第七章 能帶理論II

具有周期結(jié)構(gòu)特征晶態(tài)物質(zhì)的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)關(guān)系

（第一章晶體結(jié)構(gòu)）晶體中粒子的結(jié)合特征

（第二章晶體的結(jié)合）晶體的非理想結(jié)構(gòu)

（第三章晶體的缺陷）格波在周期結(jié)構(gòu)中的傳播

（第四章晶格振動(dòng)--晶格動(dòng)力學(xué)及熱學(xué)性質(zhì)）金屬中自由電子的特性

（第五章金屬自由電子氣理論）電子波在周期結(jié)構(gòu)中的傳播

（第六章固體電子結(jié)構(gòu)的能帶理論）

固體物理晶格理論電子理論第七章晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)姚志強(qiáng)鄭州大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院電子郵件：zqyao@聯(lián)系電話：138371970267.1電子運(yùn)動(dòng)的半（準(zhǔn)）經(jīng)典模型7.2恒定電場作用下電子的運(yùn)動(dòng)7.3恒定磁場中電子的運(yùn)動(dòng)7.4費(fèi)米面的測量7.5金屬的能帶結(jié)構(gòu)7.6能帶理論的成就與局限晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)7.1電子運(yùn)動(dòng)的半（準(zhǔn)）經(jīng)典模型一晶體中電子的平均速度在電子本征態(tài)電子速度沒有確定值，只有平均值：由布洛赫定理:量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)對應(yīng):波包粒子分布在附近的范圍內(nèi)，動(dòng)量取值為附近范圍內(nèi)，與滿足測不準(zhǔn)關(guān)系。粒子的位置--波包中心粒子的動(dòng)量--晶體中:用布洛赫波構(gòu)成波包描述電子的運(yùn)動(dòng)。即點(diǎn)附近范圍內(nèi)的布洛赫波疊加起來構(gòu)成與量子態(tài)相應(yīng)的波包，波包的群速度：利用,布洛赫電子的速度為:空間中每一點(diǎn)的速度垂直該點(diǎn)的等能面。等能面不是球形時(shí)，與

不平行。即自由電子:平均速度與

，有關(guān)，對空間和時(shí)間是常數(shù)經(jīng)典方式—晶體電子在外電場磁場運(yùn)動(dòng)規(guī)律量子力學(xué)—晶格周期場中的電子狀態(tài).二電子運(yùn)動(dòng)的半經(jīng)典模型外場中的布洛赫電子外力：單位時(shí)間內(nèi)外力所作的功等于電子能量的改變量:的變化率正比于電子所受的外力，并有相同的方向，具有牛頓第二定律的形式，但是外力。電子在外電場磁場:三加速度和有效質(zhì)量1加速度2有效質(zhì)量選擇坐標(biāo)軸于主軸方向:有效質(zhì)量是二階張量,一般電子加速度與外力方向不一定一致，因?yàn)殡娮硬粌H受外力的作用，還受到晶格周期場的作用。有效質(zhì)量與電子所處的狀態(tài)、能帶的結(jié)構(gòu)有關(guān)。能帶底：“+”；能帶頂：“–”有效質(zhì)量的意義在于它可以概括晶體內(nèi)部的作用，使電子的加速度與外力滿足簡單的關(guān)系。7.2恒定電場作用下電子的運(yùn)動(dòng)一恒定電場作用下的電子在外場作用下，由于電子狀態(tài)在空間分布是均勻的，每一狀態(tài)以同樣的速度在空間中變動(dòng)。未滿帶：部分能級為電子所填充的能帶二能帶的填充與導(dǎo)電性滿帶：所有能級全部為電子(2N個(gè))所填充的能帶對每一能帶：處于,的電子速度：大小相等，方向相反無外場:對于滿帶和未滿帶，處于,電子速度大小相等方向相反，對電流的貢獻(xiàn)相抵消，不產(chǎn)生宏觀電流。有外場時(shí)：?滿帶（不導(dǎo)電）：在外場的作用下，所有電子狀態(tài)都發(fā)生變化，以同樣的速度從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)狀態(tài)(沿軸)，由于、在空間中的周期性，電子分布情況都沒有變化，對導(dǎo)電不起作用。滿帶未滿帶?未滿帶：只有部分狀態(tài)被電子占據(jù)，電場的作用破壞了原來電子的對稱分布，最終達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的非對稱分布。沿電場方向與反方向電子數(shù)不相等，電子電流部分抵消，總電流不等于零。有電場：非對稱分布無電場：對稱分布外場作用下，不滿帶可以導(dǎo)電引入這個(gè)電子后，能帶被電子充滿成為滿帶，總電流為零，三近滿帶和空穴在能帶中有某一個(gè)狀態(tài)未被電子占據(jù)，此時(shí)能帶是未滿帶—近滿帶在電場作用下，產(chǎn)生電流如果放入一個(gè)電子填充，這個(gè)電子的電流為:當(dāng)狀態(tài)是空的時(shí)，近滿帶中的電流如同一個(gè)正電荷e所產(chǎn)生的，其運(yùn)動(dòng)速度等于處在狀態(tài)的電子運(yùn)動(dòng)的速度。這種空的狀態(tài)稱為空穴。將大量電子的集體運(yùn)動(dòng)等價(jià)地變?yōu)槊枋錾贁?shù)空穴的運(yùn)動(dòng)在電場作用下，近滿帶中所有原子的狀態(tài)都按變化，空狀態(tài)的加速度為：空狀態(tài)在能帶頂部附近產(chǎn)生。頂部為負(fù)，定義空穴的有效質(zhì)量:空穴可以看成是一個(gè)帶正電荷具有正有效質(zhì)量的粒子。四導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體實(shí)際晶體，電子從低到高逐一填充許可帶，直至價(jià)電子所填充的能帶----價(jià)帶。再高的各能帶全部是空的----空帶。價(jià)帶最高能級(價(jià)帶頂)與最近鄰空帶的帶低之間的能量范圍稱為禁帶(能隙)。半金屬—滿帶，但能隙消失或能帶交疊半導(dǎo)體—滿帶，但禁帶較窄(2eV)絕緣體—滿帶且禁帶較寬非導(dǎo)體：導(dǎo)體：價(jià)帶部分填充本節(jié)要求：給出一個(gè)具體的E(k)-k的函數(shù)關(guān)系，要學(xué)會(huì)利用邊界條件和物理量的具體物理意義進(jìn)行下列計(jì)算：(1)帶隙寬度；(2)電子運(yùn)動(dòng)速度；(3)電子在能帶底部和頂部的有效質(zhì)量。7.3恒定磁場中電子的運(yùn)動(dòng)一恒定磁場作用下電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)只有恒定均勻磁場時(shí):沿著磁場方向的分量不隨時(shí)間改變.電子的能量值不隨時(shí)間變化,電子在空間的等能面上運(yùn)動(dòng).恒定磁場中的電子沿垂直于的平面和等能面的交線運(yùn)動(dòng).1自由電子:代入基本方程:分量形式:kz保持不變,電子在kx-ky面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).角頻率:周期:自由電子的等能面為球面,與kz垂直的平面與等能面的交線就是一系列圓.自由電子沿磁場方向作勻速運(yùn)動(dòng),在垂直磁場的平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),即電子在實(shí)空間做螺旋運(yùn)動(dòng).2布洛赫電子等能面不一定為球面,軌道不一定為圓形.周期:--軌道平面上過點(diǎn)垂直軌道由ε指向ε+dε的矢量.由υ的表達(dá)式得概括了軌道性質(zhì),不單純地只與一特定的電子態(tài)相關(guān)聯(lián).用B的單位矢量叉乘基本方程，有沿垂直磁場方向,電子在實(shí)空間的軌道由在空間的軌道繞磁場軸旋轉(zhuǎn)90o,乘因子得到.沿磁場z方向:對自由電子…,對Bloch電子運(yùn)動(dòng)不一定是勻速的.二恒定磁場中自由電子的量子理論無磁場:有磁場:均勻磁場沿z軸方向，即薛定諤方程:與自由電子能量比較:施加沿z軸的磁場后,沿z軸電子仍保持自由運(yùn)動(dòng),能量為.在垂直于磁場方向,電子的運(yùn)動(dòng)是量子化的,從原來準(zhǔn)連續(xù)的能帶變?yōu)橐幌盗幸痪S子能帶——朗道能級.空間中,許可態(tài)的代表點(diǎn)簡并到朗道管上,截面稱為朗道環(huán).相鄰兩個(gè)朗道環(huán)間的面積為:每個(gè)朗道環(huán)的簡并度:7.4費(fèi)米面的測量磁致電阻、反常趨膚效應(yīng)、回旋共振、磁聲幾何效應(yīng)、舒布尼科夫—德哈斯效應(yīng)(Shubnikov-deHaaseffect)以及德哈斯—范阿爾芬效應(yīng)(deHaas-vanAlpheneffect）。一布洛赫電子的軌道量子化Onsager和Lifshitz的半經(jīng)典近似,在磁場中的軌道將按如下Bohr-Sommerfeld關(guān)系量子化:v為整數(shù),γ為相位修正因子,對自由電子,γ=1/2磁場中:根據(jù)斯托克斯定理：電子軌道在k空間所圍的面積：相鄰閉合軌道能量差與該軌道上半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)回旋頻率成正比。二德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)(deHaas-vanAlpheneffect）金屬磁化率隨磁場倒數(shù)而振蕩的現(xiàn)象振蕩現(xiàn)象與費(fèi)米能級附近的電子在強(qiáng)磁場中的行為有關(guān)；是由于在磁場中電子軌道量子化引起的，通過振蕩周期的測量可以決定費(fèi)米面的形狀。低溫下對純樣品施加強(qiáng)磁場。T=0K時(shí)，費(fèi)米能級以下狀態(tài)均被電子填滿，以上狀態(tài)全空。當(dāng)εF在第ν和ν+1個(gè)子能帶的臨界能之間時(shí)，隨磁場的增加，能帶的能量和狀態(tài)數(shù)相應(yīng)地增加，能量間隔增加，總電子數(shù)不變，電子將在各個(gè)子能帶中再分布。當(dāng)?shù)讦蛡€(gè)子能帶的臨界能隨磁場增加而上升至εF以上時(shí)，原來填充第ν個(gè)子能帶的電子全部落入第ν-1及其以下的各子能帶中，電子體系的總能量將減少。然后隨磁場的增加，總能量又上升，直到εν-1>εF…。電子的總能量將隨磁場的改變而周期性變化。設(shè)在B=B1時(shí)，第ν個(gè)子能帶的臨界能等于εF磁場增加，εν-1上升。當(dāng)B=B2時(shí),當(dāng)磁場從B1增加B2時(shí)，上一個(gè)子能帶的電子被抽空轉(zhuǎn)移到下邊的子能帶中去。總能量由極大值變到極小值，又返回到極大值，完成一個(gè)周期變化?？偰芰康淖兓芷趹?yīng)滿足：體系總能量以Δ(1/B)為周期隨1/B變化.體系的磁矩:和磁化率隨1/B周期變化.費(fèi)米面的測定：對晶體中的布洛赫電子，同樣在磁場中產(chǎn)生量子化.電子總能量、磁化率等物理量隨1/B出現(xiàn)類似振蕩現(xiàn)象.振蕩周期與垂直于磁場方向的費(fèi)米面極值截面積成反比.改變磁場方向，測出振蕩周期，可得到垂直于該方向的Ae。根據(jù)不同方向的Ae決定費(fèi)米面的形狀。三回旋共振恒定外磁場作用下，晶體中的電子作回旋運(yùn)動(dòng)，頻率：在垂直磁場方向加頻率為ω的高頻電磁場當(dāng)ω=ωc時(shí)，交變電磁場的能量為電子共振吸收從回旋共振頻率確定有效質(zhì)量。7.5金屬的能帶結(jié)構(gòu)一堿金屬Li,Na,K,Rb,Cs:一價(jià)金屬.晶體結(jié)構(gòu):體心立方.倒格子:面心立方.自由電子:費(fèi)米面為半徑kF的球面.從第一布里淵區(qū)(12面體)的中心到截面的最短距離:球形費(fèi)米面完全包含在第一布里淵區(qū).實(shí)驗(yàn)結(jié)果與上述估算一致。堿金屬的價(jià)電子行為接近自由電子。當(dāng)討論堿金屬的輸運(yùn)問題時(shí),可用金屬自由電子理論代替本章的準(zhǔn)經(jīng)典模型。Cu,Ag,Au:外殼層一個(gè)s電子,s帶和d發(fā)生交疊二貴金屬s態(tài)電子:自由電子,費(fèi)米面也包含在第一布里淵區(qū)內(nèi),但在<111>方向與八個(gè)正六邊形的界面很接近,晶體結(jié)構(gòu):面心立方倒格子:體心立方第一布里淵區(qū):截角八面體(14面體)在這些方向上球形費(fèi)米面發(fā)生畸變,如同伸出八個(gè)脖子接到布里淵區(qū)的八個(gè)六邊形上。金的德哈斯—范阿耳芬效應(yīng)，B//[110]三二價(jià)金屬Be,Mg,Zn,Cd:六方密堆結(jié)構(gòu)Ca,Sr,Ba:立方晶系。外層有2個(gè)s電子,但s帶與更高的近鄰空能帶有重疊。費(fèi)米面與球面相差較大。三過渡金屬含有未滿的d殼層,d帶較窄,狀態(tài)密度大.與s帶重疊。費(fèi)米能級落在d帶內(nèi),與簡單金屬情況差別很大,不能由自由電子的費(fèi)米面的修正得到.7.6能帶理論的成就與局限1、晶體電子的波函數(shù)具有布洛赫函數(shù)的形式.2、晶體中電子的能級分成許多組準(zhǔn)連續(xù)的能級，一組能級稱為一個(gè)能帶.兩個(gè)相鄰能帶之間存在能隙(禁帶)，電子不能取能隙(禁帶)中的能量值.3、每個(gè)能帶中包含的量子態(tài)數(shù)目等于晶體原胞數(shù)N，計(jì)及自旋，可容納2N個(gè)電子.一能帶理論的主要結(jié)論4、晶體電子從最低能帶的最低能級開始填充，被電子填滿的帶稱為滿帶，被電子部分填充的帶稱為未滿帶，沒有電子填充的稱為空帶.5、不同的能帶可以交疊，使能隙(禁帶)消失.1、解釋了導(dǎo)體，絕緣體和半導(dǎo)體的區(qū)別，為研究這些不同領(lǐng)域的廣泛固體材料的物理性能提供了一種統(tǒng)一的分析方法.2、由于空穴概念的引入，能帶理論可以解釋某些固體的霍耳系數(shù)為正的現(xiàn)象.二能帶理論的主要成就3、以能帶理論為基礎(chǔ)，可解釋光吸收，光發(fā)射，電子在外場(電場，磁場，雜質(zhì)勢場)中的各種輸運(yùn)過程或散射過程.由于能帶理論建立在單電子近似基礎(chǔ)上，忽略了電子之間及電子與晶格之間的關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用中必然存在局限性.1、不能解釋過渡金屬化合物的導(dǎo)電性.2、不能解釋某些金屬在晶格常數(shù)增大時(shí)的金屬—絕緣體轉(zhuǎn)變現(xiàn)象.三能帶理論的局限性3、不能解釋涉及電-聲互作用或電子-電子關(guān)聯(lián)的問題.如超導(dǎo)電性，固體中的各種集體激發(fā)，金屬中等離子振蕩等問題.4、不能用于非完整晶體，固體表面或非晶態(tài)體系.例