第七章-彎曲內(nèi)力

第7章彎曲內(nèi)力

7.1.1平面彎曲的概念彎曲：舉例說明：我們在家洗衣服后，總是要拿到陽光下去曬，在這種情況下，我們都是在有陽光的地方拉一根鐵絲（或繩子），在沒有鐵絲或強(qiáng)有力的情況，一般都喜歡在兩個(gè)建筑物之間橫上一根竹桿用來涼衣服。這些繩子或竹桿在沒有掛上衣物之前都保持在水平位置（它的軸線自然也是一條水平直線）。當(dāng)我們把衣服掛上去之后，結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)原來為直線的軸線變成了曲線，這種形式的變形我們就稱為彎曲變形。7.1工程實(shí)例2、定義：

當(dāng)桿件上作用有垂直于桿件軸線的外力時(shí)，原先為直線的軸線變形后就會(huì)成為曲線，這種形式的變形就稱為彎曲。3、梁：以彎曲為主要變形的桿件，我們通常稱之為梁。①軸線是直線的稱為直梁，軸線是曲線的稱為曲梁。②有對稱平面的梁稱為對稱梁，沒有對稱平面的梁稱為非對稱梁5、非對稱彎曲：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面上但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。FqFAFB縱向?qū)ΨQ面4、平面彎曲（對稱彎曲）

一般情況下，工程中受彎桿件的橫截面都至少有一個(gè)通過幾何形心的對稱軸，因而整個(gè)桿件都有一個(gè)包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。如下圖，當(dāng)作用于桿件的外力都在這個(gè)縱向?qū)ΨQ平面上時(shí)，可以想象到，彎曲變形后的軸線也將是位于這個(gè)對稱面內(nèi)的一條曲線。這種情況的變形我們就稱為平面彎曲變形，簡稱為平面彎曲。7.1.2梁的計(jì)算簡圖一般情況下，梁的支座和載荷有多種多樣的情況，比較復(fù)雜，為了研究起來方便，我們必須對它進(jìn)行一系列的簡化，找出它的計(jì)算簡圖，而便于進(jìn)行計(jì)算。

、支座的幾種形式1、固定端：

這種支座的簡化形式如圖所示，它使梁截面既不能移動(dòng)，也不能轉(zhuǎn)動(dòng)，它對梁的端截面有三個(gè)約束，相應(yīng)地，梁的端截面受有三個(gè)支反力作用。例如：打入地下的木樁，游泳池的跳水板支座等都可簡化成固定端支座。

2、固定鉸支座：

這種支座可簡化成如圖所示的形式，它使得梁截面不能沿水平方向和沿垂直方向移動(dòng)，但不能限制它繞鉸的中心轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，固定鉸支座對梁有兩向約束，相應(yīng)地，梁受到兩個(gè)支反力作用。例如：下圖所示的橋梁的左端支座。

簡圖約束反力跳臺(tái)跳板3、可動(dòng)鉸支座：該支座的簡化形式如右圖所示，它只能限制梁截面沿垂直于支座面的方向移動(dòng)，因此，這種支座對梁僅有一個(gè)約束，相應(yīng)地，該截面處就只受一個(gè)支反力作用。例如上圖橋梁的后端就可簡化成為可動(dòng)鉸支座。

約束反力簡易橋梁二、載荷的簡化一般情況下，載荷簡化后的結(jié)果不外乎兩種：一種是集中力，另一種是分布力，如圖所示：F1F2分布力一般分為均布和非均布兩種（這些我們在緒論部分詳細(xì)介紹過，在此就不再詳細(xì)分析了）

注：這里所講的集中力和分布力，包括集中力偶和分布力偶，它是一個(gè)廣義的概念。

三、靜定梁的基本形式：

相應(yīng)于不同的支座形式，靜定梁可分為三種形式：簡支梁，外伸梁，懸臂梁。

懸臂梁7.2剪力和彎矩、概念：

下面我們通過一個(gè)例題來說明剪力和彎矩的概念如圖所示，一個(gè)簡支梁，其上分別作用著兩個(gè)集中力F1=F，F(xiàn)2=2F的作用，a=1/3l現(xiàn)在要我們求梁某一截面上的內(nèi)力。解：分析，以前我們在拉壓，剪切和扭轉(zhuǎn)部分曾經(jīng)講過，無論對何種桿件，受到何種外力的作用，要我們求橫截面上的內(nèi)力時(shí)，都采用截面法，在這里也是一樣。(一)、求支反力RA

，RB由：

(二)、求截面m-m上的內(nèi)力（采用截面法）由上圖可知：要保持左半部分的平衡，在截面m-m上必須有一個(gè)方向向下的力Q.由

——（a）

xFRAQM同時(shí)還必須有一個(gè)逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶Ｍ

由

——（b）

Q——因與截面相切，故稱之為剪力，是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力。Ｍ——由于它能使梁發(fā)生彎曲，故稱它為彎矩，與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力。討論:Ｑ在數(shù)值上，等于截面以左所有外力在梁軸垂線(Ｙ軸)上投影的代數(shù)和。外力符號規(guī)定：外力繞截面（力與截面間的梁）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正；或者左上右下（左端向上，右段向下的外力）為正。Ｍ在數(shù)值上，等于截面以左所有外力對截面形心的力矩的代數(shù)和。外力符號規(guī)定：外力對截面的矩，使力與截面間的梁向下凹曲為正；或者左順右逆（左段的力矩順時(shí)針，右段的力矩逆時(shí)針）為正。上面我們是以左段為研究對象計(jì)算截面m-m上內(nèi)力的，如果我們以右段為研究對象，用相同的方法也可求得截面m-m上的內(nèi)力Q和Ｍ，并且可以發(fā)現(xiàn)二者同上述求得Q和Ｍ在數(shù)值上是相等，但方向相反。為了使上述兩種算法得到的同一截面上的彎矩和剪力，非但數(shù)值上正好相等而且符號也一致，因此有必要對二者進(jìn)行正、負(fù)號的規(guī)定：、剪力的正負(fù)號的規(guī)定：剪力繞截面（所截取的梁）有順時(shí)針旋轉(zhuǎn)趨勢為正，反之為負(fù)。二、Q、Ｍ的符號規(guī)定：2、彎矩的正負(fù)號的規(guī)定：口訣：凹口向上為正，凹口向下為負(fù)。7.3剪力圖與彎矩圖一、概念：

從前幾節(jié)的分析中，我們可看出：在一般情況下，梁截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化。若以橫坐標(biāo)x表示橫截面在梁軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩皆可表示為x的函數(shù)，即：

二、剪力圖和彎矩圖的繪制傳統(tǒng)的方法一般都是根據(jù)剪力、彎矩方程來繪制剪力和彎矩圖，下面我們通過具體例題來分析剪力和彎矩圖的具體繪制方法。

——剪力方程

——彎矩方程

（7—1）例7—1Fab/L解：1、求支反力RA

、RB得：

由

2、建立坐標(biāo)系如圖所示，求解梁的彎矩方程：FabRARB3、根據(jù)剪力方程作剪力圖由(a)式可知：在AC段內(nèi)，Q=常量，且為正值，故剪力圖在AC段內(nèi)為一在x軸上方的水平直線，同理可知在CB段內(nèi)剪力圖為一在x軸下方的水平直線。如圖所示。

AC段：

（0<x<a）

（0<x<a）

(a)(b)CB段：

（a<x<L）

（a<x<L）

(c)(d)4、根據(jù)彎矩方程作彎矩圖由<b>式可知，在AC段內(nèi)，

為x的一次函數(shù)，故AC

段內(nèi)，彎矩圖為一條斜直線，因而只要確定AC段的兩個(gè)端點(diǎn)的彎矩值就可作出AC段的彎矩圖，同理可得CB段的彎矩圖如圖所示。

例7—2：

qLRARBqL/2qL/2qL2/8+-Q圖M圖解：求支反力由于結(jié)構(gòu)和載荷都對稱于跨度中點(diǎn)，故可直接得出：建立坐標(biāo)系如圖所示，求剪力、彎矩方程（用截面法）（0<x<l）

（0<x<l）

(a)(b)根據(jù)剪力方程作剪力圖由（a）式可見：

為x的一次函數(shù)，故剪力圖為一斜直線，因而只需求出斜直線的兩個(gè)端點(diǎn)的數(shù)值，即可作出剪力圖。

根據(jù)彎矩方程作彎矩圖：由（b）可知：為x的二次函數(shù)，故彎矩圖為一拋物線，由于x2的系數(shù)為負(fù)，故拋物線開口向下，由于拋物線為一曲線，為了畫出的彎矩圖比較精確，一般情況下，要多確定曲線的幾點(diǎn)，如圖所示：

剛架彎矩圖的繪制：

例7—3：

FFFFaFa0.5Fa解：求支反力

計(jì)算內(nèi)力時(shí)，一般應(yīng)先求支反力，由于該圖的A端為一自由端，無需計(jì)算支反力就可計(jì)算彎矩，故此步驟可省略。

作彎矩方程：如圖所示：AC段的坐標(biāo)原點(diǎn)取在A端。

CB段的坐標(biāo)原點(diǎn)取在C端。

AC：

CB：

作圖：注意：在繪制彎矩圖時(shí)，我們規(guī)定為彎矩圖畫在桿件受壓的一側(cè)，即桿件彎曲變形凹入的一側(cè)。由(a)(b)式可見：兩段的彎矩方程均為斜直線，故只要定出A、C、B三點(diǎn)處的彎矩值即可作出彎矩圖。7.4載荷集度剪力和彎矩之間的關(guān)系例7—2中，若將

的表達(dá)式對x取導(dǎo)數(shù)，就得到剪力

若將

對x取導(dǎo)數(shù)，就可得到載荷的集度q。這里

的表達(dá)式、

和

之間的這種導(dǎo)數(shù)關(guān)系并不只是上面例題中的特殊情況，而是一個(gè)普遍的規(guī)律，下面我們就一般情況來推導(dǎo)這種關(guān)系。一、

、

、

之間的關(guān)系：

如圖所示為一在載荷作用下的梁

yxMF1q(x)ABxdxdxCM(x)Q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)q(x)

1.假設(shè)：規(guī)定q(x)向上為正，向下為負(fù)；任取微段，認(rèn)為其上q(x)為常數(shù)，無集中力、集中力偶；內(nèi)力作正向假設(shè)。

2.微分關(guān)系推導(dǎo)：

如圖所示，從梁中取出一微段進(jìn)行研究，一般情況下，我們都可以假設(shè)截面的內(nèi)力為正值，由于dx很小，故可近似的認(rèn)為dx上的

。

由

由

略去二階微量：

（7—2）二、微分關(guān)系的幾何意義（常數(shù)）即：剪力圖為一平行于x軸的直線。

即：剪力圖為一斜直線。1.微分關(guān)系的幾何意義：

剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于相應(yīng)點(diǎn)處荷載集度的大小；彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于相應(yīng)點(diǎn)處剪力的大小。

即：彎矩圖為平行于x軸的直線。

即：某一截面處彎矩圖的斜率為零，在這一截面上彎矩為一極值。當(dāng)C>0時(shí)，拋物線

凹口向上，反之向下。

不但可能發(fā)生在

的截面上，也有可能發(fā)生在集中力作用處，或集中力偶作用處，所以求時(shí)，應(yīng)考慮上述幾種可能性。

2.其它規(guī)律：

①|(zhì)M|max可能發(fā)生在剪力為零處、集中力作用處、集中力偶作用處；

②q突變反向，剪力圖有尖點(diǎn)，彎矩圖有凸凹性反轉(zhuǎn)拐點(diǎn)；

③荷載圖關(guān)于梁左右對稱，則剪力圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對稱，彎矩圖左右對稱；荷載圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對稱，則剪力圖左右對稱，彎矩圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對稱。在集中力作用處，剪力Q有一突然變化，即彎矩圖的斜率有一突然變化，彎矩圖上出現(xiàn)一轉(zhuǎn)折點(diǎn)。外力情況Q圖M圖|Mmax|位置q(x)=0+-q(x)=CC<0+-C>0+-Q(x)=0剪力為零的截面剪力為零的截面剪力為零的截面剪力為零的截面集中力F作用處：突變，突變值為F有尖點(diǎn)剪力突變的截面集中力偶M作用處：不變突變值為M彎矩突變的某一側(cè)3.各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)：1.求支反力；2.利用微分關(guān)系繪制Q圖；3.根據(jù)Q圖，利用微分關(guān)系繪制M圖三、利用微分關(guān)系作剪力彎矩圖例7—3

外伸梁AB承受荷載如