信息光學之數(shù)學基礎-常用函數(shù)

信息光學

InformationOptics第一部分數(shù)學基礎

§0-1常用函數(shù)—變型xf(x)xf(x-x0)x0xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移(原點移至x0)折疊與f(x)關(guān)于y軸鏡像對稱取反與f(x)關(guān)于x軸鏡像對稱倍乘y方向幅度變化比例縮放a>1,在x方向展寬a倍a<1,在x方向壓縮a倍§0-1常用函數(shù)—變型（例）xf(x)01x,0<x<10其它例:f(x)={求f(-2x+4)解：f(-2x+4)=f[-2(x-2)]，包含折疊、壓縮、平移xf(-x)0-1先折疊xf(-2x)0-1/2再壓縮x0f[-2(x-2)]3/2最后平移cos(x),|x|p/20 其它求f(-x/2+p/4)練習：f(x)={

§0-1常用函數(shù)—變型（練習）先折疊，偶函數(shù)折疊后不變xf(x)0p/2-p/2解：f(-x/2+p/4)=f[-(x-p/2)/2]，包含折疊、擴展、平移再擴展,

最后平移xf(-x)0p/2-p/2求f(-x/2+p/4)曲線下面積:注意：在縮放前后的變化cos(x),|x|p/20 其它f(x)={§1-1常用函數(shù)

注意:1.函數(shù)在時域和空域各代表什么物理對象

2.一維向二維擴展,各代表什么物理對象一.階躍函數(shù)StepFunctionx01Step(x)1,x>01/2,x=00,x<0定義:Step(x)={代表：開關(guān),無窮大半平面屏0xy

§1-1常用函數(shù)(續(xù))

二.符號函數(shù)Signum

x01Sgn(x)-11,x>00,x=0-1,x<0定義:Sgn(x)={原型 代表“p”相移器、反相器與Step函數(shù)的關(guān)系:Sgn(x)=2Step(x)-1§1-1常用函數(shù)(續(xù))

三.矩形函數(shù)RectangleFunction定義xrect(x)01/2-1/21原型特點:rect(0)=1,矩形寬度=1，矩形面積=1,偶函數(shù)快門;單縫,矩孔,區(qū)域限定x0ax0yaxx0,y0yab0§1-1常用函數(shù)(續(xù))

四、三角形函數(shù)TriangleFunction底寬:2|a|,面積:S=|a|底寬:2最大值：tri(0)=1曲線下面積:S=1xtri(x)01-111xa+x0-a+x0x0§1-1常用函數(shù)(續(xù))

五、sinc函數(shù)xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0x0特點:最大值：sinc(0)=1；lim

sinc(x)=0

x曲線下面積:S=1，偶函數(shù)0點位置:x=n(n=1,2,3…)等間隔兩個一級0點之間的主瓣寬度=2§1-1常用函數(shù)

五.sinc函數(shù)(續(xù))Sinc函數(shù)的重要性:數(shù)學上,sinc函數(shù)和rect函數(shù)互為傅里葉變換物理上,單一矩形脈沖rect(t)的頻譜是sinc函數(shù);單縫的夫瑯和費衍射花樣是sinc函數(shù)xsinc2(x)01-11sinc

(x)sinc2(0)=1,S=1與sinc(x)相比,曲線形狀不同,但曲線下面積相同,為什么?二維sinc函數(shù):

sinc(x)sinc(y)sin2(px)(px)2附:sinc2函數(shù)sinc2(x)=[sinc(x)]2§1-1常用函數(shù)(續(xù))

六、高斯函數(shù)GaussianFunctionGaus(x)=exp(-px2)Gaus(0)=1S=1是非常平滑的函數(shù),即各階導數(shù)均連續(xù).Gaus(x)0x二維情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp[-p(x2+y2)]可代表單模激光束的光強分布§1-1常用函數(shù)(續(xù))

七、圓域函數(shù)CircularFunction定義:circ(r)=circ函數(shù)是不可分離變量的二元函數(shù)描述無窮大不透明屏上半徑為1的圓孔的透過率1xy0a0§1-1常用函數(shù)(續(xù))

八、復指數(shù)函數(shù)ComplexexponentialfunctionAexp(jq)=Acosq

+jAsinqA0qq：振子的位相角對于簡諧振動，q=2pnt推廣到二維：Aexp[j

2p(fxx+fyy)]w=2pn注意以上定義的函數(shù),其宗量均無量綱.在處理實際問題時,要根據(jù)所取的單位采用適當?shù)目s放因子.

例:以rect(x)代表單縫.若x單位為cm,則rect(x)代表寬度為1cm的單縫.若x單位為mm,則rect(x/10)代表寬度為1cm的單縫.課堂練習0-1.已知函數(shù)

U(x)=Aexp(j2pf0x)

求下列函數(shù)，并作出函數(shù)的圖形

(1)|U(x)|2

(2)U(x)+U*(x) (3)|U(x)+U*(x)|20-2.已知函數(shù)f(x)=rect(x+2)+rect(x-2)

求下列函數(shù)，并作出函數(shù)的圖形. (1)f(x-1) (2)f(x)sgn(x)課堂練習0-3.畫出下列函數(shù)的圖形

(1) (2) (3) (4)§1-2脈沖函數(shù)d-Function

一、定義fn(x)可以是Nrect(Nx),Nsinc(Nx),NGaus(Nx),二維圓域函數(shù)等等.

物理系統(tǒng)已無法分辨更窄的函數(shù)定義1.定義2.基于函數(shù)系列的極限:練習:畫出rect(x),10rect(10x),sinc(x),10sinc(10x)的示意圖.可描述:單位質(zhì)量質(zhì)點的密度,單位電量點電荷的電荷密度,單位光通量點光源的發(fā)光度,單位能量無限窄電脈沖的瞬時功率等等.§1-2脈沖函數(shù)d-Function

定義0xd(x)110xd(x,y)yd-函數(shù)的圖示:定義3:設任意函數(shù)f(x)在x=0點連續(xù),在有限區(qū)間外為零,則

f(x)稱為檢驗函數(shù).§1-2d-函數(shù)

二、性質(zhì)1.篩選性質(zhì)sifting(由定義3直接可證)

設f(x)在x0點連續(xù),則推論:d(x)是偶函數(shù)2.縮放性質(zhì)scaling注意與普通函數(shù)縮放性質(zhì)的區(qū)別.通過此積分,可從f(x)中篩選出單一的f(x0)值.3.乘積性質(zhì)

設f(x)在x0點連續(xù),則:f(x)d(x-x0)=f(x0)d(x-x0)

任意函數(shù)與d-函數(shù)的乘積,是幅度變化了的d-函數(shù)§1-2d-函數(shù)

d-函數(shù)的陣列--梳狀函數(shù)comb(x)表示沿x軸分布、間隔為1的無窮多脈沖的系列.例如不考慮縫寬度和總尺寸的線光柵.間隔為t的脈沖系列:定義:

n為整數(shù)§1-2d-函數(shù)

三、d-函數(shù)的陣列--梳狀函數(shù)comb(x)梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積:f(x)0x=x0xcomb(x).0利用comb(x)可以對函數(shù)f(x)進行等間距抽樣.xy二維梳狀函數(shù):comb(x,y)=comb(x)comb(y)P401.7畫函數(shù)圖形(1)(2)§1-3卷積convolution

二、定義若f(x)與h(x)有界且可積,定義*:卷積符號

g(x)是f(x)與h(x)兩個函數(shù)共同作用的結(jié)果.對于給定的x,第一個函數(shù)的貢獻是f(x),則第二個函數(shù)的貢獻是h(x-x).需要對任何可能的x求和.g(x)稱為函數(shù)f(x)與h(x)的卷積.二維函數(shù)的卷積:§1-3卷積convolution

三、計算方法--幾何作圖法練習:計算rect(x)*rect(x)

-101

g(x)

x

11.用啞元t畫出二個rect(t)2.將rect(t)折疊后不變;3.將一個rect(-t)移位至給定的x,

rect[-(t-x)]=rect(t-x);4.二者相乘;乘積曲線下面積的值即為g(x).rect(t)1t

-1/20

1/2|x|>1;g(x)=0-1<x<0;g(x)=1[x+1/2-(-1/2)]=1+x0

<x<1;g(x)=1[1/2-(x-1/2)]=1-xrect(t)1t

-1/20

1/2

x-1/2x

x+1/2rect(t)1t

-1/20

1/2卷積通常具有(1)加寬(2)平滑的作用例:P40,1.8探測器輸出的光強度分布:axf(x)1/f0x計算這個卷積:§1-3卷積convolution

四、性質(zhì)1.卷積滿足交換律CommutativeProperty

f(x)*h(x)=h(x)*

f(x)

推論:卷積是線性運算Linearity

[av(x)+bw(x)]*h(x)=a[v(x)*

h(x)]+b[w(x)*

f(x)]2.卷積滿足分配律DistributiveProperty [v(x)+w(x)]*h(x)=v(x)*

h(x)+w(x)*

f(x)3.卷積滿足結(jié)合律AssociativeProperty

[v(x)*

w(x)]*h(x)=[v(x)*h(x)]*w(x)=v(x)*[w(x)*

h(x)]§1-3卷積convolution

四、性質(zhì)(續(xù))4.卷積的位移不變性Shiftinvariance

若f(x)*h(x)=g(x),則

f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)

或 f(x)*h(x-x0)=g(x-x0)5.卷積的縮放性質(zhì)Scaling

若f(x)*h(x)=g(x),則 §1-3卷積convolution

五、包含脈沖函數(shù)的卷積即任意函數(shù)與d(x)卷積后不變根據(jù)1.d-函數(shù)是偶函數(shù),2.d-函數(shù)的篩選性質(zhì),有:任意函數(shù)與脈沖函數(shù)卷積的結(jié)果,是將該函數(shù)平移到脈沖所在的位置.

f(x)*d(x-x0)=f(x-x0)

f(x)與脈沖陣列的卷積可在每個脈沖位置產(chǎn)生f(x)的函數(shù)波形,用于描述各種重復性的結(jié)構(gòu).=*bbaaa利用卷積的位移不變性可得:練習:P411.11(透過率=輸出/輸入)*=ldxyt(x,y)[d(x+d/2)

+d(x-d/2)]=*p位相板:輸出=輸入exp(jp

),即:透過率=exp(jp

)=-1[d(x+d/2

-d(x-d/2)]t(x,y)=*若右邊園孔上加p位相板,則x0dlxyy利用卷積性質(zhì)求卷積的例子P411.12若要求寫出解析運算式:f(x)=?+?寫成tri(x)的平移式h(x)=?+?寫成d(x)的平移式利用卷積的線性性質(zhì)利用d函數(shù)的卷積性質(zhì)利用卷積的平移性質(zhì)*=+=f(x)xAa-a0h(x)ka-ax000-a-2a

2aa0

-2a

2ax2Ak§1-4相關(guān)correlation

信息處理中的重要運算

一、互相關(guān)crosscorrelation考慮兩個復函數(shù)f(x)與g(x),定義：作變量替換x-x=x’,則(2)(1)和(2)兩個定義式是完全等價的.為函數(shù)f(x)與g(x)的互相關(guān)函數(shù).(1)互相關(guān)是兩個函數(shù)間存在相似性的量度.§1-4相關(guān)correlation

一、互相關(guān)crosscorrelation(續(xù))

與卷積的關(guān)系由(1)式易見：(3)

1.當且僅當g*(-x)=g(x)[g(x)是厄米的],相關(guān)才和卷積相同.一般情況下,相關(guān)運算與卷積運算的區(qū)別: g(x)要取復共軛 運算時g(x)不需折疊rfg(x)=rgf*(-x)(4)由(3)式直接推論得:2.互相關(guān)不滿足交換律rfg(x)=f(x)★g(x)≠g(x)★f(x)=rgf

(x)相關(guān)計算要嚴格注意兩個函數(shù)的順序,以及哪個函數(shù)取復共軛.§1-4相關(guān)correlation

二、自相關(guān)auto-correlation

或:由(4)式立即可得:rff(x)=rff*(-x)復函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是厄米函數(shù)(實部為偶函數(shù),虛部為奇函數(shù))實函數(shù)的自相關(guān)為實偶函數(shù)當f(x)=g(x)時,互相關(guān)變?yōu)閺秃瘮?shù)f(x)的自相關(guān),定義為§1-4相關(guān)correlation

二、自相關(guān)auto-correlation重要性質(zhì)由(3)式:若f(x)是實偶函數(shù),

則:rff(x)=f(x)*

f(x),其自相關(guān)就是自卷積對于非零復函數(shù)f(x),rff(0)>0為實值|rff(x)|<

rff(0)證明:閱讀書上P18§1-6傅里葉級數(shù)

一、三角傅里葉級數(shù)滿足狄氏條件的函數(shù)g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展為三角傅里葉級數(shù):展開系數(shù)零頻分量,基頻,諧頻,頻譜等概念，奇、偶函數(shù)的三角級數(shù)展開P25例1：周期為t=1/f0的矩形波函數(shù)取A=1，f0=1§1-6傅里葉級數(shù)

指數(shù)傅里葉級數(shù)滿足狄氏條件的函數(shù)g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展為指數(shù)傅里葉級數(shù):展開系數(shù)零頻分量,基頻,諧頻,頻譜等概念指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)是同一種級數(shù)的兩種表示方式，一種系數(shù)可由另一種系數(shù)導出?！?-6傅里葉級數(shù)

指數(shù)傅里葉級數(shù)P25

例1:矩形波的頻譜

幅值為A,

寬度為t/2,周期為t

的矩形波:零頻分量,基頻,諧頻,頻譜n(f0)A/2320cn1練習:P40:1.7 P41:1.12,1.13P42 1.17,1.18(1)§1-7傅里葉變換FourierTransform

一、定義函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上滿足狄氏條件(絕對可積,有有限個間斷點和極值點,沒有無窮大間斷點),定義函數(shù)為函數(shù)g(x)的傅里葉變換,記作: G(f)=

{g(x)}=F.T.[g(x)],由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過程稱為傅里葉逆變換:記作: g(x)=

-1{G(f)}.顯然-1{g(x)}=g(x)F.T.F.T.-1綜合可寫:

g(x)G(f)g(x):原函數(shù),

G(f):像函數(shù)或頻譜函數(shù)§1-7傅里葉變換FourierTransform

一、定義x和f稱為一對共軛變量,g(x)和G(f)稱為傅里葉變換對描述了各頻率分量的相對幅值和相移.G(f)一般是復函數(shù),G(f)=A(f)ejf

(f)振幅譜位相譜推廣到二維情形:§1-7傅里葉變換FourierTransform

二、廣義F.T.對于某些不符合狄氏條件的函數(shù),求F.T.的方法.例:g(x,y)=1,在(-,+)不可積某個可變換函數(shù)組成的系列不符合狄氏條件的函數(shù),其變換式的極限原來函數(shù)的廣義F.T.可定義:g(x,y)=lim

rect(x/t)rect(y/t)

t

則{g(x,y)}=lim{rect(x/t)rect(y/t)}

t

{1}=d(fx,fy){rect(x/t)}=tsinc(tf)§1-7傅里葉變換FourierTransform

共軛函數(shù)的

F.T.

若g(x)G(f),g*(x)?F.T.F.T.相似性:{g(x)}=g(-x)以上性質(zhì)可以用來求函數(shù)的F.T.

{d(fx,fy)}=1§1-7傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理--F.T.的基本性質(zhì)1.線性定理Linearity

設g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.2.空間縮放Scaling{ag(x,y)+b

h(x,y)}=aG(fx,fy)+b

H(fx,fy)F.T.是線性變換§1-7傅里葉變換FourierTransform

空間縮放注意空域坐標(x,y)的擴展(a,b<1),導致頻域中坐標(fx,fy)的壓縮及頻譜幅度的變化.反之亦然.g(x)x01/2-1/21g(ax)a=2x01/4-1/41fG(f)01-11f02-21/2空域壓縮F.T.F.T.頻域擴展§1-7傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理3.平移定理Shifting

設g(x,y)G(fx,fy),F.T.{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-

fa,fy-fb)推論:由{1}=d(fx,fy){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-

fa,fy-fb)復指函數(shù)的F.T.是移位的d函數(shù){g(x-a,y-b)}=

G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb)]{d(x-a,y-b)}=

exp[-j2p(fxa+fyb)]§1-7傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理4.帕色伐(Parsval)定理|G(f)|2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率)

設g(x,y)G(fx,fy),F.T.Parsval定理說明,信號的能量由其頻譜曲線下面積給出.或者說等于各頻率分量的能量之和—能量守恒§1-7傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理5.卷積定理空域中兩個函數(shù)的卷積,其F.T.是各自F.T.的乘積.{g(x,y)*

h(x,y)}=

G(fx,fy).

H(fx,fy)

設g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.{g(x,y).

h(x,y)}=

G(fx,fy)*

H(fx,fy)空域中兩個函數(shù)的乘積,其F.T.是各自F.T.的卷積.將時、空域的卷積運算，化為頻域的乘積運算，特別有用.亦可用于求復雜函數(shù)的F.T.§1-7傅里葉變換FourierTransform

利用卷積定理的例子2.{tri(x)}={rect(x)*rect(x)}={rect(x)}?{rect(x)}=sinc(f)?sinc(f)=sinc2(f)rect(x)x01/2-1/21rect(x)x01/2-1/21*tri(x)x01-11xsinc2(x)01-11F.T.fsinc(f)01-11F.T.fsinc(f)01-11F.T.

{tri(x)}=sinc2(f)§1-7傅里葉變換FourierTransform

練習:P43,1.25(1)§1-7傅里葉變換FourierTransform

練習:P43,1.25(1)畫圖說明2.Acos(2pf0x)x0A*F.T.F.T.F.T.cos(2pf0x)x01Acos2(2pf0x)xf0-f0f0f0-f0f0f0§1-7傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理6.自相關(guān)定理自相關(guān)與功率譜的關(guān)系:證明提示:

利用卷積定理、相關(guān)定義和共軛函數(shù)的F.T.

設g(x,y)G(fx,fy),F.T.反過來有:{g(x,y)★

g(x,y)}=|G(fx,fy)|2{|g(x,y)|2}=

G(fx,fy)★G(fx,fy)7.F.T.積分定理在函數(shù)g的各連續(xù)點上,-1{g(x,y)}=-1

{g(x,y)}=g(x,y)§1-7傅里葉變換FourierTransform

例:P43,1.28(1)利用相似性求傅里葉逆變換:相似性:{g(x)}=g(-x)h(x)H(f)h(-x)F.T.F.T.-1畫圖§1-7傅里葉變換FourierTransform

五、可分離變量