第三講 環(huán)路定理

p1p2qo靜電場(chǎng)的環(huán)路定理電勢(shì)一、靜電場(chǎng)力作功

點(diǎn)電荷電場(chǎng)中試驗(yàn)電荷q0從p1點(diǎn)經(jīng)任意路徑到達(dá)p2點(diǎn)。在路徑上任一點(diǎn)附近取元位移θdlErdrqr1r2點(diǎn)電荷電場(chǎng)力的功:q0由

p1到p2電場(chǎng)力做功做功與路徑無關(guān)點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)中根據(jù)電場(chǎng)的疊加性，試探電荷受多個(gè)電場(chǎng)作用則

試驗(yàn)電荷在任意給定的靜電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)q0做的功僅與試探電荷的電量及路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。電場(chǎng)力對(duì)試驗(yàn)電荷q0做功為總功也與路徑無關(guān)。結(jié)論：

靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，靜電場(chǎng)力是保守力。二、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理

試驗(yàn)電荷q0在靜電場(chǎng)中沿任意閉合路徑L運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)q0做的功A=？安培

在閉合路徑L上任取兩點(diǎn)P1、P2，將L分成L1、L2兩段，P2P1L2L1(L2)(L1)(L1)(L2)即即靜電場(chǎng)力沿任一閉和路徑移動(dòng)電荷所作的功為零。靜電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流恒為零

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理

在靜電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合路徑的線積分（稱為場(chǎng)強(qiáng)的環(huán)流）恒為零。該定理還可表達(dá)為：電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流等于零。任何力場(chǎng)，只要其場(chǎng)強(qiáng)的環(huán)流為零，該力場(chǎng)就叫保守力場(chǎng)或勢(shì)場(chǎng)。綜合靜電場(chǎng)高斯定律和環(huán)路定理，可知靜電場(chǎng)是有源的保守力場(chǎng)，又由于電場(chǎng)線是不閉合的，既形不成旋渦的，所以靜電場(chǎng)是無旋場(chǎng)。比較：高斯定理：——靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)環(huán)路定理：——靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)三．電勢(shì)能：電荷在靜電場(chǎng)中的一定位置所具有的勢(shì)能重力（保守力）的功=重力勢(shì)能增量的負(fù)值所以靜電力的功=靜電勢(shì)能增量的負(fù)值b點(diǎn)電勢(shì)能ab則電場(chǎng)力的功取注意：系統(tǒng)屬于及試驗(yàn)電荷處于a點(diǎn)電勢(shì)能

即：試驗(yàn)電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能，在數(shù)值上等于把此試驗(yàn)電荷從該點(diǎn)移到勢(shì)能零點(diǎn)處電場(chǎng)力所作的功。注意：（1）電勢(shì)能零點(diǎn)的選取是任意的，常選無限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)。（2）勢(shì)能是一個(gè)相對(duì)的量值。

（3）用上述定義求電勢(shì)能必須先明確空間的場(chǎng)強(qiáng)分布。（4）積分路徑可任取勢(shì)能零點(diǎn)位置四．電勢(shì)電勢(shì)差1．電勢(shì)

V單位正電荷在該點(diǎn)所具有的電勢(shì)能單位正電荷從該點(diǎn)到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)電場(chǎng)力所作的功2.電勢(shì)差電場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電勢(shì)之差（電壓）單位正電荷從ab電場(chǎng)力的功

定義電勢(shì)差電場(chǎng)中兩點(diǎn)電勢(shì)之差(電壓)

沿著電場(chǎng)線方向，電勢(shì)降低。AB上式表明，靜電場(chǎng)中兩點(diǎn)A、B的電勢(shì)差，等于單位正電荷在電場(chǎng)中從A經(jīng)任意路徑到達(dá)B點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。電荷q0從A點(diǎn)經(jīng)任意路徑移動(dòng)到B點(diǎn)電場(chǎng)力所作的功。是計(jì)算電場(chǎng)力作功和計(jì)算電勢(shì)能變化常用公式。說明：⑴電勢(shì)是一個(gè)標(biāo)量，單位是“伏特(V)”⑵電勢(shì)是一個(gè)相對(duì)的量，其值取決于零電勢(shì)點(diǎn)的選取。理論計(jì)算中：A.若電荷空間有限，?。築.若電荷空間無限，視情況而定。（3）功、電勢(shì)差、電勢(shì)能之間的關(guān)系討論:１.則則2.則則根據(jù)電場(chǎng)疊加原理場(chǎng)中任一點(diǎn)的五．電勢(shì)疊加原理若場(chǎng)源為的點(diǎn)電荷系場(chǎng)強(qiáng)電勢(shì)各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)電勢(shì)的代數(shù)和六、電勢(shì)的計(jì)算點(diǎn)電荷的電勢(shì)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)Vr+積分得可見,點(diǎn)電荷周圍空間任一點(diǎn)的電勢(shì)與該點(diǎn)距離點(diǎn)電荷的距離r成反比.正點(diǎn)電荷周圍電勢(shì)分布特點(diǎn)。點(diǎn)電荷系的電勢(shì)連續(xù)分布帶電體的電勢(shì)q3q1r1r2q2q4r3r4P依據(jù)電荷分布特點(diǎn)將連續(xù)帶電體分成許多電荷元，再根據(jù)電勢(shì)疊加原理進(jìn)行積分計(jì)算。例１．求電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)Ｐ的電勢(shì)由疊加原理其中課堂練習(xí)：已知正方形頂點(diǎn)有四個(gè)等量的電點(diǎn)荷r=5cm①求②將③求該過程中電勢(shì)能的改變從電場(chǎng)力所作的功電勢(shì)能++++++++例2

一半徑為R

的圓環(huán)，均勻帶有電荷量q

。計(jì)算圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P

處的電勢(shì)。+解：設(shè)環(huán)上電荷線密度為環(huán)上任取一長(zhǎng)度為的電荷元，其所帶電荷該電荷元在p

點(diǎn)電勢(shì)為：oprxxR疊加法(微元法)整個(gè)圓環(huán)在p點(diǎn)的電勢(shì)為方法二

定義法由前面例題得到E

的分布由的定義例3.求均勻帶電球面電場(chǎng)中電勢(shì)的分布，已知R，q解:方法一疊加法(微元法)任一圓環(huán)由圖解：（1）取無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)；（2）由高斯定律可知電場(chǎng)分布為；（3）確定電勢(shì)分布；++++++++++++++++qRo

方法二定義法(1)當(dāng)r<R時(shí)(2)當(dāng)r>R時(shí)rVR++++++++++++++++qRo電勢(shì)分布曲線場(chǎng)強(qiáng)分布曲線EVRRrrOO結(jié)論：均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢(shì)等于球表面的電勢(shì)，球外的電勢(shì)等效于將電荷集中于球心的點(diǎn)電荷的電勢(shì)。課堂練習(xí)：1.求等量異號(hào)的同心帶電球面的電勢(shì)差已知解:由高斯定理由電勢(shì)差定義①求單位正電荷沿odc移至c，電場(chǎng)力所作的功②將單位負(fù)電荷由

O電場(chǎng)力所作的功2.如圖已知

解：令無限長(zhǎng)直線如圖放置，其上電荷線密度為λ

。計(jì)算在x軸上距直線為r的任一點(diǎn)P處的電勢(shì)。yrOPP1xr1因?yàn)闊o限長(zhǎng)帶電直線的電荷分布延伸到無限遠(yuǎn)的，所以在這種情況下不能用連續(xù)分布電荷的電勢(shì)公式來計(jì)算電勢(shì)V，否則必得出無限大的結(jié)果，顯然是沒有意義的。同樣也不能直接用電勢(shì)公式來計(jì)算電勢(shì)，不然也將得出電場(chǎng)任一點(diǎn)的電勢(shì)值為無限大的結(jié)果。例4

計(jì)算無限長(zhǎng)均勻帶電直線電場(chǎng)的電勢(shì)分布。

為了能求得P點(diǎn)的電勢(shì)，可先應(yīng)用電勢(shì)差和場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系式，求出在軸上P點(diǎn)和P1點(diǎn)的電勢(shì)差。無限長(zhǎng)均勻帶電直線在x軸上的場(chǎng)強(qiáng)為

于是，過P點(diǎn)沿x軸積分可算得P點(diǎn)與參考點(diǎn)P1的電勢(shì)差

由于ln1=0，所以本題中若選離直線為r1=1m處作為電勢(shì)零點(diǎn)，則很方便地可得P點(diǎn)的電勢(shì)為點(diǎn)電荷的等勢(shì)面

七、等勢(shì)面在靜電場(chǎng)中，電勢(shì)相等的點(diǎn)所組成的面稱為等勢(shì)面。典型等勢(shì)面

由上式可知，在r>1m處,VP為負(fù)值；在r<1m處,VP為正值。這個(gè)例題的結(jié)果再次表明，在靜電場(chǎng)中只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差有絕對(duì)的意義，而各點(diǎn)的電勢(shì)值卻只有相對(duì)的意義。電偶極子的等勢(shì)面+等勢(shì)面電平行板電容器電場(chǎng)的等勢(shì)面+++++++++

等勢(shì)面的性質(zhì)⑴等勢(shì)面與電