第九章能量方法

第九章能量方法§9-1

桿件的應變能§9-2

卡氏第二定理§9-3

莫爾定理和圖乘法§9-4

用能量法求解超靜定問題1§9-1

桿件的應變能第九章能量方法一、能量原理固體力學中將與功與能的有關定理統(tǒng)稱為能量原理。能量原理主要用于：桿件的變形計算、超靜定結構的求解、計算力學等方面。在加載過程中構件處于準靜態(tài)，外力作功W將全部轉換為固體的應變能V。在彈性范圍內W與V可以相互轉化，若超過彈性范圍，則過程不可逆。本章研究的是線彈性結構的應變能。2第九章能量方法二、桿件的應變能1.軸向拉伸或壓縮3第九章能量方法2.圓軸扭轉4第九章能量方法3.彎曲a)純彎曲b)平面彎曲一般不考慮剪力引起的應變能，所以平面彎曲的應變能計算與純彎曲相同c)斜彎曲54.組合變形若桿件各段的內力方程不相同，則M(x)

—只產生彎曲轉角FN

(x)

—只產生軸向線位移T(x)—只產生扭轉角第九章能量方法6第九章能量方法三、應變能的特點1.應變能不能用疊加原理計算

由于應變能是外力（內力）或位移的二次齊次式，所以產生同一種基本變形形式的一組外力在桿內產生的應變能，不等于各力單獨作用時產生的應變能之和。小變形時，產生不同變形形式的一組外力在桿內產生的應變能等于各力單獨作用時產生的應變能之和。EAF2F1abF1F2Me7第九章能量方法2應變能的大小與加載順序無關，由力與位移的最終值決定（能量守恒）

F

和Me

同時作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值——簡單加載。

在線性彈性范圍時，力和位移成正比，位移將按和力相同的比例，由零逐漸增加到最終值。上圖中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)8第九章能量方法

先加F,再加Me

(圖

b，c)式中，為力F在由Me產生的C點處的撓度上作功，所以無

系數。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),9第九章能量方法四、克拉貝依隆公式1.構件上有兩個廣義力共同作用令F=F1

,wC=D1

,Me=F2

,qA=D2

,則（）（）

CwCFEIABMel/2l/2qA,10第九章能量方法2.構件上有n個廣義力共同作用克拉貝依隆公式11第九章能量方法例1-1

求圖示平面曲桿的應變能，并利用能量原理求力F在作用方向上的位移。解：1.求任意截面的內力2.求桿件的應變能3.根據能量原理有AA即：12§9-2

卡氏第二定理第九章能量方法一、卡氏第二定理整個線彈性結構的應變能對作用在該結構上的任一載荷的偏導數等于載荷作用處沿載荷方向的位移。1.簡要證明卡氏第二定理整個線彈性結構的應變能對作用在該結構上的任一載荷的變化率等于該載荷作用點處沿載荷方向的位移(載荷相應的位移)。13第九章能量方法

圖示為線性彈性桿，Fi為廣義力，Di為對應廣義位移。各力按簡單加載方式作用在梁上。設加載過程中各位移和相應力的瞬時值分別為di，fi。梁的應變能為

表明14第九章能量方法令

得

設第

i個力Fi有一個增量dFi，其余各力均保持不變，各位移均不變。功和應變能的改變量分別是15第九章能量方法2.關于卡氏第二定理的幾個注意事項1.卡氏第二定理只適用于線彈性結構，表示整個結構的應變能；3.若求出的結果為正，則表示廣義位移的方向與廣義力的方向相同，否則相反；

4.若所求廣義位移處無相應的廣義力，則可先虛設一對應的廣義力，求完偏導后令即可；16第九章能量方法5.卡氏第二定理的一般形式(1)一般形式(2)特殊形式梁：平面剛架：桁架：17第九章能量方法

例1-1

懸臂梁受力如圖所示，在兩力F共同作用下，1,2兩截面的撓度分別為w1

和

w2。試證明：w11FF2w2

證明：設作用在1,2兩截面的外力分別為F1和

F2，且

F1

=F

,F2＝F，則梁的應變能為Ve=Ve(F1,F2)。根據復合函數求導法則，有18第九章能量方法因此，若結構上有幾個外力的字符相同時，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用點沿該力方向的位移時，應將該力與其它力區(qū)分開。w11FF2w219第九章能量方法

例1－2

圖示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI，不計剪力對位移的影響。試用卡氏第二定理求梁A端的撓度wA。

解：因為A截面處無與wA相應的集中力，不能直接利用卡氏第二定理，可在A截面上虛加一個與wA相應的集中力F，利用卡氏第二定理后，令F=0,即20第九章能量方法

梁的彎矩方程以及對F的偏導數分別為

利用卡氏第二定理，得（和假設的F的指向一致）這種虛加F力的方法，也稱為附加力法。(↓)這是因為

為n個獨立廣義力的二次齊次式,其中

也可以作為一個廣義力。21第九章能量方法

例1-3

圖示剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計剪力和軸力對位移的影響。試用卡氏第二定理求

A截面的鉛垂位移DAy。

解：由于剛架上

A,C

截面的外力均為F，求A截面的鉛垂位移時，應將A處的力F和C處的力F區(qū)別開（圖b），在應用卡氏第二定理后，令FA=F。

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y222第九章能量方法即

AB段（0≤x≤l）

M(x)=?FAx,各段的彎矩方程及其對

FA的偏導數分別為

BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=?FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y223第九章能量方法

CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=?FAl?Fy2,令以上各彎矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得24第九章能量方法作業(yè)：P971；P972;P98625第九章能量方法

例1－4

圖a所示為一等截面開口圓環(huán)，彎曲剛度為EI，材料為線彈性。用卡氏第二定理求圓環(huán)開口處的張開量D。不計剪力和軸力的影響。圓環(huán)開口處的張量就是和兩個F力相對應的相對線位移，即（←→）解：

彎矩方程及其對F的偏導數分別為26第九章能量方法結果為正，表示廣義位移方向和廣義力的指向一致。（）←→利用對稱性，由卡氏第二定理，得27第九章能量方法

例1－5

圖

a所示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI。用卡氏第二定理求中間鉸B兩側截面的相對轉角。不計剪力對位移的影響。28第九章能量方法

在中間鉸B兩側截面處各加一個外力偶矩

MB

，并求出在一對外力偶

MB及

q共同作用下梁的支反力（圖

b）。解：B截面兩側的相對轉角，就是與一對外力偶

MB

相應的相對角位位移，即29第九章能量方法（0<x≤l）梁的彎矩方程及其對MB的偏導數分別為AB段:30第九章能量方法中間鉸B兩側截面的相對轉角

為結果為正，表示廣義位移的轉向和MB的轉向一致。（0≤x≤

l），()BC段:31§9-3

莫爾定理和圖乘法第九章能量方法一、莫爾定理（單位力法）

表示與所求位移對應的單位力引起的內力，

表示外載荷作用時橫截面上的內力。桁架結構：32第九章能量方法

在C截面處施加單位力（圖b），由荷載及單位力引起的彎矩方程分別為(0≤x≤l)

(a)

例1－6

梁的彎曲剛度為EI，不計剪力對位移的影響。試用單位力法求。(0≤x≤l/2)

(b)解：1.求33第九章能量方法因為

均關于C截面對稱的，故C截面的撓度為（和單位力方向一致）（↓）34第九章能量方法A截面處的轉角為（）（和單位力偶的轉向相反）

在

A截面處加單位力偶（圖c），單位力偶引起的彎矩方程為(0≤x≤l)(c)2.求35第九章能量方法

例1－7

平面剛架中兩桿彎曲剛度為EI，不計剪力和軸力對位移的影響。試用莫爾積分法求剛架C截面的水平位移。AaBCF＝qaaq解：1.求外載荷下的內力方程36第九章能量方法AaBCa12.求單位載荷作用下的內力方程3.利用莫爾積分法求解37第九章能量方法FRAB

例1－8

平面曲桿的彎曲剛度為EI，不計剪力和軸力對位移的影響。試用莫爾積分法求其A截面的水平位移和豎直位移。解：1.求外載荷下的內力方程2.求單位載荷作用下的內力方程1RAB1RAB38第九章能量方法3.利用莫爾積分法求解39第九章能量方法二、圖乘法(自學)40第九章能量方法作業(yè)：P973；P10015;41§9-4用能量法求解超靜定問題第九章能量方法一、超靜定的基本概念

1.靜定結構和超靜定結構2.多于約束、多于約束力3.超靜定次數1)外力超靜定結構2)內力超靜定結構F(b)FFAB(a)FCaa/2ABa/2(c)aaDABCF(d)一次超靜定二次超靜定一次超靜定一次超靜定42第九章能量方法DABCF(f)FDABCF(e)F二次超靜定

2+3-3=2三次超靜定

3+3-3=34.基本靜定系和相當系統(tǒng)CAB(c)FCAB(c)基本靜定系相當系統(tǒng)變形協(xié)調條件43第九章能量方法

1.判斷超靜定次數，建立相當系統(tǒng)，作受力分析圖，列平衡方程；2.找變形協(xié)調條件；3.利用能量方法求相應變形，建立補充方程；4.聯(lián)立平衡方程和補充方程求解。二、解超靜定問題的步驟44第九章能量方法

用卡氏第二定理來解超靜定問題，仍以多余未知力為基本未知量，以荷載及選定的多余未知力作為基本靜定系上獨立的外力，應變能只能為荷載及選定的多余未知力的函數，即變形幾何關系為，Di為和

的相應位移，它是和約束情況有關的已知量。45第九章能量方法FABC例題1-9

：已知梁的EI,F,AB=2a,BC=a,求梁的約束力。FABCFB解：1.一次超靜定2.變形協(xié)調條件：3.用能量法求46第九章能量方法根據卡氏第二定理有補充方程：4.聯(lián)立式(1)、(2)、(3)解得作梁的內力圖？47第九章能量方法

例1-10

剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計剪力和軸力對位移的影響，用卡氏第二定理求約束力。CABqll(a)48第九章能量方法解：1.該題為一次超靜定。以鉸鏈C的鉛垂支反力X為多余未知力，建立相當系統(tǒng)如圖（b）

所示。CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql49第九章能量方法CB,AB段的彎矩方程及其對X的偏導數分別為

，

由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql50第九章能量方法l(b)yFCxxXFAxFAyCABql（↑）（←）（←）