第7章應(yīng)力狀態(tài)分析

材料力學(xué)2/1/20231身是菩提樹(shù)，心如明鏡臺(tái)。時(shí)時(shí)勤拂拭，勿使惹塵埃。菩提本無(wú)樹(shù)，明鏡亦非臺(tái)。本來(lái)無(wú)一物，何處惹塵埃。佛:無(wú)上正等正覺(jué)菩薩:正等正覺(jué)羅漢:正覺(jué)神秀惠能2/1/20232釋迦牟尼佛文殊菩薩普賢菩薩阿彌陀佛大勢(shì)至菩薩觀世音菩薩山西五臺(tái)山中國(guó)四大菩薩道場(chǎng)四川峨眉山安徽九華山浙江普陀山藥師佛日光菩薩月光菩薩2/1/20233一、應(yīng)力狀態(tài)和單元體1.應(yīng)力狀態(tài)通過(guò)受力物體上一點(diǎn)的任意截面上的應(yīng)力情況=一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)2.單元體圍繞一點(diǎn)取出正六面體：三對(duì)面每對(duì)面上3個(gè)應(yīng)力分量：共9個(gè)正面縱截面橫截面第7章應(yīng)力狀態(tài)分析7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力單元2/1/20234考慮到剪應(yīng)力互等定理，9個(gè)應(yīng)力分量中6個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量已知的單元體稱為原始單元對(duì)材料力學(xué)所研究的桿件，原始單元必然包含一對(duì)橫截面，因?yàn)闄M截面上的應(yīng)力已經(jīng)有公式可計(jì)算Oxyzxyzyxxy根據(jù)原始單元上的已知應(yīng)力分量，就可以計(jì)算任意斜截面上的應(yīng)力分量。單元體及各面上的應(yīng)力就代表了該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)2/1/202353.基本變形應(yīng)力單元(a)拉伸壓縮桿受彎梁上下邊緣點(diǎn)(b)受扭圓軸受彎梁中性層(c)梁截面上非中性層、非上下邊緣點(diǎn)4.主單元體主平面：剪應(yīng)力為零的平面主單元：由主平面構(gòu)成的單元體過(guò)一點(diǎn)一定存在三對(duì)相互正交的主平面形成主單元體2/1/202365.主應(yīng)力和主方向（1）主應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。過(guò)一點(diǎn)存在三對(duì)相互正交的主平面，由此構(gòu)成主單元。受力物體上任意一點(diǎn)均有三個(gè)主應(yīng)力。123按代數(shù)量的大小排序：

1——第一主應(yīng)力2——第二主應(yīng)力3——第三主應(yīng)力

（2）主方向主應(yīng)力的方向稱為主方向它也是主平面的法線方向2/1/20237二、應(yīng)力狀態(tài)分類1.分類依據(jù)根據(jù)不為零的主應(yīng)力個(gè)數(shù)分類。2.分類結(jié)果單向應(yīng)力狀態(tài)（單軸應(yīng)力狀態(tài)）僅一個(gè)主應(yīng)力不為零者，可能的情況有：

1、0、0—單向拉伸；

0、0、3—單向壓縮。11331232/1/20238二向應(yīng)力狀態(tài)（雙軸應(yīng)力狀態(tài)，平面應(yīng)力狀態(tài)）

有二個(gè)主應(yīng)力不為零者，可能的情況有

1、2

、0；雙向受拉

1、0、3

；一拉一壓

0、2

、3；雙向受壓三向應(yīng)力狀態(tài)（三軸應(yīng)力狀態(tài)）

三個(gè)主應(yīng)力均不為零者單向應(yīng)力狀態(tài)稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，二向、三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。1232/1/202397.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、斜截面上的應(yīng)力分量已知條件一個(gè)主應(yīng)力為零：設(shè)為前后面正應(yīng)力和剪應(yīng)力

x——拉為正y——拉為正xy

——繞單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)者為正圖示應(yīng)力均為正值xyxxyyyx凡與圖示指向不一致者為負(fù)2/1/2023102.斜截面上應(yīng)力分量xxyxyyABCyxxyABC取脫離體設(shè)AB面積dA，則BC面積為dAsin，AC面積dAcos為斜截面與豎向面（x作用面）的夾角，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正2/1/202311整理得解得利用三角關(guān)系2/1/202312容易得到最后得到應(yīng)力的第一不變量2/1/202313特殊情況一：?jiǎn)蜗蚶旎驂嚎s=0的橫截面=45斜截面剪應(yīng)力在該斜截面上最大。鑄鐵的受壓破壞與此有關(guān)。2/1/202314特殊情況二：扭轉(zhuǎn)等純剪切正應(yīng)力的極值出現(xiàn)在=45的斜面上正應(yīng)力就是主應(yīng)力鑄鐵、粉筆等脆性圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞就是由于最大拉應(yīng)力引起的。2/1/202315例題7.1

圖示單元體，試計(jì)算=60及=-45斜面上的應(yīng)力分量。解：已知80120MPa10060-453.4200-32.7-202/1/202316二、極值應(yīng)力1.極值正應(yīng)力由斜截面上正應(yīng)力的公式求駐點(diǎn)說(shuō)明：剪應(yīng)力等于零的斜截面上正應(yīng)力取極值極值正應(yīng)力就是主應(yīng)力2/1/202317主平面方位

剪應(yīng)力（切應(yīng)力）為零的平面為主平面，該面與鉛垂面的夾角0，稱為主方向。解得：正交二主平面，對(duì)應(yīng)于二個(gè)主應(yīng)力?；?/1/202318主應(yīng)力大小為設(shè)i是與i對(duì)應(yīng)的主方向或x>y

時(shí)，|i|<45；x<y

時(shí)，|i|>45；x=y

且xy>0時(shí)，i=-45;xy<0時(shí)，i=45。則應(yīng)力的第一不變量還有一個(gè)主應(yīng)力為零，共三個(gè)主應(yīng)力，依據(jù)代數(shù)量的大小進(jìn)行排序可得第一、第二、第三主應(yīng)力。不難得到2/1/202319其實(shí)，平面應(yīng)力問(wèn)題的主應(yīng)力和主方向，就是如下22應(yīng)力矩陣的特征值和特征矢量設(shè)特征值為，則有參見(jiàn)《線性代數(shù)》展開(kāi)行列式方程的兩個(gè)根可以證明，應(yīng)力矩陣的特征矢量就是主方向2/1/2023202.極值剪應(yīng)力極值剪應(yīng)力平面方位說(shuō)明極值剪應(yīng)力平面與主平面相差45°，即極值剪應(yīng)力所在平面與主平面相交成45角。2/1/202321極值剪應(yīng)力三種情況最大剪應(yīng)力極大和極小絕對(duì)值相等，僅相差一個(gè)正負(fù)符號(hào)極大值和主應(yīng)力的關(guān)系2/1/202322例題7.2求純剪應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力。解：2/1/202323例題7.3求圖示拉剪應(yīng)力單元的主應(yīng)力值和最大剪應(yīng)力值。解：已知主應(yīng)力最大剪應(yīng)力2/1/202324例題7.4計(jì)算圖示單元體ab面上的應(yīng)力及主應(yīng)力數(shù)值、主方向。解：80MPa3040ab60°MPaMPa2/1/202325所以MPaMPa因所以-13.28°與1對(duì)應(yīng)76.72°與3對(duì)應(yīng)2/1/2023267.3應(yīng)力圓及其應(yīng)用一、平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓1.圓的方程（1）斜截面應(yīng)力（2）圓的方程2/1/202327以為橫坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)的圓的方程。圓心C坐標(biāo)為：ORC半徑為該圓稱為應(yīng)力圓，或莫爾圓所以2/1/2023282.應(yīng)力圓的作法（1）畫(huà)坐標(biāo)系—

OCDD

（2）確定D點(diǎn)（x,xy

）（3）確定D點(diǎn)（y,-xy

）（4）連接D、D點(diǎn)，與橫坐標(biāo)軸相交，交點(diǎn)C即為圓心。

（5）以C為圓心、CD為半徑畫(huà)圓，就是莫爾圓（應(yīng)力圓）。問(wèn)題：如果已知主應(yīng)力，如何作應(yīng)力圓？2/1/202329證明：CODD1D'D2(x,xy

)(y,-xy

)半徑圓心圓心得證半徑得證2/1/202330二、應(yīng)力圓的應(yīng)用1.主應(yīng)力和主方向主應(yīng)力CODD'FGG'E202AB應(yīng)力圓與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)A、B，其縱坐標(biāo)為零，即剪應(yīng)力為零，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)就是主應(yīng)力2/1/202331主方向CODD'FGG'E202ABD點(diǎn)代表x面，DCA=20為大主應(yīng)力與x夾角的2倍從CD向CA旋轉(zhuǎn)，逆時(shí)針為正x>y

時(shí)，D點(diǎn)在D之右，|20|<90，故|0|<45；xy>0時(shí)，D點(diǎn)在上，0=-45;

x<y

時(shí)，D點(diǎn)在D之左，|20|>90，故|0|>45；x=y

時(shí)，D點(diǎn)和在D在同一豎直線上，|20|=90xy<0時(shí)，D點(diǎn)在下，0=45。

2/1/2023322.極值剪應(yīng)力最高點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為剪應(yīng)力的極大值最低點(diǎn)G為剪應(yīng)力的極小值CODD'FGG'E202AB3.斜截面上的應(yīng)力CD線轉(zhuǎn)動(dòng)2與圓交于EE點(diǎn)的坐標(biāo)就是斜截面上的應(yīng)力可直接從圖上按比例量取2/1/2023337.4空間應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介一、主應(yīng)力1.應(yīng)力單元空間應(yīng)力單元三對(duì)面9個(gè)應(yīng)力分量剪應(yīng)力互等定理：ij=ji應(yīng)力矩陣如下且33階對(duì)稱矩陣2/1/2023342.主應(yīng)力主應(yīng)力就是應(yīng)力矩陣的特征值三個(gè)應(yīng)力由如下行列式所表示的關(guān)于的一元三次方程求解應(yīng)力矩陣的特征矢量就是相應(yīng)主方向2/1/202335二、莫爾圓和八面體上的應(yīng)力1.莫爾應(yīng)力圓三個(gè)主應(yīng)力形成三個(gè)應(yīng)力圓任意斜截面上的應(yīng)力位于大小圓之間的陰影面積內(nèi)2.正八面體上應(yīng)力正八面體概念正八面體上應(yīng)力x2x1x32/1/202336例題7.5應(yīng)力單元如圖所示，求主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力解應(yīng)力矩陣主應(yīng)力控制方程展開(kāi)得x13020x2x32040單位為MPa2/1/202337即x13020x2x32040解得三個(gè)根三個(gè)主應(yīng)力最大剪應(yīng)力2/1/202338本題的應(yīng)力狀態(tài)比較特殊，可有另一種解法x13020x2x32040前后面上無(wú)剪應(yīng)力，就是一對(duì)主平面。已知一個(gè)主應(yīng)力-30MPa，余下的應(yīng)力分量按平面應(yīng)力考慮。三個(gè)主應(yīng)力結(jié)果完全一樣！2/1/2023397.5廣義胡克定律一、應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系1.主應(yīng)力表示的物理關(guān)系121233其中的應(yīng)變分量稱為主應(yīng)變，最大主應(yīng)變?yōu)?/1/2023402.一般坐標(biāo)下的物理關(guān)系對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)為z=0，所以但2/1/2023413.應(yīng)用于應(yīng)變測(cè)量測(cè)量方法電阻應(yīng)變測(cè)量光纖測(cè)量直接測(cè)正應(yīng)變，間接測(cè)剪應(yīng)變光纖傳感器電阻應(yīng)變測(cè)試測(cè)定構(gòu)件表面一點(diǎn)三個(gè)方向的正應(yīng)變（應(yīng)變花），就可以計(jì)算出x、y方向的正應(yīng)變，剪應(yīng)變，利用胡克定律計(jì)算應(yīng)力，并求出主應(yīng)力。任意方向的正應(yīng)變滿足關(guān)系2/1/202342所以應(yīng)力分量為進(jìn)一步，按平面應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力和主方向2/1/202343二、體積應(yīng)變1.體積應(yīng)變的定義abczxya1b1c1