第3章 模糊理論

3模糊理論

FuzzyTheory第一節(jié)引言一、模糊控制的發(fā)展1965年，美國(guó)控制論專家L.A.Zadeh在《Informationandcontrol》發(fā)表的開(kāi)創(chuàng)性論文《Fuzzysets》，首次提出了用“隸屬函數(shù)”的概念來(lái)定量描述事物模糊性的模糊集合理論，從此奠定了模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

1974年英國(guó)學(xué)者E.H.Mamdani首次把模糊集合理論成功地應(yīng)用在鍋爐和蒸汽機(jī)的控制之中，在自動(dòng)控制領(lǐng)域中首開(kāi)模糊控制在實(shí)際工程上的應(yīng)用先河。之后，模糊數(shù)學(xué)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展，在理論和應(yīng)用上都取得了豐碩成果。模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域以涉及到自動(dòng)控制、圖像和文字識(shí)別、人工智能、地址、地震、醫(yī)療診斷、氣象分析、航空、火車汽車輪船駕駛、企業(yè)管理和社會(huì)經(jīng)濟(jì)等許多放面。二、模糊控制的特點(diǎn)1、無(wú)需知道被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型2、是一種反映人類智慧思維的智能控制3、易于被人們所接受（核心：控制規(guī)則）4、構(gòu)造容易5、魯棒性好

模糊控制采用人類思維中的模糊量，如“高”、“中”、“低”等，且控制量由模糊推理導(dǎo)出一、模糊集的概念

集合：具有某種特定屬性的對(duì)象全體。集合中的個(gè)體通常用小寫英文字母如：u表示；集合的全體又稱為論域。通常用大寫英文字母如：U表示。

uU表示元素（個(gè)體）u在集合論域（全體）

U內(nèi)。第二節(jié)模糊集合論基礎(chǔ)集合表示法(經(jīng)典集合)：(1)列舉法：將集合的元素全部列出的方法。(2)定義法：用集合中元素的共性來(lái)描述集合的方法。(3)歸納法：通過(guò)一個(gè)遞推公式來(lái)描述一個(gè)集合的方法。(4)特征函數(shù)表示法：利用經(jīng)典集合論非此即彼的明晰性來(lái)表示集合。例：設(shè)集合U由1到5的五個(gè)自然數(shù)組成，用上述方法寫出該集合的表達(dá)式。解：(1)列舉法U={1,2,3,4,5}(2)定義法U={u|u為自然數(shù)且1u5}(3)歸納法U={ui+1=ui+1,i=1,2,3,4,u1=1}

經(jīng)典集合論中任意一個(gè)元素與任意一個(gè)集合之間的關(guān)系，只是“屬于”或“不屬于”兩種，兩者必居其一而且只居其一。它描述的是有明確分界線的元素的組合。

用經(jīng)典集合來(lái)處理模糊性概念時(shí)，就不行。

諸如“速度的快慢”、“年齡的大小”、“溫度的高低”等模糊概念沒(méi)有明確的界限。

經(jīng)典集合對(duì)事物只用"1"、"0"簡(jiǎn)單地表示“屬于”或“不屬于”的分類；而模糊集合則用“隸屬度(Degreeofmembership)”來(lái)描述元素的隸屬程度，隸屬度是0到1之間連續(xù)變化的值。模糊集合特征函數(shù)隸屬度函數(shù)（0～1連續(xù)變化值）例：人對(duì)溫度的感覺(jué)(0C~40C的感覺(jué))：“舒適”：15C~25C“熱”：25C以上“冷”：15C

以下經(jīng)典集合對(duì)溫度的定義0

152540冷熱(T)1.0舒適溫度C0

152540(T)1.0冷熱舒適溫度C模糊集合對(duì)溫度的定義經(jīng)典集合：14.99C屬于“冷”；15.01C屬于舒適。與人的感覺(jué)一致嗎？模糊集合：論域U中的模糊集合F用一個(gè)在區(qū)間[0,1]上的取值的隸屬函數(shù)F來(lái)表示，即：

F

：U[0,1]uF

（映射）（隸屬函數(shù)F：u隸屬于F的程度）F(u)=1：u完全屬于U；F(u)=0：u完全不屬于U；0<F(u)<1：u部分屬于U。U中的模糊集F可以用元素u和它的隸屬度來(lái)表示：F={(u,F(u))|uU}例：設(shè)F是遠(yuǎn)大于0的實(shí)數(shù)集合（顯然F是模糊集合，而論域U表示全部實(shí)數(shù)集合），U中任一元素u隸屬模糊集合F的隸屬度F(u)可有下式來(lái)定義：F(u)=0u

0

u>0可算出F(5)=0.2,F(10)=0.5,F(20)=0.8可見(jiàn)F(u)是U到閉區(qū)間[0,1]的映射。510200.20.50.8U[0,1]F(u)

1、論域U為離散域（即論域U是有限集合）(1)查德表示法F=模糊集合的表示方法：例：集合F表示接近于0的整數(shù)（已知論域U={0,1,2,3,4,5}）(2)序偶表示法F={(u1,(u1)),(u2,(u2)),…,(un,(un))}(3)向量表示法F={(u1),(u2),…,(un)}（元素u按次序排列）例：F={(0,1.0),(1

,0.9),(2

,0.75),(3,0.5),(4

,0.2),(5

,0.1)}例：F={1.0

,0.9,0.75,0.5,0.2

,0.1}2、論域?yàn)檫B續(xù)域例:以年齡為論域，取。Zadeh給出了“年輕”的模糊集F，其隸屬函數(shù)為

“年輕”的隸屬函數(shù)曲線模糊集合表示為：模糊集合是用隸屬度函數(shù)描述的。二、隸屬度函數(shù)的建立隸屬度函數(shù)：模糊集合的特征函數(shù)（取值范圍在[0,1]區(qū)間）

確定隸屬度函數(shù)的方法具有主觀性，但主觀的反映和客觀的存在有一定的聯(lián)系，是受客觀制約的。

由于模糊集理論的研究對(duì)象具有模糊性和經(jīng)驗(yàn)性,因此找到一種統(tǒng)一的隸屬度計(jì)算方法是不現(xiàn)實(shí)的。確定隸屬函數(shù)應(yīng)遵守的一些基本原則：1、表示隸屬度函數(shù)的模糊集合必須是凸模糊集合例:適中開(kāi)車速度的集合是模糊集合。可表示為:“適中速度”=0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70

從最大隸屬度函數(shù)點(diǎn)向兩邊延伸時(shí),其隸屬函數(shù)的值是必須是單調(diào)遞減的,而不允許有波浪形。203050709500.20.40.60.81速度（語(yǔ)言變量）Degreeofmembership適中低高51002、變量所取隸屬度函數(shù)通常是對(duì)稱和平衡的。很低很高標(biāo)稱名：語(yǔ)言值(個(gè)數(shù)適中：3～9個(gè)（奇數(shù)）)語(yǔ)言值的個(gè)數(shù)和規(guī)則數(shù)成正比。3、隸屬度函數(shù)要符合人們的語(yǔ)言順序，

避免不恰當(dāng)?shù)闹丿B注意：間隔的兩個(gè)模糊集合隸屬度函數(shù)盡量不相交。重疊指數(shù)：衡量隸屬度函數(shù)與模糊控制器性能關(guān)系的一個(gè)重要指標(biāo)。包括：重疊率、重疊魯棒性重疊指數(shù)的定義附近隸屬函數(shù)的范圍LUA1A2x00.51.0重疊范圍L‘U’(0.2~0.6為宜)(0.3~0.7為宜)例：

重疊率和重疊魯棒性越大，模糊控制模塊模糊性越強(qiáng)，規(guī)則越多，越復(fù)雜，精度越高。求重疊率和重疊魯棒性隸屬度函數(shù)確立的方法：1、模糊統(tǒng)計(jì)法2、例證法3、專家經(jīng)驗(yàn)法4、二元對(duì)比排序法1、模糊統(tǒng)計(jì)法

基本思想：論域U上的一個(gè)確定的元素v0是否屬于一個(gè)可變動(dòng)的清晰集合A*作出清晰的判斷。

對(duì)于不同的實(shí)驗(yàn)者，清晰集合A*可以有不同的邊界。但它們都對(duì)應(yīng)于同一個(gè)模糊集A。年輕人17-30歲20-35歲模糊集A清晰集A1*清晰集A2*所有人論域Uv0隸屬度函數(shù)確立的方法：計(jì)算步驟：在每次統(tǒng)計(jì)中，v0是固定的（如某一年齡），A*的值是可變的，作n次試驗(yàn),則模糊統(tǒng)計(jì)公式：隸屬度函數(shù)確立的方法：例：求中等身材的集合A及μA(1.64)選10人，每人確定A*的元素，假設(shè)10個(gè)人所確定的A*分別是：1.60~1.691.63~1.701.65~1.751.56~1.701.62~1.731.65~1.721.64~1.731.60~1.691.69~1.751.69~1.77……∴①隨著n的增大，隸屬頻率會(huì)趨向穩(wěn)定，這個(gè)穩(wěn)定值就是v0對(duì)A的隸屬度。②計(jì)算量大。模糊統(tǒng)計(jì)法的特點(diǎn)：2、例證法：從有限個(gè)隸屬度值，來(lái)估計(jì)U上的模糊集A的隸屬度函數(shù)。3、專家經(jīng)驗(yàn)法：根據(jù)專家的經(jīng)驗(yàn)對(duì)每一現(xiàn)象產(chǎn)生的各種結(jié)果的可能性程度，來(lái)決定其隸屬度函數(shù)。4、二元對(duì)比排序法：通過(guò)對(duì)多個(gè)事物之間的兩兩對(duì)比，來(lái)確定某種特征下的順序，由此來(lái)決定這些事物對(duì)該特征的隸屬函數(shù)的大體形狀。模糊控制中，隸屬度函數(shù)基本圖形分為三大類：1.左大右小的偏小型下降函數(shù)（Z函數(shù)）：適用于輸入值比較小時(shí)的隸屬度函數(shù)確定。0x1.0(x)矩形分布0x1.0(x)梯形分布0x1.0(x)曲線分布2.左小右大的偏大型上升函數(shù)（S函數(shù)）：適用于輸入值比較大時(shí)的隸屬度函數(shù)確定。01.0(x)x矩形分布0x1.0(x)梯形分布0x1.0曲線分布3.對(duì)稱型凸函數(shù)（函數(shù)）：適用于輸入值位于中間時(shí)隸屬度函數(shù)確定。01.0(x)x矩形分布(x)0x1.0三角形分布01.0(x)梯形分布x01.0(x)曲線分布x三、模糊關(guān)系（用于模糊推理決策）1.模糊關(guān)系的定義關(guān)系：客觀事物間的相互聯(lián)系。

普通關(guān)系：二元關(guān)系（是、否）例：父子、師生、同事模糊關(guān)系：父子相像。例：設(shè)A={0,1}，B={a,b,c}則A×B={(0,a)，(1,a)，(0,b)，(1,b)，(0,c)，(1,c)}B×A={(a,0)，(a,1)，(b,0)，(b,1)，(c,0)，(c,1)}注意：A×B≠B×AA、B兩集合的直積：序偶：例：甲、乙、丙3人參加考試，考試的成績(jī)?yōu)閮?yōu)、良、中、差，則A={甲,乙,丙}，B={優(yōu),良,中,差}A×B：12種序偶的集合。一次考試：R={(甲,優(yōu))，(乙,中)，(丙,差)}A、B間的關(guān)系可通過(guò)矩陣形式直觀地表示出來(lái)，關(guān)系之間地運(yùn)算可轉(zhuǎn)換為矩陣間運(yùn)算。矩陣：A甲乙丙B優(yōu)良中差關(guān)系對(duì)應(yīng)模糊關(guān)系R：以A×B為論域的一個(gè)模糊子集且有：定義：模糊矩陣：有限集A，B，即序偶模糊矩陣中的元素記為模糊矩陣R記為:其中例設(shè)求模糊關(guān)系R＝A×B，模糊矩陣解：①求②方法1：方法2：對(duì)應(yīng)元素取小例：已知兩個(gè)模糊集合A、C的隸屬度函數(shù)分別為求它們的模糊關(guān)系C×A其中，C，A分別屬于兩個(gè)不同的論域U，V課內(nèi)練習(xí)解：定義笛卡爾積

若A1、A2分別是論域U1、U2

中的模糊集，則A1

、A2的笛卡兒積是在積空間U1U2中的一個(gè)模糊子集，其隸屬度函數(shù)為:直積（極小算子）：A1

A2(u1,u2)=min{A1(u1),A2(u2)}代數(shù)積：A1

A2(u1,u2)=A1(u1)A2(u2)對(duì)于連續(xù)情況，關(guān)系矩陣可定義為：為了區(qū)分直積、代數(shù)積，用min表示直積；用AP表示代數(shù)積。記號(hào)t算子：表示笛卡兒積模糊關(guān)系的合成：如果R和S分別為笛卡兒空間UV和VW上的模糊關(guān)系，則R和S的合成是定義在空間U

W上的模糊關(guān)系，并記為R°S。其隸屬度函數(shù)的計(jì)算方法：模糊關(guān)系的合成可用模糊矩陣的合成來(lái)表示2、模糊關(guān)系的合成上確界（Sup)算子

S祖父祖母父0.50.7母0.10用模糊矩陣S可表示為R父母子0.20.8女0.60.1例某家中子女與父母的長(zhǎng)像相似關(guān)系R為模糊關(guān)系，可表示為也可以用模糊矩陣R來(lái)表示該家中父母與祖父母的相似關(guān)系也是模糊關(guān)系，可表示為求孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度？（即求）

解：

此模糊關(guān)系表明：孫子與祖父、祖母的相似程度為0.2、0.2;孫女與祖父、祖母的相似程度為0.5、0.6。

一、模糊邏輯及其基本運(yùn)算模糊邏輯是研究模糊命題的邏輯。模糊命題