第5章 圖像變換-傅里葉變換

第5章圖像變換問題的提出目的：為達到某種目的將原始圖象變換映射到另一個空間上，使得圖象的某些特征得以突出，以便于后面的處理和識別。圖像變換：原則上，所有的圖像處理都是圖像變換。本章：圖像變換是指數(shù)字圖像經(jīng)過正交變換，把原先二維空間域中的數(shù)據(jù)，變換到另外一個“變換域”形式描述的過程。φ變換后的圖象，大部分能量都分布于低頻譜段，這對以后圖象的壓縮、傳輸都比較有利。使得運算次數(shù)減少，節(jié)省時間。卷積考慮一維的情況，假設(shè)f(x)(x=0,1…,A-1)以及g(x)(x=0,1,…,C-1)是兩個有限離散函數(shù)，其線性卷積為任意函數(shù)與脈沖函數(shù)卷積的結(jié)果，是將該函數(shù)平移到脈沖所在位置。對于圖像二維函數(shù)的卷積，則相關(guān)2個函數(shù)的相關(guān)定義為

其中f*(i)為f(i)的復(fù)共軛

圖像變換基礎(chǔ)

信號變換理論“任意”的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類。什么是傅立葉變換一個恰當?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比作一個玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅里葉變換可以看作是數(shù)學(xué)上的棱鏡，將函數(shù)基于頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函數(shù)。5.2傅里葉變換傅立葉原理傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都

可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻

率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。

非周期性的連續(xù)信號周期性的連續(xù)信號非周期性的離散譜取樣作離散化處理周期性的連續(xù)譜離散化并延拓為周期性信號周期性的離散譜非周期性的連續(xù)波形例：求如圖所示的函數(shù)的傅立葉譜xyf(x,y)Af(x,y)函數(shù)其傅立葉譜為：傅立葉譜在(0,0)處取最大值；傅立葉譜在π

ux=nπ

π

vy=nπ處取零值。說明：傅立葉譜通常用lg(1+|F(u,v)|)

的圖像顯示，而不是F(u,v)的直接顯示。因為傅立葉變換中，F(xiàn)(u,v)隨u或v的衰減太快，這樣只能表示F(u,v)高頻項很少的峰，其余都難于看清楚。采用lg(1+|F(u,v)|)

顯示能更好得表示F(u,v)的高頻(即F(u,v)＝0的點)，這樣便于對圖像頻譜的視覺理解；這樣顯示的傅立葉頻譜圖像中，窗口中心為低頻（圖像能量），向外為高頻（噪聲和細節(jié)），從而便于分析。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在

不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小

如：在圖像中灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于在圖像中灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。例對比傅立葉變換的物理意義梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。

這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數(shù)更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較?。粗?，如果

頻譜圖中亮的點數(shù)多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。

傅立葉變換的物理意義對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移

頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻

濾波器消除干擾圖像傅立葉變換原圖像幅度譜相位譜圖像傅立葉變換原圖像幅度譜相位譜圖像傅立葉變換幅度譜告訴我們圖像中某種頻率的成份有多少相位譜告訴我們頻率成份位于圖像的什么位置通常我們只關(guān)心幅度譜圖像傅立葉變換從幅度譜中我們

可以看出明亮線

反映出原始圖像

的灰度級變化，

這正是圖像的輪

廓邊圖像傅立葉變換從幅度譜中我們

可以看出明亮線

和原始圖像中對

應(yīng)的輪廓線是垂

直的。如果原始

圖像中有圓形區(qū)

域那么幅度譜中

也呈圓形分布圖像傅立葉變換圖像中的顆粒狀對

應(yīng)的幅度譜呈環(huán)狀，

但即使只有一顆顆

粒，其幅度譜的模

式還是這樣。圖像傅立葉變換這些圖像沒有特定

的結(jié)構(gòu)，左上角到

右下角有一條斜線，

它可能是由帽子和

頭發(fā)之間的邊線產(chǎn)

生的

圖像的傅里葉變換是圖像在空域和頻域之間的變換

幅度和相位哪個更能影響圖像的形狀呢請看如下試驗先準備兩張圖片

a圖b圖圖的幅值譜圖的幅值譜ba圖的相位譜圖的相位譜ab

圖a的幅值譜

和圖b的相位譜

重新組合

圖的幅值譜圖的相位譜abb圖的大體輪廓

b圖的幅值譜與a圖的相位譜組合

圖的相位譜圖的幅值譜

baa圖的大體輪廓 由此可以說明相位譜較幅值譜更能影響圖像的形狀。

通俗的說，幅度決定圖像的強弱，相位決定圖像的頻率。

先將幅值譜設(shè)為常數(shù)（這里設(shè)為1），然后和圖像原來的相位譜結(jié)合，進行傅里葉反變換

圖

aa圖的相位譜重構(gòu)圖

再將相位譜設(shè)為常數(shù)（這里設(shè)為1），然后和圖像原來的幅值譜結(jié)合，進行傅里葉反變換

ab圖圖的幅值譜重構(gòu)圖

由此更加說明相位譜較幅值譜更能影響圖像的輪廓。

（1）可分性從上式可以看出，一個二維傅立葉變換可用二次一維傅立葉變換來實現(xiàn)傅立葉變換的性質(zhì)f(x,y)(0,0)N-1N-1xyF(x,v)(0,0)N-1N-1xvF(u,v)(0,0)N-1N-1vu行變換列變換二維傅立葉變換分離成兩個一維變換行變換列變換（2）平移性在空域中，圖像原點平移到(x0，y0)時，其對應(yīng)的頻譜F(u,v)要乘上一個負的指數(shù)項也就是說，當空域中f(x,y)產(chǎn)生移動時，在頻域中只發(fā)生相移，而傅立葉變換的幅值不變。反之，在頻域中，原點平移到(u0，v0)時，其對應(yīng)的f(x,y)要乘上一個正的指數(shù)項因此，當頻域中F(u,v)產(chǎn)生移動時，相應(yīng)的f(x,y)在空域中也只發(fā)生相移，而幅值不變。在數(shù)字圖像處理中，我們常常將F(u,v)的原點移到N×N頻域方陣的中心，以使能清楚地分析傅立葉變換譜的情況，只需令：u0＝v0＝N/2則即，如果將圖像頻譜的原點從起點(0，0)移到圖像中心點(N/2，N/2)，只要f(x,y)乘上(－1)(x＋y)因子后，再進行傅立葉變換即可。（3）周期性和共軛對程稱性周期性可表示為

如果F(u,v)是f(x,y)的傅立葉變換，則F*(-u,-v)是f(-x,-y)的傅立葉變換的共軛函數(shù)F(u,v)=F*(-u,-v)|F(u,v)|=|F(-u,-v)|共軛對稱性可表示為（4）旋轉(zhuǎn)不變性如果引入極坐標則f(x,y)和F(u,v)分別變?yōu)閒(r,θ)和F(ω，φ)在極坐標系中，存在以下變換對該式表明，如果空間域函數(shù)f(x,y)旋轉(zhuǎn)θ0角度后，相應(yīng)的傅立葉變換F(u,v)在頻域中也旋轉(zhuǎn)同一θ0角，反之，F(xiàn)(u,v)在頻域中旋轉(zhuǎn)θ0角，其反變換f(x,y)在空間域中也旋轉(zhuǎn)θ0角（5）分配性（線性）和比例性（縮放）傅立葉變換的分配性表明，傅立葉變換和反變換對于加法可以分配，而對乘法則不行，即傅立葉變換的比例性表明，對于二個標量a和b，有在空間比例尺度的展寬，相應(yīng)于頻域中比例尺度的壓縮，其幅值也減少為原來的（6）平均值性質(zhì)定義二維離散函數(shù)的平均值為將u=v=0代入二維離散傅立葉公式，可得比較上面兩式，可看出若求二維離散信號f(x,y)的平均值，只需算出相應(yīng)的傅立葉變換F(u,v)在原點的值F(0,0)（7）卷積定理卷積定理和相關(guān)定理都是研究兩個函數(shù)的傅立葉變換之間的關(guān)系，這構(gòu)成了空間域和頻域之間的基本關(guān)系對于兩個二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)的卷積定義為其二維卷積定理可由下面關(guān)系表示設(shè)則（8）相關(guān)定理對于二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)的相關(guān)定義為相關(guān)定理可表示為5.4快速傅里葉變換直接進行一個N×N的2-D傅里葉變換需要N4次復(fù)數(shù)乘法運算和N2(N2–1)次復(fù)數(shù)加法運算快速傅里葉變換（FFT）：

將復(fù)數(shù)乘法和加法的次數(shù)減少為正比于Nlog2N

逐次加倍法：復(fù)數(shù)乘法次數(shù)由N2減少為(Nlog2N)/2 復(fù)數(shù)加法次數(shù)由N2減少為Nlog2N

其原理：對于一個有限長序列{f(x)}(0≤x≤N-1)，它的傅立葉變換由下式表示：令傅立葉變換對可寫為：(1)(2)將正變換(1)展開得到：從上式可以看出，要得到每一個頻率分量，需進行N次乘法和N-1次加法運算。要完成整個變換需要N2次乘法和N(N-1)次加法運算。當序列較長時，必然要花費大量的時間。1965年庫利-圖基提出原始的N點序列依次分解成一系列短序列，然后，求出這些短序列的離散傅立葉變換，以此來減少乘法運算，例如，設(shè)：由此，離散傅立葉變換可寫成下面的形式：因為：所以：F1(u)和F2(u)分別是f1(x)和f2(x)的N/2點的傅立葉變換

由上面的分析可見，一個N點的離散傅立葉變換可由兩個N/2點的傅立葉變換得到。當N為2的整數(shù)冪時，則上式中的F1(u)和F2(u)還可以再分成兩個更短的序列，因此計算時間會更短。離散傅立葉變換已成為數(shù)字信號處理的重要工具，然而，它的計算量達，運算時間長，在某種程度上卻限制了它的使用范圍。快速算法大大提高了運算速度，在某些應(yīng)用場合已能作實時處理，并且應(yīng)用在控制系統(tǒng)中?？焖俑盗⑷~變換不是一種新的變換，它是離散傅立葉變換的一種算法，它是在分析離散傅立葉變換中的多余運算的基礎(chǔ)上，進而消除這些重復(fù)工作的思想指導(dǎo)下得到的。二維快速傅里葉變換的matlab實現(xiàn)在MATLAB中，函數(shù)fft：用于進行一維離散傅立葉變換（DFT）函數(shù)fft2：用于進行二維DFT函數(shù)fftn

：用于進行N維DFT另外函數(shù)ifft：用于進行一維DFT的快速傅立葉反變換函數(shù)ifft2：用于進行二維DFT的快速傅立葉反變換函數(shù)ifftn

：用于進行N維DFT的快速傅立葉反變換見例題補充說明1、圖像經(jīng)過二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：若變換矩陣Fn原點設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設(shè)在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時也表明——圖像能量集中低頻區(qū)域2、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）傅里葉變換的應(yīng)用例1：快速卷積fft-2.m例2：圖像特征定位fft-3.m5.4離散余弦變換離散余弦變換(DiscreteCosineTransform-簡稱DCT)是傅里葉變換的一種特殊情況。在傅里葉級數(shù)展開式中，被展開的函數(shù)是實偶函數(shù)時，其傅里葉級數(shù)中只包含余弦項，稱之為余弦變換。二維離散余弦變換二維離散反余弦變換傅立葉變換需要復(fù)數(shù)的乘法和加法運算，而復(fù)數(shù)運算比實數(shù)運算要費時得多離散余弦變換是實值變換，計算復(fù)雜性適中，又具有可分離特性，還有快速算法，變換后這有很少的非零元素，所以被廣泛地用在圖象數(shù)據(jù)壓縮編碼算法中，如JPEG、MPEG-1、MPEG-2及H.261等壓縮編碼國際標準都采用了離散余弦變換編碼算法其變換核－是為實數(shù)的余弦函數(shù)，因而DCT的計算速度比DFT快得多例：原圖像為：DCT變換圖像的離散余弦變換DCT矩陣的左上角代表低頻分量，右下角代表高頻分量由DCT域圖像我們能夠了解圖像主要包含低頻成份DCT域圖像空間域圖像

MATLAB圖像處理工具箱提供了dct2函數(shù)和idct2函數(shù)進行二維DCT變換和逆變換的計算。例1yuxianbianhuan1.m

圖像的離散沃爾什變換由于傅里葉變換和余弦變換的變換核由正弦、余弦函數(shù)組成，運算速度受影響，為此。我們在特定問題中往往引進不同的變換方法，要求運算簡單且變換核矩陣產(chǎn)生方便。WalshTransform中的變換矩陣簡單（只有1和－1），占用存儲空間少，產(chǎn)生容易，有快速算法，在大量數(shù)據(jù)需要實時處理的圖像處理問題中，得到廣泛應(yīng)用圖像的K-L變換K-L變換也叫霍特林（Hotelling）變換，是一種基于圖像統(tǒng)計特性的變換K-L變換的協(xié)方差矩陣除對角線以外的元素都是零，消除了數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，從而在信息壓縮方面起著重要作用。K-L變換的應(yīng)用－人臉識別FT在信號處理中的局限性用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時間的變化信號頻率成分的變化情況。5.5小波變換在不少實際問題中，我們關(guān)心的是信號在局部范圍中的特征,例如：在音樂信號中人們關(guān)心的是什么時刻演奏什么樣的音符；對地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波；圖像識別中的邊緣檢測關(guān)心的是信號突變部分的位置，即紋理結(jié)構(gòu)。這些FT不能完成，需要引入時頻局部化分析與Fourier變換相比，小波變換是空間（時間）和頻率的局部變換，它通過伸縮和平移等運算功能可對函數(shù)或信號進行多尺度的細化分析，最終達到高頻處時間細分、低頻處頻率細分，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，通過對高頻采取逐漸精細的時域或空域步長，從而可以聚焦到分析對象的任意細節(jié)。解決了Fourier變換不能解決的許多困難，原則上，凡傳統(tǒng)使用Fourier分析的方法，都可以用小波分析代替小波定義：“小”是指在時域具有緊支集或近似緊支集，“波”是指具有正負交替的波動性，直流分量為0。小波概念：是定義在有限間隔而且其平均值為零的一種函數(shù)正弦波和小波（a）正弦波曲線；(b)小波曲線波與小波的差異：一維連續(xù)小波的例子：Haar小波：一維連續(xù)小波的例子2.Mexico草帽小波：3.Morlet小波：小波變換的含義是：把基本小波(母小波)的函數(shù)作位移后，再在不同尺度下與待分析信號作內(nèi)積，就可以得到一個小波序列基本小波函數(shù)ψ()的縮放和平移操作含義如下：

(1)縮放。簡單地講，縮放就是壓縮或伸展基本小波，縮放系數(shù)越小，則小波越窄，如圖所示。

小波的縮放操作

(2)平移。簡單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上，函數(shù)f(t)延遲k的表達式為f(t-k)，如圖所示。小波的平移操作(a)小波函數(shù)ψ(t)；(b)位移后的小波函數(shù)ψ(t-k)

CWT計算主要有如下五個步驟：第一步：取一個小波，將其與原始信號的開始一節(jié)進行比較。

第二步：計算數(shù)值C，C表示小波與所取一節(jié)信號的相似程度，計算結(jié)果取決于所選小波的形狀。第三步：向右移動小波，重復(fù)第一步和第二步，直至覆蓋整個信號，如所示。第四步：伸展小波，重復(fù)第一步至第三步，如圖所示。計算系數(shù)值C

計算平移后系數(shù)值C計算尺度后系數(shù)值C

第五步：對于所有縮放，重復(fù)第一步至第四步。小波的縮放因子與信號頻率之間的關(guān)系是：縮放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信號的細節(jié)變化，表示信號頻率越高；縮放因子scale越大，表示小波越寬，度量的是信號的粗糙程度，表示信號頻率越低。(1)小波分解可以覆蓋整個頻域(提供了一個數(shù)學(xué)上完備的描述)(2)小波變換通過選取合適的濾波器，可以極大的減小或去除所提取得不同特征之間的相關(guān)性(3)小波變換具有“變焦”特性，在低頻段可用高頻率分辨率和低時間分辨率(寬分析窗口)，在高頻段，可用低頻率分辨率和高時間分辨率(窄分析窗口)(4)小波變換實現(xiàn)上有快速算法(Mallat小波分解算法)小波變換在圖像處理中的優(yōu)點：廣泛應(yīng)用：信號處理、圖像處理、模式識別、量子物理、非線性科學(xué)領(lǐng)域5.5.2小波變換用于圖像壓縮一般方法：（1）利用二維小波分析進行圖像壓縮（2）二維信號壓縮中的閾值的確定與作用命令例1xiaobo1.m例2xiaobo2.m原始圖像余弦變換壓縮解壓結(jié)果小波變換壓縮解壓結(jié)果5.5.3小波變換用于圖像去噪對小波分解的高頻系數(shù)進行閾值量化來達到消除噪聲的目的。例3xiaobo3.m圖像變換小結(jié)

圖像變換主要內(nèi)容：圖像的代數(shù)變換圖像的幾何變換圖像的離散傅立葉變換圖像的離散余弦變換圖像的離散沃爾什變換圖像的K-L變換圖像的小波變換圖像的代數(shù)變換代數(shù)運算包括算術(shù)運算和邏輯運算算術(shù)運算：加法運算：C(x,y)=A(x,y)+B(x,y)減法運算：C(x,y)=A(x,y)-B(x,y)乘法運算：C(x,y)=A(x,y)*B(x,y)除法運算：C(x,y)=A(x,y)/B(x,y)邏輯運算：非運算：g(x,y)=255-f(x,y)異或運算：g(x,y)=f(x,y)

h(x,y)或運算：g(x,y)=f(x,y)v

h(x,y)與運算：g(x,y)=f(x,y)

h(x,y)加法運算加法運算可以去除加性（Additive）隨機噪聲加性隨機噪聲一般理解成背景噪聲，比如閃電、雷擊和大氣中的電暴等等對于原圖像f(x,y),有一個噪音圖像集 {gi(x,y)}i=1,2,...M其中：gi(x,y)=f(x,y)+hi(x,y)M個圖像的均值定義為：g(x,y)=1/M(g0(x,y)+g1(x,y)+…+gM(x,y))當噪音hi(x,y)為互不相關(guān)，且均值為0時，上述圖像均值將降低噪音的影響舉例：加法運算當M增大，即對圖像相加次數(shù)增加時，去除加性（Additive）噪聲的效果更加明顯加法運算生成圖像疊加效果對于兩個圖像f(x,y)和h(x,y)的均值有：g(x,y)=f(x,y)/2+h(x,y)/2會得到二次曝光的效果。推廣這個公式為：

g(x,y)=αf(x,y)+βh(x,y)

其中α+β=1，我們可以得到各種圖像合成的效果也可以用于兩張圖片的銜接舉例：加法運算＋＝減法運算可以去除不需要的疊加性圖案設(shè)：背景圖像b(x,y)，前景背景混合圖像f(x,y)

g(x,y)=f(x,y)–b(x,y)g(x,y)為去除了背景的圖像電視制作的藍屏技術(shù)就基于此減去背景圖像b(x,y)添加藍色背景f(x,y)g(x,y)減法運算可以檢測同一場景兩幅圖像之間的變化設(shè)：時間1的圖象為T1(x,y)，時間2的圖象為T2(x,y)g(x,y)=T2(x,y)-T1(x,y)=-乘法運算用二值蒙板圖像與原圖像做乘法進行圖像的局部顯示：非運算可以獲得一個陰圖象255－非運算獲得一個子圖像的補圖像255－異或運算01＝1 10＝1 00＝0 11＝0可以獲得相交子圖象=或運算0v1＝1 1v0＝1 0v0＝0 1v1＝1可以合并子圖像=或運算0v1＝1 1v0＝1 0v0＝0 1v1＝1模板運算：提取感興趣的子圖像=與運算0

1＝0 1

0＝0 0

0＝0 1

1＝1求兩個