復(fù)系數(shù)

恢復(fù)系數(shù)由實驗測得.只與兩物體質(zhì)料有關(guān).(在力的作用線上)聯(lián)立得※非完全彈性碰撞(0<e<1)特點：碰撞前后，動量守恒。小球碰撞后彼此分開，總動能有一定損失的碰撞?！?/p>

完全彈性碰撞(e=1)特點：碰撞前后，動量守恒。小球碰撞后彼此分開，碰撞前后系統(tǒng)總動能保持不變?！?/p>

完全非彈性碰撞（e=0）特點：碰撞前后，動量守恒。小球碰撞后不分開，總動能損失最大。m1/m2打鐵時，要求(-Ek)大.即要求m2>>m1

即鐵錘的質(zhì)量m1

應(yīng)遠(yuǎn)小于鍛件（包括鐵砧）質(zhì)量m2打樁時,要求Ek0,即m1>>m2.

正碰（對心碰撞）解題核心步驟：或彈性碰撞完全非彈性碰撞非完全彈性碰撞或[例題1]

如圖所示，將一種材料制成小球，另一種材料制成平板，并水平放置。令小球從一定高度H自由下落，測得其反跳高度為h。試求這兩種材料之間的恢復(fù)系數(shù)e.[解]質(zhì)量為m1的小球與平板相撞，可看成是與質(zhì)量為m2的地球相撞.規(guī)定豎直向上為正方向。[例題2]用m1

表示中子質(zhì)量,m2表示某原子核質(zhì)量,求：(1)中子與靜止的原子核發(fā)生對心的完全彈性碰撞后，中子動能損失的比率；(2)鉛、碳和氫的原子核質(zhì)量分別為中子質(zhì)量的206倍、12倍和1倍，求中子與它們發(fā)生對心的完全碰撞后動能損失的比率.[解]把中子及鉛、碳和氫的原子核都視作質(zhì)點.1.用v10

和v1

表示中子碰撞前后的速度，則動能損失的比率為：2.求中子和鉛、碳和氫原子核碰撞能量損失的比率對于鉛，對于碳，對于氫，即中子與氫碰撞時能量損失最多.[例題3]沖擊擺可用于測子彈速率.長度為l的線繩懸掛質(zhì)量為m的木塊，子彈質(zhì)量為m0，沿水平方向射入木塊，子彈最后嵌在木塊內(nèi)一定位置，且測得木塊擺過角度θ,m>>m0,求子彈射入的速率v.lmm0(a)(c)(b)Ox（1）第一階段：木塊與子彈發(fā)生完全非彈性碰撞.在碰撞瞬間繩的拉力在水平方向的分力，遠(yuǎn)小于子彈與木塊相互內(nèi)力，水平方向動量近似守恒.取Ox為水平軸,用表示木塊與子彈共同運動的初速度，有（2）第二階段：擺動過程機械能守恒.[解]子彈自接觸木塊至最高點全過程分為二個階段設(shè)小球光滑，碰撞前一個小球處在靜止?fàn)顟B(tài)，即§7非對心碰撞非對心碰撞(又稱斜碰)——兩球相碰之前的速度不沿它們的中心連線。斜碰一般為三維問題，較復(fù)雜。則這種碰撞是二維問題。1非對心碰撞基本公式令接觸面法線方向為y

軸正方向xym1m2分量式xym1m2Oy2非對心碰撞的幾種特殊情況的討論（1）當(dāng)21,mm<<m2將始終不動v2x

=0e=1Oy[證明]兩邊平方(1)彈性碰撞，動能守恒,有(2)式(1)與(2)對比得即可見，碰撞后兩個小球?qū)⒊芍苯堑仉x開。

斜碰（非對心碰撞）解題核心步驟：彈性碰撞完全非彈性碰撞非完全彈性碰撞例題1質(zhì)量為M的氘核以速率u與靜止的質(zhì)量為2M的α粒子發(fā)生完全彈性碰撞。氘核以與原方向成90o角散射。⑴求α粒子的運動方向，⑵用u表示α粒子的末