應用數(shù)理統(tǒng)計-假設(shè)檢驗

第三章

假設(shè)檢驗

上章介紹的點估計理論，是利用樣本構(gòu)造適當?shù)慕y(tǒng)計量對總體的未知參數(shù)進行估計。

在實際應用中，有另一類問題是對總體參數(shù)或總體分布提出一個命題，然后根據(jù)樣本對該命題的真假性作出判斷。如判斷有關(guān)早稻的平均畝產(chǎn)量的某一命題是否為真；如判斷某種產(chǎn)品的次品率是否符合要求；再如判斷某種建筑材料的抗斷強度指標Y是否服從正態(tài)分布等。

例4.1生產(chǎn)流水線上的袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布，按規(guī)定袋裝糖果的重量的均值應為0.5(千克)。一批袋裝糖果出廠前進行抽樣檢查，抽查了5袋，質(zhì)量分別為：0.497，0.506，0.518，0.498，0.511。問這一批袋裝糖果是否合格？

可該例關(guān)心的問題歸結(jié)為一個理論問題：總體分布N(,2)，參數(shù)未知。要根據(jù)抽得的樣本值對命題∶袋裝糖果是否合格，即=

0=0.5，記作H0，作出“是”或“否”的判斷。

H0稱為一個統(tǒng)計假設(shè)，具體的判斷規(guī)則稱為該假設(shè)的一個檢驗。

例4.2.

某廠有一大批產(chǎn)品，按規(guī)定次品率不得超過3%才能出廠，今從中隨機地抽取50件。發(fā)現(xiàn)有4件次品。問這批產(chǎn)品能否出廠？

本例關(guān)心的問題是：如何根據(jù)抽樣所得的次品頻率fA/n=4/50,來推斷整批產(chǎn)品的次品率是否超過了3%。即要檢驗假設(shè)H0:次品率p3%，是否成立。

例4.3.在一實驗中，每隔一定時間間隔觀察一次計數(shù)器上記錄的某種鈾放射出的粒子的個數(shù)X，獨立觀察100次的數(shù)據(jù)如下：

i0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11fi1，5，16，17，26，11，9，9，2，1，2，1其中fi

是觀察到有i個粒子的個數(shù)。試問X是否服從泊松分布。

該例題要檢驗的假設(shè)H0是：總體X服從“泊松分布”是否成立？

假設(shè)檢驗可分為兩種：如例4.1例4.2是關(guān)于參數(shù)的假設(shè)檢驗,即是總體分布的類型已知，但含有有限個未知參數(shù)，這樣關(guān)于總體分布的假設(shè)檢驗問題就可轉(zhuǎn)化為關(guān)于分布中未知參數(shù)的假設(shè)檢驗了。另一種是非參數(shù)假設(shè)檢驗。即是關(guān)于總體分布的假設(shè)檢驗不能轉(zhuǎn)化成分布中未知參數(shù)的假設(shè)檢驗。如例4.3是非參數(shù)假設(shè)檢驗是有關(guān)總體分布的假設(shè)檢驗。一.假設(shè)檢驗的基本思想方法

1.假設(shè)檢驗推理的理論根據(jù)是：“實際統(tǒng)計推斷原理”（小概率原理）-----即認為概率很小的事件在一次實驗中幾乎（一般）是不會發(fā)生的。在概率論中介紹了伯努利大數(shù)定律，即對任意>0，

該定律說明當獨立重復試驗次數(shù)n充分大時，某事件A發(fā)生的頻率fA

/n與事件A發(fā)生的概率p非常接近。p很小，如p=0.01，大約100次試驗A可能發(fā)生一次，顯然一次試驗n=1中，A發(fā)生的可能性幾乎是0。

小概率原理是在長期大量實踐中總結(jié)出來的原理，是人們在實踐中廣泛采用的一個原理，也叫實際統(tǒng)計推斷原理。

概率小到什么程度才叫小概率事件呢？在假設(shè)檢驗中，一般把概率不超過0.10，0.05，0.025，0.005或0.001等的事件，稱為小概率事件。

2.假設(shè)檢驗的基本思想方法是基于具有概率性質(zhì)的反證法。類似于純粹數(shù)學中的反證法，我們可先假定要檢驗的假設(shè)H0正確，并在此前提下，構(gòu)造一個適當?shù)男「怕适录?。根?jù)實際推斷原理，概率很小的事件在一次試驗中一般是不發(fā)生的。因此，在H0正確的基礎(chǔ)上，如果得到的數(shù)據(jù)表明這個小概率事件發(fā)生了，它與小概率原理相矛盾，說明H0正確的假定很可能是錯誤的，應拒絕該假設(shè)；如果沒有發(fā)生，則無法拒絕H0，此時，一般是接受該假設(shè)，也可根據(jù)問題作進一步研究。

例4.4：設(shè)有一大批產(chǎn)品，要檢驗這批產(chǎn)品的次品率p是否是0.1？從這批產(chǎn)品中隨機地取出5件產(chǎn)品檢查，有4件次品，1件正品，依此樣本如何判斷p是否是0.1.

解：先做假設(shè),記

H0:p=0.1。在H0為真的條件下計算P(5件產(chǎn)品中有4件次品1件正品)

但是事件A發(fā)生了，這與“小概率原理”矛盾。在H0為真的條件下上述計算是正確的，所以矛盾的產(chǎn)生認為是由H0造成的，故應否定，認為p0.1。

由上述討論看出：為了檢驗H0是否成立，先假定H0

成立，再由抽樣所提供的信息，看是否有不合理的事情發(fā)生。如果在H0

為真的條件下，計算都是正確的，但小概率事件發(fā)生了，產(chǎn)生了不合理現(xiàn)象，這說明假設(shè)不正確，這時要拒絕H0

或否定H0

。如果小概率事件沒有發(fā)生，沒有產(chǎn)生不合理的現(xiàn)象，就沒有充分的理由否定H0

，就不能拒絕H0

，這時稱H0

相容，可以認為H0

成立。這就是假設(shè)檢驗的基本思想。

下面先通過一個例子來說明假設(shè)檢驗以及如何進行假設(shè)檢驗

例4.5

某餐廳每天的營業(yè)額服從正態(tài)分布，按照以往的老菜單營業(yè)，營業(yè)額的均值為8000，標準差為640。目前，該餐廳試用一新菜單。經(jīng)過九天的運營，發(fā)現(xiàn)平均每天的營業(yè)額為8300，經(jīng)理想知道這個差別是否是由于新菜單而引起的。（假定按照新菜單營業(yè)，營業(yè)額的標準依然差為640）。假設(shè)按照新菜單營業(yè)，營業(yè)額X~N(,

2),

2=6402X1,…,X9為九天的營業(yè)額，即來自總體X的樣本假設(shè)檢驗的做法分以下幾步來敘述（1）建立假設(shè)——即提出一個關(guān)于總體X分布的命題如：按照新老菜單運營，平均營業(yè)額沒有差別——記該命題為H0：=8000稱其為原假設(shè)當我們能確認H0為假時，這時我們面臨如下三個命題的選擇按照新菜單運營的平均營業(yè)額比按照老菜單運營的平均營業(yè)額高:>8000

按照新菜單運營的平均營業(yè)額比按照老菜單運營的平均營業(yè)額低:<8000

按照新老菜單運營的平均營業(yè)額有顯著差別:8000

我們從中選擇一個命題作為拋棄H0后可供選擇的命題，記為H1

，如：H1：

8000，稱其為備擇假設(shè)在該例中，我們采用如下兩個命題H0：=0=8000

——原假設(shè)H1：0=8000

——備擇假設(shè)（2）

我們的做法是：先假定H0為成立，然后用樣本(X1,…,Xn)去判斷其真?zhèn)巍?/p>

由于樣本(X1,…,Xn)所含信息較分散，因此需要構(gòu)造一個統(tǒng)計量T(X1,…,Xn)來做判斷，稱該統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量?！僭O(shè)檢驗的任務(wù)是判斷H0是否為真。

尋找檢驗統(tǒng)計量T(X1,…,Xn)

在本例中，我們用樣本均值作為檢驗統(tǒng)計量。

檢驗法則:當T(x1,…,xn)

C時拒絕H0，否則接受H0令W={(x1,…,xn):T(x1,…,xn)

C}，稱其為檢驗的拒絕域，它的邊界點稱為檢驗的臨界點令A={(x1,…,xn):T(x1,…,xn)

C}，稱其為檢驗的接受域

在本例中，當假定H0

為真時，即H0:=8000時，的觀測值應該圍繞在8000附近。如果遠離8000，那么就有理由懷疑H0不真。如今8300離8000算近還是算遠？或者，與8000差別多遠，才能拒絕H0

？這就需要一個界限，記為c：

在本例中，當假定H0

為真時，即H0:=8000時，的觀測值應該圍繞在8000附近。如果遠離8000，那么就有理由懷疑H0不真。如今8300離8000算近還是算遠？或者，離8000差別多遠，才能拒絕H0

？這就需要一個界限，記為c：當|8000|c時，拒絕

H0

；當|8000|<c時，接受

H0

；

這里c

是檢驗的臨界值，拒絕域為W={(x1,…,xn):|8000|c},接受域為

A={(x1,…,xn):|8000|<c}

在假設(shè)檢驗中，人們總是關(guān)心拒絕域，這是因為如今我們手中只有一個樣本，用一個樣本去證明一個命題是正確的，在邏輯上是不充分的；但用一個反例（如樣本）去推翻一個命題，理由是充足的。當不能否定原假設(shè)H0時，只能將原假設(shè)H0當作為真保留下來。（3）顯著水平與臨界值

由于是依據(jù)一個樣本對H0真假與否作出判斷的，當實際

H0為真時仍有可能作出拒絕H0的判斷，這是一種錯誤。我們無法排除犯這類錯誤的可能性，因此自然希望將犯這類錯誤的概率控制在一定的限度內(nèi)，即給出一個較小的數(shù)（0<<1），使P(拒絕H0|

H0為真

)稱為檢驗的顯著水平根據(jù)上式確定檢驗的臨界點在本例中，要使P(拒絕H0|

H0為真

)=我們看其中的含義：這里“H0：=0=8000”為真，即指樣本X1,…,X9

實際來自總體N(8000,6402),此時根據(jù)檢驗法則:P(拒絕H0|

H0為真)本例檢驗法則：當|8000|c時，拒絕

H0

“H0：=0=8000”為真，由分位數(shù)的定義，有:P(拒絕H0|

H0為真)即于是本例的拒絕域為由于若取=0.05，則在H0為真時，事件

為小概率事件。通常在一次試驗中，小概率事件是難以發(fā)生的。倘若該小概率事件在一次試驗中發(fā)生了，人們就有理由懷疑不是一個小概率事件。這一矛盾導致人們不相信原假設(shè)H0為真，從而否定原假設(shè)。于是本例的檢驗法則為：------當|8000|(640/3)u1-/2

時，拒絕

H0

；------當|8000|<(640/3)u1-/2

時，接受

H0

；具體地，計算9天的平均營業(yè)額，查表，u1-0.05/2=u0.975=1.96。由于所以接受H0，認為新菜單對平均每天的營業(yè)額沒有顯著影響。假設(shè)檢驗中的基本概念（1）假設(shè)：關(guān)于總體分布的某個命題（2）原假設(shè)：把需要檢驗的假設(shè)稱為原假設(shè)，記為H0（3）備擇假設(shè)：在拒絕原假設(shè)后，可供選擇的一個命題稱為備擇假設(shè)，它可以是原假設(shè)對立面的全體，或其中的一部分，記為H1（4）檢驗統(tǒng)計量：用于判斷原假設(shè)成立與否的統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量。（5）拒絕域：使原假設(shè)H0被拒絕的樣本觀測值所組成的區(qū)域稱為檢驗的拒絕域

接受域：保留原假設(shè)H0的樣本觀測值所組成的區(qū)域稱為檢驗的接受域（6）顯著水平：控制P(拒絕H0|

H0為真

)中的

稱為檢驗的顯著水平

兩類錯誤

第一類錯誤：原假設(shè)H0為真，但由于樣本的隨機性，使樣本觀測值落入拒絕域，從而作出拒絕H0的結(jié)論，這類錯誤稱第一類錯誤，它發(fā)生的概率稱為犯第一類錯誤的概率，也稱為“拒真概率”?！淮笥陲@著水平P(拒絕H0|

H0為真

)=P{T(x1,…,xn)

C|

H0為真}=P{(x1,…,xn)

W|

H0為真}

第二類錯誤：原假設(shè)H0為假，但由于樣本的隨機性，使樣本觀測值落入接受域，從而作出保留H0的結(jié)論，這類錯誤稱第二類錯誤，它發(fā)生的概率稱為犯第二類錯誤的概率，也稱為“取偽概率”。P(接受H0|

H0為假

)=P{接受H0

|

H1為真}

在一般情形，當樣本容量固定時，減小一類錯誤概率會導致另一類錯誤概率的增加.

要同時降低兩類錯誤的概率，或者要在第一類的錯誤概率不變的條件下降低第二類的錯誤概率，需要增加樣本容量.

一般來說，我們總是控制犯第一類錯誤的概率，使它不大于。再在這一限制下使第二類的錯誤發(fā)生的概率盡可能地小

——控制第一類錯誤的原則

二、正態(tài)總體均值參數(shù)的假設(shè)檢驗

設(shè)總體X~，X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本1.2已知，關(guān)于均值的假設(shè)檢驗從的點估計出發(fā)構(gòu)造拒絕域拒絕域為控制第一類錯誤，即此時需要尋找的一個與未知參數(shù)無關(guān)的一個單調(diào)函數(shù)，當H0成立時,其分布是已知的。因為,當H0成立時,X1,…,Xn~N(0，2)，此時有~N(0,1)按照控制第一類錯誤的原則，有~N(0,1)由此u1-/2-u1-/2拒絕域為查表u1-/2,計算若其大于u1-/2，拒絕原假設(shè)。否則，接受原假設(shè)。

例4.6

某雞場用某種飼料飼養(yǎng)肉雞3個月，平均體重2.6kg，標準差為0.5kg?，F(xiàn)改為復合飼料飼養(yǎng)肉雞64只，3個月平均體重2.5kg。若假設(shè)用復合飼料飼養(yǎng)3個月后肉雞體重服從正態(tài)分布N(,0.52).問是否可以認為復合飼料同樣利于肉雞生長？(=0.05）H0：

=0=2.6解：H1：≠0=2.6H0成立時~N(0,1)H0成立時~N(0,1)H0：

=0=2.6

H1：≠0=2.6拒絕域為查表得u0.975=1.96,計算得接受原假設(shè)，認為復合飼料與原飼料對肉雞生長無顯著差異。

前面的檢驗，拒絕域取在兩側(cè)，稱為雙邊檢驗.下面看關(guān)于均值（2已知）的單邊檢驗.(2)（2已知）利用統(tǒng)計量構(gòu)造拒絕域控制第一類錯誤，我們看H0成立時，相關(guān)事件的概率當H0成立時，X1,…,Xn~N(，2)，且控制第一類錯誤，我們看H0成立時，相關(guān)事件的概率當H0成立時，由于當H0成立時，所以要求當H0成立時，故而要使只要要求拒絕域為所以，假設(shè)H0的拒絕域為(3)（2已知）利用統(tǒng)計量構(gòu)造拒絕域控制第一類錯誤，我們看H0成立時，相關(guān)事件的概率當H0成立時，X1,…,Xn~N(，2)，且控制第一類錯誤，我們看H0成立時，相關(guān)事件的概率當H0成立時，由于當H0成立時，所以要求當H0成立時，故而要使只要要求拒絕域為所以，假設(shè)H0的拒絕域為2.關(guān)于均值的假設(shè)檢驗，2未知利用統(tǒng)計量構(gòu)造拒絕域控制第一類錯誤，即2已知時，檢驗統(tǒng)計量(1)

拒絕域為因為當H0成立時,X1,…,Xn~N(0，2)，所以控制第一類錯誤，~t(n-1)由此要求所以拒絕域為查表t/2(n-1),計算若其大于t1-/2(n-1)

，拒絕原假設(shè)。否則，接受原假設(shè)例4.7

某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標準要求長度是32.5毫米.實際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度X假定服從正態(tài)分布N(,2)

，2未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產(chǎn)品是否合格?解：當H0成立時,X1,…,X6~N(0，2)，因此當H0成立時,X1,…,X6~N(0，2)，拒絕域為對給定的顯著性水平=0.01，查表確定臨界值將樣本值代入算出故不能拒絕H0.下面看關(guān)于均值（2未知）的單邊檢驗.(2)（2未知）利用統(tǒng)計量構(gòu)造拒絕域控制第一類錯誤，我們看H0成立時，相關(guān)事件的概率當H0成立時，X1,…,Xn~N(，2)，且控制第一類錯誤，我們看H0成立時，相關(guān)事件的概率當H0成立時，由于當H0成立時，所以要求當H0成立時，故而要使只要要求拒絕域為所以，假設(shè)H0的拒絕域為例4.8

按規(guī)定，某種織物強力指標X的均值應大于21公斤.今從一批該種織物中取30件，經(jīng)測量和計算得

=21.55公斤.=1.1812

。假設(shè)強力指標服從正態(tài)分布N(,2).問在顯著性水平

=0.01下，該批種織物是否符合要求?解:

拒絕域為當H0成立時，查表得，t0.99(29)=2.462,由樣本值計算故拒絕原假設(shè)H0.落入否定域(3)（2未知）利用統(tǒng)計量構(gòu)造拒絕域控制第一類錯誤，我們看H0成立時，相關(guān)事件的概率當H0成立時，X1,…,Xn~N(，2)，且控制第一類錯誤，我們看H0成立時，相關(guān)事件的概率當H0成立時，由于當H0成立時，所以要求當H0成立時，故而要使只要要求拒絕域為所以，假設(shè)H0的拒絕域為二.檢驗的p-值

一個假設(shè)檢驗問題的結(jié)論是簡單的，在給定的顯著性水平下，不是拒絕原假設(shè)H0，就是保留原假設(shè)H0。然而有可能發(fā)生如下情況：在顯著性水平

=0.05下拒絕原假設(shè)H0，可是在顯著性水平

=0.01下保留原假沒。因為降低顯著性水平

會導致拒絕域縮小，這樣原來落在=0.05的拒絕域中的檢驗統(tǒng)計量的觀測值就有可能落在=0.01的接受域中，假如這時一個人主張選顯著性水平=0.05，而另一個人主張選=0.01，那么前一個人的結(jié)論是拒絕H0，而后一個人的結(jié)論是保留H0，兩個人的結(jié)論就完全相反。我們該如何對待這一問題呢?

例4.9.一支香煙中的尼古丁含量X服從正態(tài)分布N(,1)，合格標準規(guī)定

不能超過1.5mg。為對一批香煙的尼古丁含量是否合格作判斷，則可建立如下假設(shè)H0：0=1.5，H1：>0=1.5這是在方差已知情況下對正態(tài)分布的均值作單邊檢驗，所用的檢驗統(tǒng)計量為拒絕域是現(xiàn)隨機抽取一盒(20支)香煙，測得平均每支香煙的尼古丁含量為

下表對四個不同的顯著性水平分別列出相應的拒絕域和所下的結(jié)論：，則可求得檢驗統(tǒng)計量的值為

表4.1例3.10下不同的

的拒絕域與結(jié)論顯著水平拒絕域u=2.10時的結(jié)論0.050.0250.010.005{u>1.645}{u>1.96}{u>2.33}{u>2.58}拒絕H0拒絕H0接受H0接受H0

從上表可看出，當相對大一些時，U的臨界值就小，從而2.10超過了臨界值，故應拒絕H0；而當減小時，臨界值便增大，2.10就可能不超過了臨界值，這時便接受H0。

現(xiàn)在，我們換一個角度來看這一問題。用

=0=1.5時檢驗統(tǒng)計量U的分布

N(0,1)可求得這一概率便是圖4.2(a)中標準正態(tài)分布右邊尾部陰影區(qū)域的面積，當選定的顯著水平>0.0179時，陰影區(qū)域擴大（見圖4.2(b)），臨界值向左移，從而2.10落入拒絕域；若<0.0179，則陰影區(qū)域縮小(見圖4.2(c)，臨界值向右移，從而2.10落在接受域中。

從這里可以看出，0.0179是這個問題中拒絕H0的最小的顯著性水平，比它稍大一點便會導致保留H0，這種“拒絕H0的最小的顯著性水平”就稱為p值。在一個檢驗問題中附帶給出p值對人們作決策是有好處的

定義4.1

在一個假設(shè)檢驗問題中，拒絕假設(shè)H0的最小顯著性水平稱為p值。p值也可看作是樣本與原假設(shè)H0相容程度的度量.p值越大,相容程度越高；反之，p值越小,相容程度越低。p值小到一定程度則認為二者不相容了，即應拒絕H0。當p值小于時認為二者不相容，這時拒絕H0，由此引起錯誤的概率不超過。仍來看一下例4.9,如果指定顯著性水平為，則拒絕域為{u>u1}，現(xiàn)在由樣本求得u=2.10。在

=0=1.5下，P{u>2.10}=0.0179=p，如果此時=P{U>u1}P{U>u}=p，則uu1，從而u落在拒絕域中，故結(jié)論是水平下拒絕；如果=P{U>u1}<P{U>u}=p，則u<u1，即u未落在拒絕域中，故在水平下應保留H0(見圖4.3)。對任意指定的顯著性水平，在與p值比較后可以得到如下結(jié)論：

結(jié)論一：如果

p值，則在顯著性水平

下拒絕H0

結(jié)論二：如果

<p值，則在顯著性水平

下保留H0三.假設(shè)檢驗的計算機命令（1）關(guān)于U檢驗命令：ztest函數(shù)；功能：給定方差條件下進行正態(tài)總體均值的檢驗；語法：h=ztest(x,mu,sigm),

h=ztest(x,mu,sigm,alpha),[h,sig,ci]=ztest(x,mu,sigm,alpha,tail)。h=1,拒絕原假設(shè)，h=0,接收原假設(shè)；描述：ztest(x,mu,sigm)在0.05水平下進行U

檢驗，以確定服從正態(tài)分布的樣本均值是否為mu，sigm為給定的標準差；h=ztest(x,mu,sigm,alpha)，描述類似前者，并且給出顯著水平alpha；[h,sig,ci]=ztest(x,mu,sigm,alpha,tail)指定單側(cè)檢驗還是雙側(cè)檢驗。tail=0（為默認設(shè)置）指定備擇假設(shè)

0，屬雙邊檢驗；tail=1指定備擇假設(shè)

>0，屬單邊檢驗；tail=-1指定備擇假設(shè)，tail=1指定備擇假設(shè)

<0，屬單邊檢驗；sig為與U統(tǒng)計量相關(guān)的p值；ci為均值真值的1-alpha置信區(qū)間。例某批礦砂的5個樣品中的鎳含量，經(jīng)測定為（%）

3.253.273.243.263.24設(shè)測定值總體服從正態(tài)分布，標準差為0.04，問在0.01水平上能否接受假設(shè)：這批鎳含量的均值為3.25。matlab命令如下：x=[3.