第九章能量方法

第九章能量方法§9-1

桿件的應(yīng)變能§9-2

卡氏第二定理§9-3

莫爾定理和圖乘法§9-4

用能量法求解超靜定問(wèn)題1§9-1

桿件的應(yīng)變能第九章能量方法一、能量原理固體力學(xué)中將與功與能的有關(guān)定理統(tǒng)稱為能量原理。能量原理主要用于：桿件的變形計(jì)算、超靜定結(jié)構(gòu)的求解、計(jì)算力學(xué)等方面。在加載過(guò)程中構(gòu)件處于準(zhǔn)靜態(tài)，外力作功W將全部轉(zhuǎn)換為固體的應(yīng)變能V。在彈性范圍內(nèi)W與V可以相互轉(zhuǎn)化，若超過(guò)彈性范圍，則過(guò)程不可逆。本章研究的是線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能。2第九章能量方法二、桿件的應(yīng)變能1.軸向拉伸或壓縮3第九章能量方法2.圓軸扭轉(zhuǎn)4第九章能量方法3.彎曲a)純彎曲b)平面彎曲一般不考慮剪力引起的應(yīng)變能，所以平面彎曲的應(yīng)變能計(jì)算與純彎曲相同c)斜彎曲54.組合變形若桿件各段的內(nèi)力方程不相同，則M(x)

—只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角FN

(x)

—只產(chǎn)生軸向線位移T(x)—只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角第九章能量方法6第九章能量方法三、應(yīng)變能的特點(diǎn)1.應(yīng)變能不能用疊加原理計(jì)算

由于應(yīng)變能是外力（內(nèi)力）或位移的二次齊次式，所以產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能，不等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。小變形時(shí)，產(chǎn)生不同變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。EAF2F1abF1F2Me7第九章能量方法2應(yīng)變能的大小與加載順序無(wú)關(guān)，由力與位移的最終值決定（能量守恒）

F

和Me

同時(shí)作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值——簡(jiǎn)單加載。

在線性彈性范圍時(shí)，力和位移成正比，位移將按和力相同的比例，由零逐漸增加到最終值。上圖中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)8第九章能量方法

先加F,再加Me

(圖

b，c)式中，為力F在由Me產(chǎn)生的C點(diǎn)處的撓度上作功，所以無(wú)

系數(shù)。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),9第九章能量方法四、克拉貝依隆公式1.構(gòu)件上有兩個(gè)廣義力共同作用令F=F1

,wC=D1

,Me=F2

,qA=D2

,則（）（）

CwCFEIABMel/2l/2qA,10第九章能量方法2.構(gòu)件上有n個(gè)廣義力共同作用克拉貝依隆公式11第九章能量方法例1-1

求圖示平面曲桿的應(yīng)變能，并利用能量原理求力F在作用方向上的位移。解：1.求任意截面的內(nèi)力2.求桿件的應(yīng)變能3.根據(jù)能量原理有AA即：12§9-2

卡氏第二定理第九章能量方法一、卡氏第二定理整個(gè)線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對(duì)作用在該結(jié)構(gòu)上的任一載荷的偏導(dǎo)數(shù)等于載荷作用處沿載荷方向的位移。1.簡(jiǎn)要證明卡氏第二定理整個(gè)線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對(duì)作用在該結(jié)構(gòu)上的任一載荷的變化率等于該載荷作用點(diǎn)處沿載荷方向的位移(載荷相應(yīng)的位移)。13第九章能量方法

圖示為線性彈性桿，F(xiàn)i為廣義力，Di為對(duì)應(yīng)廣義位移。各力按簡(jiǎn)單加載方式作用在梁上。設(shè)加載過(guò)程中各位移和相應(yīng)力的瞬時(shí)值分別為di，fi。梁的應(yīng)變能為

表明14第九章能量方法令

得

設(shè)第

i個(gè)力Fi有一個(gè)增量dFi，其余各力均保持不變，各位移均不變。功和應(yīng)變能的改變量分別是15第九章能量方法2.關(guān)于卡氏第二定理的幾個(gè)注意事項(xiàng)1.卡氏第二定理只適用于線彈性結(jié)構(gòu)，表示整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能；3.若求出的結(jié)果為正，則表示廣義位移的方向與廣義力的方向相同，否則相反；

4.若所求廣義位移處無(wú)相應(yīng)的廣義力，則可先虛設(shè)一對(duì)應(yīng)的廣義力，求完偏導(dǎo)后令即可；16第九章能量方法5.卡氏第二定理的一般形式(1)一般形式(2)特殊形式梁：平面剛架：桁架：17第九章能量方法

例1-1

懸臂梁受力如圖所示，在兩力F共同作用下，1,2兩截面的撓度分別為w1

和

w2。試證明：w11FF2w2

證明：設(shè)作用在1,2兩截面的外力分別為F1和

F2，且

F1

=F

,F2＝F，則梁的應(yīng)變能為Ve=Ve(F1,F2)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有18第九章能量方法因此，若結(jié)構(gòu)上有幾個(gè)外力的字符相同時(shí)，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用點(diǎn)沿該力方向的位移時(shí)，應(yīng)將該力與其它力區(qū)分開(kāi)。w11FF2w219第九章能量方法

例1－2

圖示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。試用卡氏第二定理求梁A端的撓度wA。

解：因?yàn)锳截面處無(wú)與wA相應(yīng)的集中力，不能直接利用卡氏第二定理，可在A截面上虛加一個(gè)與wA相應(yīng)的集中力F，利用卡氏第二定理后，令F=0,即20第九章能量方法

梁的彎矩方程以及對(duì)F的偏導(dǎo)數(shù)分別為

利用卡氏第二定理，得（和假設(shè)的F的指向一致）這種虛加F力的方法，也稱為附加力法。(↓)這是因?yàn)?/p>

為n個(gè)獨(dú)立廣義力的二次齊次式,其中

也可以作為一個(gè)廣義力。21第九章能量方法

例1-3

圖示剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響。試用卡氏第二定理求

A截面的鉛垂位移DAy。

解：由于剛架上

A,C

截面的外力均為F，求A截面的鉛垂位移時(shí)，應(yīng)將A處的力F和C處的力F區(qū)別開(kāi)（圖b），在應(yīng)用卡氏第二定理后，令FA=F。

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y222第九章能量方法即

AB段（0≤x≤l）

M(x)=?FAx,各段的彎矩方程及其對(duì)

FA的偏導(dǎo)數(shù)分別為

BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=?FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y223第九章能量方法

CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=?FAl?Fy2,令以上各彎矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得24第九章能量方法作業(yè)：P971；P972;P98625第九章能量方法

例1－4

圖a所示為一等截面開(kāi)口圓環(huán)，彎曲剛度為EI，材料為線彈性。用卡氏第二定理求圓環(huán)開(kāi)口處的張開(kāi)量D。不計(jì)剪力和軸力的影響。圓環(huán)開(kāi)口處的張量就是和兩個(gè)F力相對(duì)應(yīng)的相對(duì)線位移，即（←→）解：

彎矩方程及其對(duì)F的偏導(dǎo)數(shù)分別為26第九章能量方法結(jié)果為正，表示廣義位移方向和廣義力的指向一致。（）←→利用對(duì)稱性，由卡氏第二定理，得27第九章能量方法

例1－5

圖

a所示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI。用卡氏第二定理求中間鉸B兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。28第九章能量方法

在中間鉸B兩側(cè)截面處各加一個(gè)外力偶矩

MB

，并求出在一對(duì)外力偶

MB及

q共同作用下梁的支反力（圖

b）。解：B截面兩側(cè)的相對(duì)轉(zhuǎn)角，就是與一對(duì)外力偶

MB

相應(yīng)的相對(duì)角位位移，即29第九章能量方法（0<x≤l）梁的彎矩方程及其對(duì)MB的偏導(dǎo)數(shù)分別為AB段:30第九章能量方法中間鉸B兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角

為結(jié)果為正，表示廣義位移的轉(zhuǎn)向和MB的轉(zhuǎn)向一致。（0≤x≤

l），()BC段:31§9-3

莫爾定理和圖乘法第九章能量方法一、莫爾定理（單位力法）

表示與所求位移對(duì)應(yīng)的單位力引起的內(nèi)力，

表示外載荷作用時(shí)橫截面上的內(nèi)力。桁架結(jié)構(gòu)：32第九章能量方法

在C截面處施加單位力（圖b），由荷載及單位力引起的彎矩方程分別為(0≤x≤l)

(a)

例1－6

梁的彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。試用單位力法求。(0≤x≤l/2)

(b)解：1.求33第九章能量方法因?yàn)?/p>

均關(guān)于C截面對(duì)稱的，故C截面的撓度為（和單位力方向一致）（↓）34第九章能量方法A截面處的轉(zhuǎn)角為（）（和單位力偶的轉(zhuǎn)向相反）

在

A截面處加單位力偶（圖c），單位力偶引起的彎矩方程為(0≤x≤l)(c)2.求35第九章能量方法

例1－7

平面剛架中兩桿彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響。試用莫爾積分法求剛架C截面的水平位移。AaBCF＝qaaq解：1.求外載荷下的內(nèi)力方程36第九章能量方法AaBCa12.求單位載荷作用下的內(nèi)力方程3.利用莫爾積分法求解37第九章能量方法FRAB

例1－8

平面曲桿的彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響。試用莫爾積分法求其A截面的水平位移和豎直位移。解：1.求外載荷下的內(nèi)力方程2.求單位載荷作用下的內(nèi)力方程1RAB1RAB38第九章能量方法3.利用莫爾積分法求解39第九章能量方法二、圖乘法(自學(xué))40第九章能量方法作業(yè)：P973；P10015;41§9-4用能量法求解超靜定問(wèn)題第九章能量方法一、超靜定的基本概念

1.靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)2.多于約束、多于約束力3.超靜定次數(shù)1)外力超靜定結(jié)構(gòu)2)內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)F(b)FFAB(a)FCaa/2ABa/2(c)aaDABCF(d)一次超靜定二次超靜定一次超靜定一次超靜定42第九章能量方法DABCF(f)FDABCF(e)F二次超靜定

2+3-3=2三次超靜定

3+3-3=34.基本靜定系和相當(dāng)系統(tǒng)CAB(c)FCAB(c)基本靜定系相當(dāng)系統(tǒng)變形協(xié)調(diào)條件43第九章能量方法

1.判斷超靜定次數(shù)，建立相當(dāng)系統(tǒng)，作受力分析圖，列平衡方程；2.找變形協(xié)調(diào)條件；3.利用能量方法求相應(yīng)變形，建立補(bǔ)充方程；4.聯(lián)立平衡方程和補(bǔ)充方程求解。二、解超靜定問(wèn)題的步驟44第九章能量方法

用卡氏第二定理來(lái)解超靜定問(wèn)題，仍以多余未知力為基本未知量，以荷載及選定的多余未知力作為基本靜定系上獨(dú)立的外力，應(yīng)變能只能為荷載及選定的多余未知力的函數(shù)，即變形幾何關(guān)系為，Di為和

的相應(yīng)位移，它是和約束情況有關(guān)的已知量。45第九章能量方法FABC例題1-9

：已知梁的EI,F,AB=2a,BC=a,求梁的約束力。FABCFB解：1.一次超靜定2.變形協(xié)調(diào)條件：3.用能量法求46第九章能量方法根據(jù)卡氏第二定理有補(bǔ)充方程：4.聯(lián)立式(1)、(2)、(3)解得作梁的內(nèi)力圖？47第九章能量方法

例1-10

剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響，用卡氏第二定理求約束力。CABqll(a)48第九章能量方法解：1.該題為一次超靜定。以鉸鏈C的鉛垂支反力X為多余未知力，建立相當(dāng)系統(tǒng)如圖（b）

所示。CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql49第九章能量方法CB,AB段的彎矩方程及其對(duì)X的偏導(dǎo)數(shù)分別為

，

由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql50第九章能量方法l(b)yFCxxXFAxFAyCABql（↑）（←）（←）